Géométrie · Agronomie, vétérinaire & architecture — ENA (architecture)

Produit vectoriel et produit mixte

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Soit $(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w})$ trois vecteurs de l'espace.

Le produit vectoriel $\vec{u} \wedge \vec{v}$ est un vecteur orthogonal à $\vec{u}$ et à $\vec{v}$ .
Si $\vec{u}(x, y, z)$ et $\vec{v}(x', y', z')$ , alors $\vec{u} \wedge \vec{v} = \begin{vmatrix} y & y' \\ z & z' \end{vmatrix} \vec{i} - \begin{vmatrix} x & x' \\ z & z' \end{vmatrix} \vec{j} + \begin{vmatrix} x & x' \\ y & y' \end{vmatrix} \vec{k}$ .
$\|\vec{u} \wedge \vec{v}\| = \|\vec{u}\| \cdot \|\vec{v}\| \cdot \sin(\theta)$ .
Le produit mixte est $[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] = (\vec{u} \wedge \vec{v}) \cdot \vec{w}$ .

Méthodes à maîtriser

Calculer les coordonnées d'un produit vectoriel via le déterminant.
Calculer l'aire d'un triangle $ABC$ : $\mathcal{A} = \frac{1}{2} \|\vec{AB} \wedge \vec{AC}\|$ .
Vérifier la coplanarité de trois vecteurs : $[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] = 0$ .
Calculer le volume d'un tétraèdre : $V = \frac{1}{6} |[\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}]|$ .

Exemples corrigés

Vecteur orthogonal : Soient $\vec{u}(1, 0, 1)$ et $\vec{v}(0, 1, 1)$ . $\vec{u} \wedge \vec{v} = (-1, -1, 1)$ .
Volume : Pour $A(1,0,0), B(0,1,0), C(0,0,1), D(1,1,1)$ , le volume du tétraèdre est $\frac{1}{6} |(\vec{AB} \wedge \vec{AC}) \cdot \vec{AD}| = \frac{1}{6} |(-1, -1, -1) \cdot (0, 1, 1)| = \frac{1}{6} |-2| = \frac{1}{3}$ .

Erreurs fréquentes

Oublier le signe « moins » dans le calcul du déterminant de la composante $\vec{j}$ .
Confondre le produit vectoriel (vecteur) et le produit scalaire (nombre).
Oublier la valeur absolue dans le calcul du volume ou de l'aire.

L'essentiel du cours

Soit $(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w})$ trois vecteurs de l'espace.

Le produit vectoriel $\vec{u} \wedge \vec{v}$ est un vecteur orthogonal à $\vec{u}$ et à $\vec{v}$.
Si $\vec{u}(x, y, z)$ et $\vec{v}(x', y', z')$, alors $\vec{u} \wedge \vec{v} = \begin{vmatrix} y & y' \ z & z' \end{vmatrix} \vec{i} - \begin{vmatrix} x & x' \ z & z' \end{vmatrix} \vec{j} + \begin{vmatrix} x & x' \ y & y' \end{vmatrix} \vec{k}$.
$|\vec{u} \wedge \vec{v}| = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \sin(\theta)$.
Le produit mixte est $[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] = (\vec{u} \wedge \vec{v}) \cdot \vec{w}$.

Méthodes à maîtriser

Calculer les coordonnées d'un produit vectoriel via le déterminant.
Calculer l'aire d'un triangle $ABC$ : $\mathcal{A} = \frac{1}{2} |\vec{AB} \wedge \vec{AC}|$.
Vérifier la coplanarité de trois vecteurs : $[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] = 0$.
Calculer le volume d'un tétraèdre : $V = \frac{1}{6} |[\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}]|$.

Exemples corrigés

Vecteur orthogonal : Soient $\vec{u}(1, 0, 1)$ et $\vec{v}(0, 1, 1)$. $\vec{u} \wedge \vec{v} = (-1, -1, 1)$.
Volume : Pour $A(1,0,0), B(0,1,0), C(0,0,1), D(1,1,1)$, le volume du tétraèdre est $\frac{1}{6} |(\vec{AB} \wedge \vec{AC}) \cdot \vec{AD}| = \frac{1}{6} |(-1, -1, -1) \cdot (0, 1, 1)| = \frac{1}{6} |-2| = \frac{1}{3}$.

Erreurs fréquentes

Oublier le signe « moins » dans le calcul du déterminant de la composante $\vec{j}$.
Confondre le produit vectoriel (vecteur) et le produit scalaire (nombre).
Oublier la valeur absolue dans le calcul du volume ou de l'aire.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Produit vectoriel et produit mixte

1/4

Le produit vectoriel $\vec{i} \wedge \vec{j}$ est égal à :

❓ Questions fréquentes

Kifach n7seb l-produit vectoriel b l-i7datiyat?

