Mathématiques · Paramédical (ISPITS) — Soins infirmiers

Probabilités et dénombrement

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Cardinal d'un ensemble : Nombre d'éléments noté $Card(E)$ .
Principe multiplicatif : Si une expérience se déroule en deux étapes (n et m choix), il y a $n \times m$ possibilités.
Arrangements : $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$ (ordre compte, sans répétition).
Combinaisons : $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ (ordre ne compte pas, sans répétition).
Probabilité : $P(A) = \frac{Card(A)}{Card(\Omega)}$ .
Propriétés : $0 \leq P(A) \leq 1$ , $P(\Omega) = 1$ , $P(\emptyset) = 0$ .
Événement contraire : $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$ .
Réunion : $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ .

Méthodes à maîtriser

Identifier le tirage : Avec remise (puissance) ou sans remise (arrangement/combinaison).
Ordre : Si l'ordre importe, utiliser $A_n^k$ ou $n^k$ . Sinon, utiliser $C_n^k$ .
Calcul de probabilité : Toujours définir l'univers $\Omega$ avant de calculer le cardinal de l'événement.

Exemples corrigés

Tirage de 2 jetons parmi 5 sans remise : $Card(\Omega) = A_5^2 = 20$ (si ordre compte) ou $C_5^2 = 10$ (si ordre ne compte pas).
Probabilité d'obtenir au moins un succès : Utiliser $1 - P(\text{aucun succès})$ .

Erreurs fréquentes

Confondre $A_n^k$ et $C_n^k$ : Rappelez-vous que $C$ est pour "Choix" (l'ordre ne compte pas).
Oublier de soustraire l'intersection dans $P(A \cup B)$ .
Penser que $P(A) > 1$ est possible (c'est une erreur grave).

L'essentiel du cours

Cardinal d'un ensemble : Nombre d'éléments noté $Card(E)$.
Principe multiplicatif : Si une expérience se déroule en deux étapes (n et m choix), il y a $n \times m$ possibilités.
Arrangements : $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$ (ordre compte, sans répétition).
Combinaisons : $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ (ordre ne compte pas, sans répétition).
Probabilité : $P(A) = \frac{Card(A)}{Card(\Omega)}$.
Propriétés : $0 \leq P(A) \leq 1$, $P(\Omega) = 1$, $P(\emptyset) = 0$.
Événement contraire : $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$.
Réunion : $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.

Méthodes à maîtriser

Identifier le tirage : Avec remise (puissance) ou sans remise (arrangement/combinaison).
Ordre : Si l'ordre importe, utiliser $A_n^k$ ou $n^k$. Sinon, utiliser $C_n^k$.
Calcul de probabilité : Toujours définir l'univers $\Omega$ avant de calculer le cardinal de l'événement.

Exemples corrigés

Tirage de 2 jetons parmi 5 sans remise : $Card(\Omega) = A_5^2 = 20$ (si ordre compte) ou $C_5^2 = 10$ (si ordre ne compte pas).
Probabilité d'obtenir au moins un succès : Utiliser $1 - P(\text{aucun succès})$.

Erreurs fréquentes

Confondre $A_n^k$ et $C_n^k$ : Rappelez-vous que $C$ est pour "Choix" (l'ordre ne compte pas).
Oublier de soustraire l'intersection dans $P(A \cup B)$.
Penser que $P(A) > 1$ est possible (c'est une erreur grave).

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Défi flash : 4 questions

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🎯 Probabilités et dénombrement

1/4

Le nombre de façons de choisir 2 personnes parmi 5 est :

❓ Questions fréquentes

Comment savoir si je dois utiliser Cn^k ou An^k ?

Pose-toi la question : "Est-ce que l'ordre des éléments choisis change le résultat ?"
Si oui (ex: podium, numéro de téléphone), utilise $A_n^k$ .
Si non (ex: choisir une équipe, tirer des boules simultanément), utilise $C_n^k$ .

💡 À retenir : $C$ pour "Choix" (ordre inutile), $A$ pour "Arrangement" (ordre important).

Pose-toi la question : "Est-ce que l'ordre des éléments choisis change le résultat ?"
Si oui (ex: podium, numéro de téléphone), utilise $A_n^k$.
Si non (ex: choisir une équipe, tirer des boules simultanément), utilise $C_n^k$.

💡 À retenir : $C$ pour "Choix" (ordre inutile), $A$ pour "Arrangement" (ordre important).

Kifach n3ref wach nst3ml l'univers Omega b n^k aw Cn^k ?

$n^k$ : Utilisé quand il y a "remise" (on remet l'objet dans l'urne).
$C_n^k$ : Utilisé quand il n'y a pas de remise (tirage simultané ou successif sans remise).

💡 À retenir : "Remise" = Puissance ( $n^k$ ), "Sans remise" = Combinaison ( $C_n^k$ ).

$n^k$ : Utilisé quand il y a "remise" (on remet l'objet dans l'urne).
$C_n^k$ : Utilisé quand il n'y a pas de remise (tirage simultané ou successif sans remise).

💡 À retenir : "Remise" = Puissance ($n^k$), "Sans remise" = Combinaison ($C_n^k$).

