Sciences de l'ingénieur · 1ère Année Bac — Sciences et Technologies Électriques

Comportement des systèmes (Cinématique)

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

La cinématique étudie le mouvement des systèmes sans se soucier des causes (forces) qui le produisent.

1. Types de mouvements :

Translation : Tous les points du système ont des trajectoires identiques (droites ou courbes).
Rotation : Le système tourne autour d'un axe fixe. Tous les points décrivent des cercles centrés sur cet axe (sauf les points sur l'axe).

2. Grandeurs de la rotation :

Abscisse angulaire ( $\theta$ ) : Mesurée en radians ( $\text{rad}$ ).
Vitesse angulaire ( $\omega$ ) : C'est la rapidité de rotation. $\omega = \frac{\Delta \theta}{\Delta t} \text{ (en rad/s)}$
Relation avec la fréquence ( $f$ ) et la période ( $T$ ) : $\omega = 2\pi f = \frac{2\pi}{T}$
Accélération angulaire ( $\alpha$ ) : $\alpha = \frac{\Delta \omega}{\Delta t} \text{ (en rad/s}^2\text{)}$

3. Relation entre mouvement linéaire et rotation : Pour un point situé à une distance $R$ de l'axe de rotation :

Vitesse linéaire ( $v$ ) : $v = R \cdot \omega$
Accélération tangentielle ( $a_t$ ) : $a_t = R \cdot \alpha$

Méthodes à maîtriser

Conversion de l'unité de vitesse : Passer de la vitesse de rotation en tours/min ( $N$ ) à la vitesse angulaire en rad/s : $\omega = \frac{2\pi \cdot N}{60}$
Calcul de la vitesse d'un point : Identifier le rayon $R$ du point par rapport à l'axe, calculer $\omega$ , puis appliquer $v = R \cdot \omega$ .
Calcul de la période : Si on connaît la fréquence $f$ , alors $T = \frac{1}{f}$ .

Exemples corrigés

Exemple 1 : Un moteur tourne à $3000 \text{ tr/min}$ . Calculer sa vitesse angulaire $\omega$ . Solution :

On utilise la formule de conversion : $\omega = \frac{2\pi \cdot N}{60}$ .
$\omega = \frac{2\pi \cdot 3000}{60} = 100\pi \approx 314,16 \text{ rad/s}$ .

Exemple 2 : Une roue de rayon $R = 0,2 \text{ m}$ tourne à $\omega = 10 \text{ rad/s}$ . Quelle est la vitesse linéaire d'un point sur le bord ? Solution :

On applique la formule : $v = R \cdot \omega$ .
$v = 0,2 \cdot 10 = 2 \text{ m/s}$ .

Erreurs fréquentes

Oublier de convertir les tours/min en rad/s : C'est l'erreur la plus classique. Utilisez toujours $\frac{2\pi \cdot N}{60}$ .
Confondre $R$ et le diamètre : Le rayon est la moitié du diamètre.
Mauvaise unité de l'angle : En physique, l'angle doit toujours être en radians et non en degrés.

L'essentiel du cours

La cinématique étudie le mouvement des systèmes sans se soucier des causes (forces) qui le produisent.

1. Types de mouvements :

Translation : Tous les points du système ont des trajectoires identiques (droites ou courbes).
Rotation : Le système tourne autour d'un axe fixe. Tous les points décrivent des cercles centrés sur cet axe (sauf les points sur l'axe).

2. Grandeurs de la rotation :

Abscisse angulaire ($\theta$) : Mesurée en radians ($\text{rad}$).
Vitesse angulaire ($\omega$) : C'est la rapidité de rotation. $$\omega = \frac{\Delta \theta}{\Delta t} \text{ (en rad/s)}$$
Relation avec la fréquence ($f$) et la période ($T$) : $$\omega = 2\pi f = \frac{2\pi}{T}$$
Accélération angulaire ($\alpha$) : $$\alpha = \frac{\Delta \omega}{\Delta t} \text{ (en rad/s}^2\text{)}$$

3. Relation entre mouvement linéaire et rotation : Pour un point situé à une distance $R$ de l'axe de rotation :

Vitesse linéaire ($v$) : $$v = R \cdot \omega$$
Accélération tangentielle ($a_t$) : $$a_t = R \cdot \alpha$$

Méthodes à maîtriser

Conversion de l'unité de vitesse : Passer de la vitesse de rotation en tours/min ($N$) à la vitesse angulaire en rad/s : $$\omega = \frac{2\pi \cdot N}{60}$$
Calcul de la vitesse d'un point : Identifier le rayon $R$ du point par rapport à l'axe, calculer $\omega$, puis appliquer $v = R \cdot \omega$.
Calcul de la période : Si on connaît la fréquence $f$, alors $T = \frac{1}{f}$.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Un moteur tourne à $3000 \text{ tr/min}$. Calculer sa vitesse angulaire $\omega$. Solution :

On utilise la formule de conversion : $\omega = \frac{2\pi \cdot N}{60}$.
$\omega = \frac{2\pi \cdot 3000}{60} = 100\pi \approx 314,16 \text{ rad/s}$.

