Physique-Chimie · 2ème Année Bac — Sciences et Technologies Mécaniques

Le dipôle RC

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

1. Caractéristiques du condensateur :

La charge électrique $q$ stockée par un condensateur de capacité $C$ est : $q = C \cdot u_C$ .
L'intensité du courant $i$ traversant le condensateur est la dérivée de la charge par rapport au temps : $i = \frac{dq}{dt} = C \frac{du_C}{dt}$ .
L'énergie électrique emmagasinée est : $E_{el} = \frac{1}{2} C u_C^2$ .

2. Étude du dipôle RC en charge :

Loi des mailles : $u_R + u_C = E \Rightarrow RC \frac{du_C}{dt} + u_C = E$ .
Solution de l'équation : $u_C(t) = E(1 - e^{-\frac{t}{\tau}})$ .
À l'état permanent ( $t \to \infty$ ) : $u_C = E$ et $i = 0$ .

3. Étude du dipôle RC en décharge :

Loi des mailles : $u_R = u_C \Rightarrow RC \frac{du_C}{dt} + u_C = 0$ .
Solution de l'équation : $u_C(t) = E \cdot e^{-\frac{t}{\tau}}$ .
À l'état permanent ( $t \to \infty$ ) : $u_C = 0$ et $i = 0$ .

4. La constante de temps $\tau$ :

Formule : $\tau = R \cdot C$ .
Elle caractérise la rapidité de la charge ou de la décharge.
Méthode graphique : $\tau$ est l'abscisse du point d'intersection entre la tangente à l'origine ( $t=0$ ) et la courbe $u_C(t)$ .

Méthodes à maîtriser

Établir l'équation différentielle : Utiliser la loi des mailles et la relation $i = C \frac{du_C}{dt}$ .
Déterminer $\tau$ graphiquement :
- Méthode de la tangente : Tracer la tangente à $t=0$ , l'intersection avec l'asymptote donne $\tau$ .
- Méthode des $63\%$ : $\tau$ est la valeur de $t$ tel que $u_C(t) = 0,63 \cdot E$ (en charge).
- Méthode des $37\%$ : $\tau$ est la valeur de $t$ tel que $u_C(t) = 0,37 \cdot E$ (en décharge).
Calculer l'énergie : Toujours utiliser la tension $u_C$ aux bornes du condensateur au moment demandé.

Exemples corrigés

Exemple : Un condensateur de $C = 100 \mu F$ est chargé par un générateur $E = 10V$ à travers $R = 1 k\Omega$ . Calculer $\tau$ et la tension après $t = \tau$ . Corrigé :

Calcul de $\tau$ : $\tau = R \cdot C = 10^3 \times 100 \times 10^{-6} = 0,1 \text{ s}$ .
Tension à $t = \tau$ : $u_C(\tau) = 10(1 - e^{-1}) \approx 10 \times 0,63 = 6,3 \text{ V}$ .

Erreurs fréquentes

Confusion d'unités : Ne pas convertir les $\mu F$ en $F$ ( $1 \mu F = 10^{-6} F$ ) ou les $k\Omega$ en $\Omega$ ( $1 k\Omega = 10^3 \Omega$ ).
Erreur de signe : Dans l'équation différentielle de décharge, oublier que $u_R = -u_C$ selon le sens conventionnel.
Oubli de la dérivée : Confondre $i = C \cdot u_C$ (faux) avec $i = C \frac{du_C}{dt}$ (vrai).

L'essentiel du cours

1. Caractéristiques du condensateur :

La charge électrique $q$ stockée par un condensateur de capacité $C$ est : $q = C \cdot u_C$.
L'intensité du courant $i$ traversant le condensateur est la dérivée de la charge par rapport au temps : $i = \frac{dq}{dt} = C \frac{du_C}{dt}$.
L'énergie électrique emmagasinée est : $E_{el} = \frac{1}{2} C u_C^2$.

2. Étude du dipôle RC en charge :

Loi des mailles : $u_R + u_C = E \Rightarrow RC \frac{du_C}{dt} + u_C = E$.
Solution de l'équation : $u_C(t) = E(1 - e^{-\frac{t}{\tau}})$.
À l'état permanent ($t \to \infty$) : $u_C = E$ et $i = 0$.

