Logique · Commerce & gestion — ENCG

Relations et applications

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Une application $f: E \to F$ associe à tout élément $x \in E$ un unique élément $y \in F$ , noté $f(x)$ .

Injection : $\forall x_1, x_2 \in E, f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = x_2$ .
Surjection : $\forall y \in F, \exists x \in E, f(x) = y$ .
Bijection : $f$ est à la fois injective et surjective.
Composée : $(g \circ f)(x) = g(f(x))$ .

Méthodes à maîtriser

Démontrer l'injectivité : On suppose $f(x_1) = f(x_2)$ et on montre que $x_1 = x_2$ .
Démontrer la surjectivité : On prend $y \in F$ quelconque et on cherche $x \in E$ tel que $f(x) = y$ .
Déterminer la réciproque : On résout l'équation $y = f(x)$ pour exprimer $x$ en fonction de $y$ .

Exemples corrigés

Exemple 1 : $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = 2x+1$ . $f(x_1) = f(x_2) \iff 2x_1+1 = 2x_2+1 \iff 2x_1 = 2x_2 \iff x_1 = x_2$ . Donc $f$ est injective. Exemple 2 : $f(x) = x^2$ de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ n'est pas surjective car $-1$ n'a pas d'antécédent.

Erreurs fréquentes

Confondre l'ensemble de départ et d'arrivée.
Oublier de vérifier l'existence de l'antécédent pour la surjectivité.
Penser qu'une fonction est toujours bijective (ex: $x^2$ sur $\mathbb{R}$ ).

L'essentiel du cours

Une application $f: E \to F$ associe à tout élément $x \in E$ un unique élément $y \in F$, noté $f(x)$.

Injection : $\forall x_1, x_2 \in E, f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = x_2$.
Surjection : $\forall y \in F, \exists x \in E, f(x) = y$.
Bijection : $f$ est à la fois injective et surjective.
Composée : $(g \circ f)(x) = g(f(x))$.

Méthodes à maîtriser

Démontrer l'injectivité : On suppose $f(x_1) = f(x_2)$ et on montre que $x_1 = x_2$.
Démontrer la surjectivité : On prend $y \in F$ quelconque et on cherche $x \in E$ tel que $f(x) = y$.
Déterminer la réciproque : On résout l'équation $y = f(x)$ pour exprimer $x$ en fonction de $y$.

Exemples corrigés

Exemple 1 : $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = 2x+1$. $f(x_1) = f(x_2) \iff 2x_1+1 = 2x_2+1 \iff 2x_1 = 2x_2 \iff x_1 = x_2$. Donc $f$ est injective. Exemple 2 : $f(x) = x^2$ de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ n'est pas surjective car $-1$ n'a pas d'antécédent.

Erreurs fréquentes

Confondre l'ensemble de départ et d'arrivée.
Oublier de vérifier l'existence de l'antécédent pour la surjectivité.
Penser qu'une fonction est toujours bijective (ex: $x^2$ sur $\mathbb{R}$).

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Relations et applications

1/4

Soit $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ une application. Si $\forall x_1, x_2, f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = x_2$ , alors $f$ est :

Soit $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ une application. Si $\forall x_1, x_2, f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = x_2$, alors $f$ est :

❓ Questions fréquentes

Kifach n3ref wach l'application injective wla la?

Tu prends deux éléments $x_1$ et $x_2$ de l'ensemble de départ.
Tu écris l'égalité $f(x_1) = f(x_2)$ .
Tu simplifies l'expression algébriquement.
Si tu arrives à $x_1 = x_2$ sans aucune autre possibilité, alors elle est injective.

💡 À retenir : L'injectivité signifie qu'aucun élément de l'arrivée n'est "partagé" par deux éléments différents du départ.

Tu prends deux éléments $x_1$ et $x_2$ de l'ensemble de départ.
Tu écris l'égalité $f(x_1) = f(x_2)$.
Tu simplifies l'expression algébriquement.
Si tu arrives à $x_1 = x_2$ sans aucune autre possibilité, alors elle est injective.

💡 À retenir : L'injectivité signifie qu'aucun élément de l'arrivée n'est "partagé" par deux éléments différents du départ.

Chno hiya lfarq bin l'image f(x) w l'ensemble des images f(E)?

$f(x)$ est un élément unique de l'ensemble d'arrivée pour un $x$ donné.
$f(E)$ est l'ensemble de tous les résultats possibles de l'application.

