Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.
📘 Fiche de cours
L'essentiel du cours
Un espace vectoriel $(E, +, \cdot)$ sur un corps $\mathbb{K}$ ($\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$) est un ensemble muni d'une addition interne et d'une multiplication externe vérifiant les 8 axiomes classiques (associativité, commutativité, élément neutre, opposé, distributivité).
Un sous-espace vectoriel $F$ de $E$ doit vérifier :
$\forall \lambda \in \mathbb{K}, \forall u \in F, \lambda \cdot u \in F$ (stabilité par multiplication externe).
Méthodes à maîtriser
Démontrer qu'un ensemble est un SEV : Vérifier $0_E \in F$ puis la stabilité par combinaison linéaire : $\lambda u + \mu v \in F$.
Montrer qu'une famille est libre : Résoudre l'équation $\sum \lambda_i v_i = 0_E$ et montrer que tous les $\lambda_i = 0$.
Montrer qu'une famille est une base : Vérifier qu'elle est libre ET génératrice (ou utiliser le théorème de la dimension si $E$ est de dimension finie).
Exemples corrigés
L'ensemble $F = { (x, y) \in \mathbb{R}^2 / x + 2y = 0 }$ est un SEV de $\mathbb{R}^2$.
La famille ${(1, 0), (0, 1)}$ est la base canonique de $\mathbb{R}^2$.
Erreurs fréquentes
Oublier de vérifier que le vecteur nul appartient à $F$.
Confondre "famille libre" et "famille génératrice".
Penser qu'une réunion de deux SEV est toujours un SEV (c'est faux en général).
🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR
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Quel est l'élément neutre de l'addition dans $\mathbb{R}^3$ ?
❓ Questions fréquentes
Est-ce que l'ensemble des polynômes de degré exactement n est un espace vectoriel ?
Non, ce n'est pas un espace vectoriel. Si on prend $P(X) = X^n + X$ et $Q(X) = -X^n + 1$, alors $P+Q = X+1$, qui est de degré 1, pas $n$. Il n'y a pas stabilité par addition.
💡 À retenir : Un SEV doit contenir le vecteur nul (le polynôme nul), ce qui n'est pas le cas ici.
Kifach n3ref wach wa7d l'ensemble F howa sous-espace vectoriel awla la ?
Chof wach $0_E$ kayn f $F$. Ila kan l'ensemble fih des équations, khass $0$ y7a9a9hom.
Khod joj vecteurs $u, v$ men $F$ o joj scalaires $\alpha, \beta$.
7seb $\alpha u + \beta v$ o chof wach ba9i f $F$.
💡 À retenir : La condition de stabilité par combinaison linéaire est la plus importante.
Est-ce que toute famille libre est une base ?
Non. Une famille libre est une base si et seulement si elle est aussi génératrice de l'espace $E$. Si la dimension de $E$ est connue (disons $n$), alors une famille libre de $n$ vecteurs est automatiquement une base.
💡 À retenir : Libre + Génératrice = Base.
Chno hiya la différence bin l'espace vectoriel o l'espace affine ?
L'espace vectoriel a toujours une origine fixe ($0_E$). L'espace affine est un ensemble de points où on ne peut pas faire de somme de points, seulement des différences (vecteurs).
💡 À retenir : Dans un EV, on peut additionner deux éléments. Dans un espace affine, on additionne un point et un vecteur.
Comment montrer qu'une famille est génératrice ?
Il faut prendre un vecteur quelconque $u$ de $E$ et montrer qu'il existe des scalaires $\lambda_i$ tels que $u = \sum \lambda_i v_i$.
💡 À retenir : Il faut résoudre un système d'équations linéaires.
Kifach n7seb dimension dial wa7d l'espace ?
7dd une base dial l'espace.
7seb ch7al men vecteur kayn f dik la base.
Hadak l3adad howa la dimension.
💡 À retenir : La dimension est le nombre de vecteurs dans n'importe quelle base.
Si j'ai une famille de 3 vecteurs dans mathbb{R}^2, est-ce qu'elle peut être libre ?
Non, car dans un espace de dimension $n$, toute famille de plus de $n$ vecteurs est liée. Ici $3 > 2$.
💡 À retenir : Une famille libre ne peut pas dépasser la dimension de l'espace.
Est-ce que l'ensemble des matrices symétriques est un SEV ?
Oui. Si $A$ et $B$ sont symétriques ($A^T=A, B^T=B$), alors $(\alpha A + \beta B)^T = \alpha A^T + \beta B^T = \alpha A + \beta B$. Donc la combinaison est symétrique.
💡 À retenir : La symétrie est conservée par combinaison linéaire.
Qu'est-ce qu'une somme directe ?
C'est une somme de deux SEV $F$ et $G$ telle que $F \cap G = {0_E}$. Cela signifie que tout vecteur $w \in F+G$ s'écrit de manière unique $w = u+v$ avec $u \in F$ et $v \in G$.
💡 À retenir : L'intersection doit être réduite au vecteur nul.
Est-ce que le vecteur nul est toujours dans une base ?
Jamais ! Une base est une famille libre. Or, une famille contenant le vecteur nul est toujours liée (car $1 \cdot 0_E + 0 \cdot v_2 + \dots = 0_E$).
💡 À retenir : Une base ne contient jamais le vecteur nul.
Est-ce que deux bases d'un même espace ont le même nombre de vecteurs ?
Oui, c'est une propriété fondamentale des espaces vectoriels de dimension finie. Ce nombre est justement la dimension de l'espace.