Tu écris les coordonnées des deux vecteurs l'une sous l'autre.
Pour la composante $x$ , tu caches la première colonne et calcules le déterminant $2 \times 2$ restant.
Pour $y$ , tu fais pareil mais tu changes le signe du résultat.
Pour $z$ , tu caches la troisième colonne et calcules le déterminant.

💡 À retenir : N'oublie jamais le signe (-) pour la coordonnée $y$ .

Tu écris les coordonnées des deux vecteurs l'une sous l'autre.
Pour la composante $x$, tu caches la première colonne et calcules le déterminant $2 \times 2$ restant.
Pour $y$, tu fais pareil mais tu changes le signe du résultat.
Pour $z$, tu caches la troisième colonne et calcules le déterminant.

💡 À retenir : N'oublie jamais le signe (-) pour la coordonnée $y$.

Est-ce que le produit vectoriel est commutatif ?

Non, il est anticommutatif. C'est-à-dire que $\vec{u} \wedge \vec{v} = - (\vec{v} \wedge \vec{u})$ . Si tu inverses l'ordre, tu changes le signe de toutes les composantes.

💡 À retenir : L'ordre des vecteurs est crucial.

Non, il est anticommutatif. C'est-à-dire que $\vec{u} \wedge \vec{v} = - (\vec{v} \wedge \vec{u})$. Si tu inverses l'ordre, tu changes le signe de toutes les composantes.

💡 À retenir : L'ordre des vecteurs est crucial.

Chno hiya l-3alaqa bin l-produit vectoriel o l-mostawa?

Le produit vectoriel $\vec{u} \wedge \vec{v}$ te donne un vecteur normal (orthogonal) au plan défini par les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ . C'est très utile pour trouver l'équation cartésienne d'un plan.

💡 À retenir : $\vec{n} = \vec{u} \wedge \vec{v}$ est le vecteur normal au plan.

Le produit vectoriel $\vec{u} \wedge \vec{v}$ te donne un vecteur normal (orthogonal) au plan défini par les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$. C'est très utile pour trouver l'équation cartésienne d'un plan.

💡 À retenir : $\vec{n} = \vec{u} \wedge \vec{v}$ est le vecteur normal au plan.

Kifach n3ref wach 3 dyal l-motajihat coplanaires?

Tu calcules le produit mixte $[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] = (\vec{u} \wedge \vec{v}) \cdot \vec{w}$ .

Si le résultat est 0, ils sont coplanaires.
Si le résultat est différent de 0, ils ne le sont pas.

💡 À retenir : Le produit mixte est nul si et seulement si les vecteurs sont coplanaires.

Tu calcules le produit mixte $[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] = (\vec{u} \wedge \vec{v}) \cdot \vec{w}$.

Si le résultat est 0, ils sont coplanaires.
Si le résultat est différent de 0, ils ne le sont pas.

💡 À retenir : Le produit mixte est nul si et seulement si les vecteurs sont coplanaires.

Quelle est la différence entre produit scalaire et vectoriel ?

Le produit scalaire donne un nombre réel (scalaire) et mesure l'orthogonalité. Le produit vectoriel donne un vecteur et mesure l'aire d'un parallélogramme.

💡 À retenir : Scalaire = nombre, Vectoriel = vecteur.

Peut-on calculer le produit vectoriel dans le plan (2D) ?

Non, le produit vectoriel est défini uniquement dans l'espace à trois dimensions. En 2D, on utilise le déterminant pour l'aire ou la colinéarité.

💡 À retenir : Le produit vectoriel nécessite 3 composantes $(x, y, z)$ .

Non, le produit vectoriel est défini uniquement dans l'espace à trois dimensions. En 2D, on utilise le déterminant pour l'aire ou la colinéarité.

💡 À retenir : Le produit vectoriel nécessite 3 composantes $(x, y, z)$.

Comment calculer l'aire d'un triangle avec le produit vectoriel ?

Soit le triangle $ABC$ . L'aire est donnée par la formule $\mathcal{A} = \frac{1}{2} \|\vec{AB} \wedge \vec{AC}\|$ .

Calcule $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ .
Calcule le produit vectoriel $\vec{w} = \vec{AB} \wedge \vec{AC}$ .
Calcule la norme $\|\vec{w}\| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ .
Divise par 2.

💡 À retenir : L'aire est toujours positive.

Soit le triangle $ABC$. L'aire est donnée par la formule $\mathcal{A} = \frac{1}{2} |\vec{AB} \wedge \vec{AC}|$.