3. Étude du dipôle RC en décharge :

Loi des mailles : $u_R = u_C \Rightarrow RC \frac{du_C}{dt} + u_C = 0$.
Solution de l'équation : $u_C(t) = E \cdot e^{-\frac{t}{\tau}}$.
À l'état permanent ($t \to \infty$) : $u_C = 0$ et $i = 0$.

4. La constante de temps $\tau$ :

Formule : $\tau = R \cdot C$.
Elle caractérise la rapidité de la charge ou de la décharge.
Méthode graphique : $\tau$ est l'abscisse du point d'intersection entre la tangente à l'origine ($t=0$) et la courbe $u_C(t)$.

Méthodes à maîtriser

Établir l'équation différentielle : Utiliser la loi des mailles et la relation $i = C \frac{du_C}{dt}$.
Déterminer $\tau$ graphiquement :
- Méthode de la tangente : Tracer la tangente à $t=0$, l'intersection avec l'asymptote donne $\tau$.
- Méthode des $63%$ : $\tau$ est la valeur de $t$ tel que $u_C(t) = 0,63 \cdot E$ (en charge).
- Méthode des $37%$ : $\tau$ est la valeur de $t$ tel que $u_C(t) = 0,37 \cdot E$ (en décharge).
Calculer l'énergie : Toujours utiliser la tension $u_C$ aux bornes du condensateur au moment demandé.

Exemples corrigés

Exemple : Un condensateur de $C = 100 \mu F$ est chargé par un générateur $E = 10V$ à travers $R = 1 k\Omega$. Calculer $\tau$ et la tension après $t = \tau$. Corrigé :

Calcul de $\tau$ : $\tau = R \cdot C = 10^3 \times 100 \times 10^{-6} = 0,1 \text{ s}$.
Tension à $t = \tau$ : $u_C(\tau) = 10(1 - e^{-1}) \approx 10 \times 0,63 = 6,3 \text{ V}$.

Erreurs fréquentes

Confusion d'unités : Ne pas convertir les $\mu F$ en $F$ ($1 \mu F = 10^{-6} F$) ou les $k\Omega$ en $\Omega$ ($1 k\Omega = 10^3 \Omega$).
Erreur de signe : Dans l'équation différentielle de décharge, oublier que $u_R = -u_C$ selon le sens conventionnel.
Oubli de la dérivée : Confondre $i = C \cdot u_C$ (faux) avec $i = C \frac{du_C}{dt}$ (vrai).

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🎯 Le dipôle RC

1/4

Quelle est l'unité de la constante de temps $\tau$ ?

❓ Questions fréquentes

Chno hiya l'unité dial la capacité C ?

L'unité de la capacité $C$ dans le Système International est le Farad (F). Dans les exercices, on utilise souvent le microfarad ( $\mu F$ ), où $1 \mu F = 10^{-6} F$ .

💡 À retenir : Toujours convertir en Farads avant de faire un calcul.

L'unité de la capacité $C$ dans le Système International est le Farad (F). Dans les exercices, on utilise souvent le microfarad ($\mu F$), où $1 \mu F = 10^{-6} F$.

💡 À retenir : Toujours convertir en Farads avant de faire un calcul.

Kifach n3ref wach l'condensateur fih la charge ou la décharge ?

Il suffit de regarder l'évolution de la tension $u_C(t)$ :

Si $u_C$ augmente vers la valeur de $E$ : c'est la charge.
Si $u_C$ diminue vers $0$ : c'est la décharge.

💡 À retenir : La pente de la courbe change de signe selon le régime.

Il suffit de regarder l'évolution de la tension $u_C(t)$ :

Si $u_C$ augmente vers la valeur de $E$ : c'est la charge.
Si $u_C$ diminue vers $0$ : c'est la décharge.

💡 À retenir : La pente de la courbe change de signe selon le régime.

Quelle est la relation entre l'intensité i et la tension uC ?

La relation est donnée par la formule : $i(t) = C \frac{du_C(t)}{dt}$ Cela signifie que l'intensité est proportionnelle à la vitesse de variation de la tension.

💡 À retenir : $i$ n'est pas égal à $C \cdot u_C$ , mais à la dérivée de $u_C$ multipliée par $C$ .

La relation est donnée par la formule : $$i(t) = C \frac{du_C(t)}{dt}$$ Cela signifie que l'intensité est proportionnelle à la vitesse de variation de la tension.