Est-ce que la somme des probabilités peut être égale à 0,5 ?

Oui, la somme des probabilités de tous les événements élémentaires de l'univers est toujours égale à 1. Si tu as deux événements équiprobables et complémentaires, chacun a une probabilité de 0,5.

💡 À retenir : La somme totale doit valoir 1.

Chno hiya l'intersection f l'exercice ?

L'intersection ( $A \cap B$ ) signifie que l'événement A ET l'événement B se réalisent en même temps.

💡 À retenir : Intersection = "ET".

L'intersection ($A \cap B$) signifie que l'événement A ET l'événement B se réalisent en même temps.

💡 À retenir : Intersection = "ET".

Kifach n7seb P(A cup B) ila kanou a7dath ghayr moutawafi9a ?

Si les événements sont incompatibles, alors $A \cap B = \emptyset$ , donc $P(A \cap B) = 0$ . La formule devient simplement $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ .

💡 À retenir : Incompatible = pas d'intersection.

Si les événements sont incompatibles, alors $A \cap B = \emptyset$, donc $P(A \cap B) = 0$. La formule devient simplement $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$.

💡 À retenir : Incompatible = pas d'intersection.

Pourquoi on utilise n! ?

La factorielle $n!$ représente le nombre de façons d'ordonner $n$ objets distincts. C'est la base pour construire les formules de dénombrement.

💡 À retenir : $n! = n \times (n-1) \times ... \times 1$ .

La factorielle $n!$ représente le nombre de façons d'ordonner $n$ objets distincts. C'est la base pour construire les formules de dénombrement.

💡 À retenir : $n! = n \times (n-1) \times ... \times 1$.

Est-ce que l'ordre compte dans un tirage simultané ?

Non, dans un tirage simultané, on prend les objets tous en même temps, donc l'ordre n'a aucune importance. On utilise toujours $C_n^k$ .

💡 À retenir : Simultané = Combinaison.

Non, dans un tirage simultané, on prend les objets tous en même temps, donc l'ordre n'a aucune importance. On utilise toujours $C_n^k$.

💡 À retenir : Simultané = Combinaison.

Comment calculer P(bar{A}) ?

C'est très simple : $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$ . C'est très utile quand l'événement A est complexe à calculer.

💡 À retenir : L'événement contraire facilite souvent les calculs.

C'est très simple : $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$. C'est très utile quand l'événement A est complexe à calculer.

💡 À retenir : L'événement contraire facilite souvent les calculs.

Est-ce que Cn^n = 1 ?

Oui, choisir $n$ éléments parmi $n$ ne peut se faire que d'une seule manière (prendre tout le monde).

💡 À retenir : $C_n^n = 1$ et $C_n^0 = 1$ .

Oui, choisir $n$ éléments parmi $n$ ne peut se faire que d'une seule manière (prendre tout le monde).

💡 À retenir : $C_n^n = 1$ et $C_n^0 = 1$.

Chno lfar9 bin l'univers w l'événement ?

L'univers ( $\Omega$ ) est l'ensemble de TOUS les résultats possibles. L'événement est une PARTIE de cet univers qui nous intéresse.

💡 À retenir : Événement $\subset$ Univers.

L'univers ($\Omega$) est l'ensemble de TOUS les résultats possibles. L'événement est une PARTIE de cet univers qui nous intéresse.

💡 À retenir : Événement $\subset$ Univers.

Est-ce que je peux avoir une probabilité négative ?

Absolument pas. Une probabilité est toujours comprise entre 0 et 1. Si tu trouves un nombre négatif, vérifie tes calculs.

💡 À retenir : $0 \leq P(A) \leq 1$ .

Absolument pas. Une probabilité est toujours comprise entre 0 et 1. Si tu trouves un nombre négatif, vérifie tes calculs.

💡 À retenir : $0 \leq P(A) \leq 1$.

Est-ce que le programme 2025 demande les probabilités conditionnelles ?

(à vérifier par le professeur) Selon le programme actuel, les probabilités conditionnelles ne sont pas au cœur du programme de la filière paramédicale, concentre-toi sur les bases et les lois de probabilités.

💡 À retenir : Maîtrise d'abord les bases du dénombrement.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Une urne contient 8 boules : 5 blanches et 3 noires. On tire simultanément 3 boules.

Calculer le nombre de tirages possibles.
Calculer la probabilité de tirer 3 boules blanches.
Calculer la probabilité de tirer au moins une boule noire.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Un service hospitalier compte 10 infirmiers dont 4 hommes et 6 femmes. On veut former un comité de 3 personnes.

Combien de comités différents peut-on former ?
Combien de comités composés uniquement de femmes peut-on former ?
Quelle est la probabilité que le comité contienne au moins un homme ?

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

On lance un dé équilibré à 6 faces. On s'intéresse à l'événement A : "obtenir un nombre pair".

Déterminer l'univers $\Omega$ .
Calculer $P(A)$ .
Calculer $P(\bar{A})$ .

Exercice 3

On lance un dé équilibré à 6 faces. On s'intéresse à l'événement A : "obtenir un nombre pair".

Déterminer l'univers $\Omega$.
Calculer $P(A)$.
Calculer $P(\bar{A})$.

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