Calcule $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$.
Calcule le produit vectoriel $\vec{w} = \vec{AB} \wedge \vec{AC}$.
Calcule la norme $|\vec{w}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.
Divise par 2.

💡 À retenir : L'aire est toujours positive.

Le produit vectoriel est-il associatif ?

Non, $(\vec{u} \wedge \vec{v}) \wedge \vec{w} \neq \vec{u} \wedge (\vec{v} \wedge \vec{w})$ . Il ne faut jamais enlever les parenthèses sans calcul préalable.

💡 À retenir : Respecte toujours les parenthèses.

Non, $(\vec{u} \wedge \vec{v}) \wedge \vec{w} \neq \vec{u} \wedge (\vec{v} \wedge \vec{w})$. Il ne faut jamais enlever les parenthèses sans calcul préalable.

💡 À retenir : Respecte toujours les parenthèses.

Est-ce que |vec{u} wedge vec{v}| = |vec{u}| cdot |vec{v}| ?

Non, c'est vrai seulement si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux. En général, $\|\vec{u} \wedge \vec{v}\| = \|\vec{u}\| \cdot \|\vec{v}\| \cdot |\sin(\theta)|$ .

💡 À retenir : Utilise la formule avec le sinus.

Non, c'est vrai seulement si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux. En général, $|\vec{u} \wedge \vec{v}| = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot |\sin(\theta)|$.

💡 À retenir : Utilise la formule avec le sinus.

Comment prouver que deux droites sont parallèles avec le produit vectoriel ?

Si les vecteurs directeurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ des deux droites vérifient $\vec{u} \wedge \vec{v} = \vec{0}$ , alors ils sont colinéaires, donc les droites sont parallèles.

💡 À retenir : $\vec{u} \wedge \vec{v} = \vec{0} \iff \vec{u}, \vec{v}$ colinéaires.

Si les vecteurs directeurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ des deux droites vérifient $\vec{u} \wedge \vec{v} = \vec{0}$, alors ils sont colinéaires, donc les droites sont parallèles.

💡 À retenir : $\vec{u} \wedge \vec{v} = \vec{0} \iff \vec{u}, \vec{v}$ colinéaires.

Quelle est l'unité du volume calculé par le produit mixte ?

Le volume est exprimé en unités de volume (u.v.). Si les coordonnées sont en cm, le résultat est en $cm^3$ .

💡 À retenir : Le volume est toujours une valeur absolue.

Le volume est exprimé en unités de volume (u.v.). Si les coordonnées sont en cm, le résultat est en $cm^3$.

💡 À retenir : Le volume est toujours une valeur absolue.

Est-ce que le produit mixte dépend de l'ordre des vecteurs ?

Oui, une permutation circulaire conserve le produit mixte, mais une permutation simple change son signe.

💡 À retenir : $[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] = [\vec{v}, \vec{w}, \vec{u}] = -[\vec{v}, \vec{u}, \vec{w}]$ .

Oui, une permutation circulaire conserve le produit mixte, mais une permutation simple change son signe.

💡 À retenir : $[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] = [\vec{v}, \vec{w}, \vec{u}] = -[\vec{v}, \vec{u}, \vec{w}]$.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soient $A(1, 0, 1)$ , $B(2, 1, 0)$ et $C(0, 1, 2)$ .

Calculer $\vec{AB} \wedge \vec{AC}$ .
En déduire l'aire du triangle $ABC$ .

Exercice 1

Soient $A(1, 0, 1)$, $B(2, 1, 0)$ et $C(0, 1, 2)$.

Calculer $\vec{AB} \wedge \vec{AC}$.
En déduire l'aire du triangle $ABC$.

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Exercice 2

Soient $\vec{u}(1, 2, 3)$ , $\vec{v}(0, 1, 1)$ et $\vec{w}(1, 3, 4)$ . Montrer que ces vecteurs sont coplanaires.

Exercice 2

Soient $\vec{u}(1, 2, 3)$, $\vec{v}(0, 1, 1)$ et $\vec{w}(1, 3, 4)$. Montrer que ces vecteurs sont coplanaires.

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Exercice 3

Soient $A(1, 1, 1)$ , $B(2, 0, 1)$ , $C(0, 2, 1)$ et $D(1, 1, 2)$ . Calculer le volume du tétraèdre $ABCD$ .

Exercice 3

Soient $A(1, 1, 1)$, $B(2, 0, 1)$, $C(0, 2, 1)$ et $D(1, 1, 2)$. Calculer le volume du tétraèdre $ABCD$.

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