Exemple 2 : Une roue de rayon $R = 0,2 \text{ m}$ tourne à $\omega = 10 \text{ rad/s}$. Quelle est la vitesse linéaire d'un point sur le bord ? Solution :

On applique la formule : $v = R \cdot \omega$.
$v = 0,2 \cdot 10 = 2 \text{ m/s}$.

Erreurs fréquentes

Oublier de convertir les tours/min en rad/s : C'est l'erreur la plus classique. Utilisez toujours $\frac{2\pi \cdot N}{60}$.
Confondre $R$ et le diamètre : Le rayon est la moitié du diamètre.
Mauvaise unité de l'angle : En physique, l'angle doit toujours être en radians et non en degrés.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Comportement des systèmes (Cinématique)

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Quelle est l'unité de la vitesse angulaire $\omega$ ?

❓ Questions fréquentes

Quelle est la différence entre la translation et la rotation ?

En translation, tous les points du solide ont le même mouvement (ils suivent des trajectoires parallèles).
En rotation, les points décrivent des cercles de rayons différents autour d'un axe fixe.

💡 À retenir : En rotation, plus on est loin de l'axe, plus la vitesse linéaire est grande.

Chno hiya l-far9 bin vitesse angulaire w vitesse linéaire?

La vitesse angulaire ( $\omega$ ) mesure l'angle parcouru (en rad/s). Elle est la même pour tous les points d'un disque en rotation.
La vitesse linéaire ( $v$ ) mesure la distance parcourue (en m/s). Elle dépend de la distance $R$ par rapport à l'axe.

💡 À retenir : $v = R \cdot \omega$ .

La vitesse angulaire ($\omega$) mesure l'angle parcouru (en rad/s). Elle est la même pour tous les points d'un disque en rotation.
La vitesse linéaire ($v$) mesure la distance parcourue (en m/s). Elle dépend de la distance $R$ par rapport à l'axe.

💡 À retenir : $v = R \cdot \omega$.

Comment calculer la vitesse angulaire omega si on connaît la période T ?

On utilise la relation entre la période et la vitesse angulaire.
La formule est : $\omega = \frac{2\pi}{T}$ .

💡 À retenir : $T$ est le temps pour un tour complet.

On utilise la relation entre la période et la vitesse angulaire.
La formule est : $\omega = \frac{2\pi}{T}$.

💡 À retenir : $T$ est le temps pour un tour complet.

Kifach n7seb l-vitesse dyal moteur ila kan 3tani tr/min?

On appelle $N$ la vitesse en tr/min.
On applique la formule : $\omega = \frac{2\pi \cdot N}{60}$ .

💡 À retenir : Diviser par 60 transforme les minutes en secondes.

On appelle $N$ la vitesse en tr/min.
On applique la formule : $\omega = \frac{2\pi \cdot N}{60}$.

💡 À retenir : Diviser par 60 transforme les minutes en secondes.

Quelle est l'unité de l'accélération angulaire ?

L'unité internationale est le radian par seconde carrée.
Notation : $\text{rad/s}^2$ .

💡 À retenir : C'est la variation de $\omega$ par rapport au temps.

L'unité internationale est le radian par seconde carrée.
Notation : $\text{rad/s}^2$.

💡 À retenir : C'est la variation de $\omega$ par rapport au temps.

Chno hiya l-trajectoire?

La trajectoire est l'ensemble des positions successives occupées par un point en mouvement.
Elle peut être une droite (rectiligne) ou une courbe (curviligne).

💡 À retenir : La trajectoire dépend du référentiel choisi.

Si un disque tourne à vitesse constante, est-ce que son accélération angulaire est nulle ?

Oui.
Si la vitesse angulaire $\omega$ est constante, alors $\Delta \omega = 0$ , donc $\alpha = \frac{\Delta \omega}{\Delta t} = 0$ .

💡 À retenir : Vitesse constante $\implies$ Accélération nulle.

Oui.
Si la vitesse angulaire $\omega$ est constante, alors $\Delta \omega = 0$, donc $\alpha = \frac{\Delta \omega}{\Delta t} = 0$.

💡 À retenir : Vitesse constante $\implies$ Accélération nulle.

Quelle est la relation entre la fréquence f et la période T ?

Elles sont l'inverse l'une de l'autre.
$f = \frac{1}{T}$ ou $T = \frac{1}{f}$ .

💡 À retenir : $f$ est en Hertz (Hz) et $T$ en secondes (s).

Elles sont l'inverse l'une de l'autre.
$f = \frac{1}{T}$ ou $T = \frac{1}{f}$.