💡 À retenir : $f(E)$ est une partie de l'ensemble d'arrivée $F$ . Si $f(E) = F$ , alors l'application est surjective.

$f(x)$ est un élément unique de l'ensemble d'arrivée pour un $x$ donné.
$f(E)$ est l'ensemble de tous les résultats possibles de l'application.

💡 À retenir : $f(E)$ est une partie de l'ensemble d'arrivée $F$. Si $f(E) = F$, alors l'application est surjective.

Kifach n7seb l'application réciproque f^{-1}?

Tu poses $y = f(x)$ .
Tu isoles $x$ pour l'écrire en fonction de $y$ (ex: $x = ...y...$ ).
Tu remplaces $y$ par $x$ pour donner l'expression finale $f^{-1}(x)$ .

💡 À retenir : L'application réciproque n'existe que si $f$ est une bijection.

Tu poses $y = f(x)$.
Tu isoles $x$ pour l'écrire en fonction de $y$ (ex: $x = ...y...$).
Tu remplaces $y$ par $x$ pour donner l'expression finale $f^{-1}(x)$.

💡 À retenir : L'application réciproque n'existe que si $f$ est une bijection.

Est-ce qu'une application peut être surjective sans être injective ?

Oui, par exemple $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^+, f(x) = x^2$ . Tout réel positif a un antécédent, donc elle est surjective, mais $f(1) = f(-1) = 1$ , donc elle n'est pas injective.

Oui, par exemple $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^+, f(x) = x^2$. Tout réel positif a un antécédent, donc elle est surjective, mais $f(1) = f(-1) = 1$, donc elle n'est pas injective.

Si f est une bijection, que vaut f^{-1} circ f ?

Elle vaut l'application identité $Id_E$ . C'est-à-dire que pour tout $x$ , $(f^{-1} \circ f)(x) = x$ .

Elle vaut l'application identité $Id_E$. C'est-à-dire que pour tout $x$, $(f^{-1} \circ f)(x) = x$.

Comment montrer qu'une application n'est pas surjective ?

Il suffit de trouver un élément $y$ dans l'ensemble d'arrivée qui n'a aucun antécédent dans l'ensemble de départ (montrer que l'équation $f(x) = y$ n'a pas de solution).

Est-ce que la composée de deux bijections est une bijection ?

Oui, la composée de deux bijections est toujours une bijection.

Est-ce que f(A cup B) = f(A) cup f(B) est toujours vrai ?

Oui, c'est une propriété fondamentale des images directes dans le cours sur les applications.

Si f est injective, est-ce que f(A cap B) = f(A) cap f(B) ?

Oui, l'injectivité permet d'avoir cette égalité pour toutes les parties $A$ et $B$ de l'ensemble de départ.

Comment justifier qu'une application est une bijection ?

Tu peux soit montrer qu'elle est à la fois injective et surjective, soit montrer qu'elle possède une application réciproque.

Est-ce que le graphe d'une application est toujours une droite ?

Non, le graphe dépend de la nature de la fonction (polynôme, homographie, etc.). C'est juste l'ensemble des couples $(x, f(x))$ .

Non, le graphe dépend de la nature de la fonction (polynôme, homographie, etc.). C'est juste l'ensemble des couples $(x, f(x))$.

Si f: E to F est bijective, quelle est la relation entre f et f^{-1} ?

Elles sont symétriques par rapport à la première bissectrice dans un repère orthonormé.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $f: \mathbb{R} \setminus \{1\} \to \mathbb{R} \setminus \{2\}$ définie par $f(x) = \frac{2x+3}{x-1}$ .

Montrer que $f$ est injective.
Montrer que $f$ est surjective.

Exercice 1

Soit $f: \mathbb{R} \setminus {1} \to \mathbb{R} \setminus {2}$ définie par $f(x) = \frac{2x+3}{x-1}$.

Montrer que $f$ est injective.
Montrer que $f$ est surjective.

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Exercice 2

Soit $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, x \mapsto x^2 - 2x$ .

Est-ce que $f$ est injective ? Justifier.
Déterminer l'image de $\mathbb{R}$ par $f$ .

Exercice 2

Soit $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, x \mapsto x^2 - 2x$.

Est-ce que $f$ est injective ? Justifier.
Déterminer l'image de $\mathbb{R}$ par $f$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Soit $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = 3x-5$ . Montrer que $f$ est une bijection et déterminer $f^{-1}$ .

Exercice 3

Soit $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = 3x-5$. Montrer que $f$ est une bijection et déterminer $f^{-1}$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

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