💡 À retenir : $i$ n'est pas égal à $C \cdot u_C$, mais à la dérivée de $u_C$ multipliée par $C$.

Comment calculer tau à partir d'un graphique ?

Il existe deux méthodes principales :

Méthode de la tangente : On trace la tangente à l'origine ( $t=0$ ). L'abscisse du point d'intersection avec l'asymptote (la valeur finale) est $\tau$ .
Méthode de la valeur : On cherche l'abscisse $t$ pour laquelle $u_C = 0,63 \cdot E$ (en charge).

💡 À retenir : La méthode de la tangente est souvent la plus précise visuellement.

Il existe deux méthodes principales :

Méthode de la tangente : On trace la tangente à l'origine ($t=0$). L'abscisse du point d'intersection avec l'asymptote (la valeur finale) est $\tau$.
Méthode de la valeur : On cherche l'abscisse $t$ pour laquelle $u_C = 0,63 \cdot E$ (en charge).

💡 À retenir : La méthode de la tangente est souvent la plus précise visuellement.

Wach uR dima كتساوي uC ?

Non.

En charge : $u_R + u_C = E$ , donc $u_R = E - u_C$ . Au début ( $t=0$ ), $u_R = E$ .
En décharge : $u_R = u_C$ (si on considère que le générateur est remplacé par un fil).

💡 À retenir : En charge, la tension du résistor diminue quand celle du condensateur augmente.

Non.

En charge : $u_R + u_C = E$, donc $u_R = E - u_C$. Au début ($t=0$), $u_R = E$.
En décharge : $u_R = u_C$ (si on considère que le générateur est remplacé par un fil).

💡 À retenir : En charge, la tension du résistor diminue quand celle du condensateur augmente.

Que se passe-t-il quand t devient très grand (t to infty) ?

En charge : Le condensateur est "plein". $u_C = E$ et $i = 0$ . On dit qu'il est en régime permanent.
En décharge : Le condensateur est vide. $u_C = 0$ et $i = 0$ .

💡 À retenir : À l'état permanent, le courant ne circule plus dans le circuit RC.

En charge : Le condensateur est "plein". $u_C = E$ et $i = 0$. On dit qu'il est en régime permanent.
En décharge : Le condensateur est vide. $u_C = 0$ et $i = 0$.

💡 À retenir : À l'état permanent, le courant ne circule plus dans le circuit RC.

Quelle est la formule de l'énergie stockée ?

L'énergie électrique $E_{el}$ stockée dans le condensateur est : $E_{el} = \frac{1}{2} C u_C^2$ Attention : l'énergie dépend du carré de la tension.

💡 À retenir : Si la tension double, l'énergie est multipliée par 4.

L'énergie électrique $E_{el}$ stockée dans le condensateur est : $$E_{el} = \frac{1}{2} C u_C^2$$ Attention : l'énergie dépend du carré de la tension.

💡 À retenir : Si la tension double, l'énergie est multipliée par 4.

Chno hiya l'unité dial tau ?

La constante de temps $\tau$ a la même unité que le temps, c'est-à-dire la seconde (s). Comme $\tau = R \cdot C$ , l'unité est $(\Omega) \cdot (F) = (V/A) \cdot (As/V) = s$ .

💡 À retenir : Si vous trouvez une unité autre que la seconde, votre calcul de $\tau$ est faux.

La constante de temps $\tau$ a la même unité que le temps, c'est-à-dire la seconde (s). Comme $\tau = R \cdot C$, l'unité est $(\Omega) \cdot (F) = (V/A) \cdot (As/V) = s$.

💡 À retenir : Si vous trouvez une unité autre que la seconde, votre calcul de $\tau$ est faux.

Comment trouver R si on connaît tau et C ?

On utilise la relation $\tau = RC$ . On isole $R$ : $R = \frac{\tau}{C}$

💡 À retenir : Vérifiez bien que $C$ est en Farads.

On utilise la relation $\tau = RC$. On isole $R$ : $$R = \frac{\tau}{C}$$

💡 À retenir : Vérifiez bien que $C$ est en Farads.

Pourquoi la courbe de charge ne dépasse-t-elle jamais E ?