💡 À retenir : La dimension est indépendante du choix de la base.
Peut-on avoir un espace vectoriel sans base ?
Oui, les espaces de dimension infinie (comme l'espace des fonctions continues sur $[0, 1]$) n'ont pas de base finie.
💡 À retenir : Le programme se concentre sur la dimension finie.
✍️ Exercices type examen national
Exercice 1
Soit $E = \mathbb{R}^3$. On considère l'ensemble $F = { (x, y, z) \in \mathbb{R}^3 / x + y - z = 0 }$.
Montrer que $F$ est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^3$.
Soit $E = \mathbb{R}_2[X]$ l'espace des polynômes de degré inférieur ou égal à 2.
Soient $P_1 = 1+X$, $P_2 = X+X^2$, $P_3 = 1+X^2$.
La famille $\mathcal{B} = (P_1, P_2, P_3)$ est-elle une base de $E$ ?
Un espace vectoriel (E,+,⋅) sur un corps K (R ou C) est un ensemble muni d'une addition interne et d'une multiplication externe vérifiant les 8 axiomes classiques (associativité, commutativité, élément neutre, opposé, distributivité).
Un sous-espace vectoriel F de E doit vérifier :
F=∅ (souvent 0E∈F).
∀(u,v)∈F2,u+v∈F (stabilité par addition).
∀λ∈K,∀u∈F,λ⋅u∈F (stabilité par multiplication externe).
Méthodes à maîtriser
Démontrer qu'un ensemble est un SEV : Vérifier 0E∈F puis la stabilité par combinaison linéaire : λu+μv∈F.
Montrer qu'une famille est libre : Résoudre l'équation ∑λivi=0E et montrer que tous les λi=0.
Montrer qu'une famille est une base : Vérifier qu'elle est libre ET génératrice (ou utiliser le théorème de la dimension si E est de dimension finie).
Exemples corrigés
L'ensemble F={(x,y)∈R2/x+2y=0} est un SEV de R2.
La famille {(1,0),(0,1)} est la base canonique de R2.
Erreurs fréquentes
Oublier de vérifier que le vecteur nul appartient à F.
Confondre "famille libre" et "famille génératrice".
Penser qu'une réunion de deux SEV est toujours un SEV (c'est faux en général).
Quel est l'élément neutre de l'addition dans R3 ?
(1,1,1)
(0,0,0)
(x,y,z)
Non, ce n'est pas un espace vectoriel. Si on prend P(X)=Xn+X et Q(X)=−Xn+1, alors P+Q=X+1, qui est de degré 1, pas n. Il n'y a pas stabilité par addition.
💡 À retenir : Un SEV doit contenir le vecteur nul (le polynôme nul), ce qui n'est pas le cas ici.
Chof wach 0E kayn f F. Ila kan l'ensemble fih des équations, khass 0 y7a9a9hom.
Khod joj vecteurs u,v men F o joj scalaires α,β.
7seb αu+βv o chof wach ba9i f F.
💡 À retenir : La condition de stabilité par combinaison linéaire est la plus importante.
Non. Une famille libre est une base si et seulement si elle est aussi génératrice de l'espace E. Si la dimension de E est connue (disons n), alors une famille libre de n vecteurs est automatiquement une base.
💡 À retenir : Libre + Génératrice = Base.
L'espace vectoriel a toujours une origine fixe (0E). L'espace affine est un ensemble de points où on ne peut pas faire de somme de points, seulement des différences (vecteurs).
💡 À retenir : Dans un EV, on peut additionner deux éléments. Dans un espace affine, on additionne un point et un vecteur.
Il faut prendre un vecteur quelconque u de E et montrer qu'il existe des scalaires λi tels que u=∑λivi.
💡 À retenir : Il faut résoudre un système d'équations linéaires.
Non, car dans un espace de dimension n, toute famille de plus de n vecteurs est liée. Ici 3>2.
💡 À retenir : Une famille libre ne peut pas dépasser la dimension de l'espace.
Oui. Si A et B sont symétriques (AT=A,BT=B), alors (αA+βB)T=αAT+βBT=αA+βB. Donc la combinaison est symétrique.
💡 À retenir : La symétrie est conservée par combinaison linéaire.
C'est une somme de deux SEV F et G telle que F∩G={0E}. Cela signifie que tout vecteur w∈F+G s'écrit de manière unique w=u+v avec u∈F et v∈G.
💡 À retenir : L'intersection doit être réduite au vecteur nul.
Jamais ! Une base est une famille libre. Or, une famille contenant le vecteur nul est toujours liée (car 1⋅0E+0⋅v2+⋯=0E).
💡 À retenir : Une base ne contient jamais le vecteur nul.
Oui, les espaces de dimension infinie (comme l'espace des fonctions continues sur [0,1]) n'ont pas de base finie.
💡 À retenir : Le programme se concentre sur la dimension finie.
Exercice 1
Soit E=R3. On considère l'ensemble F={(x,y,z)∈R3/x+y−z=0}.
Montrer que F est un sous-espace vectoriel de R3.
Déterminer une base de F et sa dimension.
Exercice 2
Soit E=R2[X] l'espace des polynômes de degré inférieur ou égal à 2.
Soient P1=1+X, P2=X+X2, P3=1+X2.
La famille B=(P1,P2,P3) est-elle une base de E ?
Exercice 3
Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de R3 de dimension 2. Montrer que F∩G={0}.