💡 À retenir : $f$ est en Hertz (Hz) et $T$ en secondes (s).

Un point est sur l'axe de rotation, quelle est sa vitesse linéaire ?

Sa vitesse linéaire est nulle ( $v = 0$ ).
Car pour un point sur l'axe, le rayon $R = 0$ , donc $v = 0 \cdot \omega = 0$ .

💡 À retenir : L'axe de rotation est la seule ligne où $v=0$ .

Sa vitesse linéaire est nulle ($v = 0$).
Car pour un point sur l'axe, le rayon $R = 0$, donc $v = 0 \cdot \omega = 0$.

💡 À retenir : L'axe de rotation est la seule ligne où $v=0$.

Comment passe-t-on de omega (rad/s) à N (tr/min) ?

On inverse la formule de conversion.
$N = \frac{\omega \cdot 60}{2\pi}$ .

💡 À retenir : C'est l'opération inverse de la conversion standard.

On inverse la formule de conversion.
$N = \frac{\omega \cdot 60}{2\pi}$.

💡 À retenir : C'est l'opération inverse de la conversion standard.

L'accélération tangentielle at est-elle la même pour tous les points d'un disque ?

Non.
Comme $a_t = R \cdot \alpha$ , si $\alpha$ est constant, $a_t$ dépend directement de la distance $R$ . Plus on est loin de l'axe, plus $a_t$ est grande.

💡 À retenir : $a_t$ dépend du rayon.

Non.
Comme $a_t = R \cdot \alpha$, si $\alpha$ est constant, $a_t$ dépend directement de la distance $R$. Plus on est loin de l'axe, plus $a_t$ est grande.

💡 À retenir : $a_t$ dépend du rayon.

Quelle est l'unité de la vitesse linéaire v ?

L'unité internationale est le mètre par seconde.
Notation : $\text{m/s}$ .

💡 À retenir : Ne pas confondre avec les km/h sans conversion.

L'unité internationale est le mètre par seconde.
Notation : $\text{m/s}$.

💡 À retenir : Ne pas confondre avec les km/h sans conversion.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Exercice 1 (Niveau Simple) : Un disque effectue 10 tours en 2 secondes.

Calculer la fréquence $f$ du mouvement.
Calculer la vitesse angulaire $\omega$ en rad/s.
Si le rayon du disque est $R = 10 \text{ cm}$ , calculer la vitesse linéaire $v$ d'un point sur le bord.

Exercice 2 (Niveau Moyen) : Un moteur électrique tourne à une vitesse de $N = 1500 \text{ tr/min}$ . Il entraîne une poulie de diamètre $D = 12 \text{ cm}$ .

Calculer la vitesse angulaire $\omega$ du moteur en rad/s.
Calculer la vitesse linéaire $v$ de la courroie qui relie cette poulie à une autre.

Exercice 3 (Niveau Difficile) : Une roue de rayon $R = 0,25 \text{ m}$ est initialement au repos ( $\omega_0 = 0$ ). On lui applique un couple qui lui donne une accélération angulaire constante $\alpha = 4 \text{ rad/s}^2$ .

Calculer la vitesse angulaire $\omega$ de la roue après $t = 5 \text{ s}$ .
Calculer l'accélération tangentielle $a_t$ d'un point situé sur le bord de la roue.
Calculer la distance parcourue par ce point sur son arc de cercle pendant ces 5 secondes (Indice : $\theta = \frac{1}{2}\alpha t^2$ ).

Exercice 1

Exercice 1 (Niveau Simple) : Un disque effectue 10 tours en 2 secondes.

Calculer la fréquence $f$ du mouvement.
Calculer la vitesse angulaire $\omega$ en rad/s.
Si le rayon du disque est $R = 10 \text{ cm}$, calculer la vitesse linéaire $v$ d'un point sur le bord.

Exercice 2 (Niveau Moyen) : Un moteur électrique tourne à une vitesse de $N = 1500 \text{ tr/min}$. Il entraîne une poulie de diamètre $D = 12 \text{ cm}$.

Calculer la vitesse angulaire $\omega$ du moteur en rad/s.
Calculer la vitesse linéaire $v$ de la courroie qui relie cette poulie à une autre.

Exercice 3 (Niveau Difficile) : Une roue de rayon $R = 0,25 \text{ m}$ est initialement au repos ($\omega_0 = 0$). On lui applique un couple qui lui donne une accélération angulaire constante $\alpha = 4 \text{ rad/s}^2$.

Calculer la vitesse angulaire $\omega$ de la roue après $t = 5 \text{ s}$.
Calculer l'accélération tangentielle $a_t$ d'un point situé sur le bord de la roue.
Calculer la distance parcourue par ce point sur son arc de cercle pendant ces 5 secondes (Indice : $\theta = \frac{1}{2}\alpha t^2$).

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