Parce que le condensateur agit comme un obstacle. Dès que $u_C$ approche $E$ , la différence de potentiel $u_R = E - u_C$ devient presque nulle, donc le courant $i$ s'annule.

💡 À retenir : $E$ est la limite asymptotique de la tension.

Parce que le condensateur agit comme un obstacle. Dès que $u_C$ approche $E$, la différence de potentiel $u_R = E - u_C$ devient presque nulle, donc le courant $i$ s'annule.

💡 À retenir : $E$ est la limite asymptotique de la tension.

Est-ce que tau dépend de la tension E ?

Non. La constante de temps $\tau = RC$ ne dépend que des composants du circuit ( $R$ et $C$ ). Elle ne dépend pas de la valeur de la tension du générateur.

💡 À retenir : Changer $E$ change la hauteur de la courbe, mais pas sa "vitesse" de montée.

Non. La constante de temps $\tau = RC$ ne dépend que des composants du circuit ($R$ et $C$). Elle ne dépend pas de la valeur de la tension du générateur.

💡 À retenir : Changer $E$ change la hauteur de la courbe, mais pas sa "vitesse" de montée.

Si on augmente R, que devient tau ?

Si $R$ augmente, $\tau$ augmente (car $\tau = RC$ ). Cela signifie que la charge ou la décharge sera plus lente.

💡 À retenir : Plus la résistance est grande, plus le courant est faible, plus le processus est lent.

Si $R$ augmente, $\tau$ augmente (car $\tau = RC$). Cela signifie que la charge ou la décharge sera plus lente.

💡 À retenir : Plus la résistance est grande, plus le courant est faible, plus le processus est lent.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Exercice 1 : Niveau Facile (Analyse de courbe) Un condensateur de capacité $C = 200 \mu F$ est chargé par un générateur de tension constante $E = 12 V$ à travers une résistance $R = 5 k\Omega$ .

Calculer la constante de temps $\tau$ du circuit.
Déterminer la valeur de la tension $u_C$ à l'instant $t = \tau$ .
Calculer l'énergie emmagasinée par le condensateur à l'instant $t = \tau$ .

Exercice 2 : Niveau Moyen (Équation différentielle) On considère un circuit comprenant un générateur de tension $E$ , un conducteur ohmique de résistance $R$ et un condensateur de capacité $C$ montés en série. On étudie la charge du condensateur.

Établir l'équation différentielle vérifiée par la tension $u_C(t)$ .
Donner la solution de cette équation.
Montrer que la dérivée de la tension est $\frac{du_C}{dt} = \frac{E - u_C}{RC}$ .

Exercice 3 : Niveau National (Décharge et Énergie) Un condensateur de capacité $C = 10^{-3} F$ est chargé à une tension $E = 20 V$ . On le décharge à travers une résistance $R = 100 \Omega$ .

Calculer $\tau$ .
Tracer l'allure de la courbe $u_C(t)$ (description textuelle des points clés).
Calculer l'intensité du courant $i$ à l'instant $t = 0$ (début de la décharge).
Calculer l'énergie dissipée par la résistance entre $t=0$ et $t=\tau$ .

Exercice 1

Calculer la constante de temps $\tau$ du circuit.
Déterminer la valeur de la tension $u_C$ à l'instant $t = \tau$.
Calculer l'énergie emmagasinée par le condensateur à l'instant $t = \tau$.

Exercice 2 : Niveau Moyen (Équation différentielle) On considère un circuit comprenant un générateur de tension $E$, un conducteur ohmique de résistance $R$ et un condensateur de capacité $C$ montés en série. On étudie la charge du condensateur.

Établir l'équation différentielle vérifiée par la tension $u_C(t)$.
Donner la solution de cette équation.
Montrer que la dérivée de la tension est $ \frac{du_C}{dt} = \frac{E - u_C}{RC} $.

Exercice 3 : Niveau National (Décharge et Énergie) Un condensateur de capacité $C = 10^{-3} F$ est chargé à une tension $E = 20 V$. On le décharge à travers une résistance $R = 100 \Omega$.

Calculer $\tau$.
Tracer l'allure de la courbe $u_C(t)$ (description textuelle des points clés).
Calculer l'intensité du courant $i$ à l'instant $t = 0$ (début de la décharge).
Calculer l'énergie dissipée par la résistance entre $t=0$ et $t=\tau$.

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