Volume · 1ère Année Bac — Arts appliqués

Calcul de volumes de solides usuels

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Le volume d'un solide représente l'espace occupé par ce solide. L'unité de mesure est le mètre cube ( $m^3$ ) ou ses dérivés ( $cm^3, mm^3$ ), ou le litre ( $L$ ).

1. Les prismes et cylindres (Solides à bases parallèles) : Pour ces solides, le volume est le produit de l'aire de la base ( $B$ ) par la hauteur ( $h$ ).

Pavé droit (Parallélépipède rectangle) : $V = L \times l \times h$
Cube : $V = c^3$ (où $c$ est le côté)
Cylindre : $V = \pi \times r^2 \times h$

2. Les pyramides et cônes (Solides à pointe) : Le volume est égal au tiers du produit de l'aire de la base ( $B$ ) par la hauteur ( $h$ ).

Pyramide : $V = \frac{1}{3} \times B \times h$
Cône de révolution : $V = \frac{1}{3} \times \pi \times r^2 \times h$

3. La sphère :

Sphère : $V = \frac{4}{3} \times \pi \times r^3$
Demi-sphère : $V = \frac{2}{3} \times \pi \times r^3$

Méthodes à maîtriser

Identifier la forme : Regarder si l'objet a une base circulaire (cylindre, cône, sphère) ou polygonale (cube, pyramide).
Calculer l'aire de la base ( $B$ ) :
- Si c'est un cercle : $B = \pi \times r^2$
- Si c'est un carré : $B = c^2$
- Si c'est un rectangle : $B = L \times l$
Repérer la hauteur ( $h$ ) : Attention à ne pas confondre la hauteur du solide avec l'apothème (longueur de la pente).
Appliquer la formule : Remplacer les valeurs dans la formule appropriée.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Calculer le volume d'un cylindre de rayon $r = 3 \text{ cm}$ et de hauteur $h = 10 \text{ cm}$ .

Formule : $V = \pi \times r^2 \times h$
Calcul : $V = \pi \times 3^2 \times 10 = \pi \times 9 \times 10 = 90\pi \text{ cm}^3$
Valeur approchée ( $\pi \approx 3,14$ ) : $V \approx 282,6 \text{ cm}^3$

Exemple 2 : Un cube a une arête de $4 \text{ cm}$ . Quel est son volume ?

Formule : $V = c^3$
Calcul : $V = 4 \times 4 \times 4 = 64 \text{ cm}^3$

Erreurs fréquentes

Confondre rayon et diamètre : Si l'énoncé donne le diamètre $d$ , il faut d'abord calculer $r = \frac{d}{2}$ .
Oublier le $\frac{1}{3}$ : Pour le cône et la pyramide, le volume est $1/3$ de celui du cylindre ou du prisme.
Erreur d'unité : Ne pas convertir toutes les mesures dans la même unité avant de calculer.
Oublier le carré ou le cube : Confondre $r^2$ (aire) et $r^3$ (volume).

L'essentiel du cours

Le volume d'un solide représente l'espace occupé par ce solide. L'unité de mesure est le mètre cube ($m^3$) ou ses dérivés ($cm^3, mm^3$), ou le litre ($L$).

1. Les prismes et cylindres (Solides à bases parallèles) : Pour ces solides, le volume est le produit de l'aire de la base ($B$) par la hauteur ($h$).

Pavé droit (Parallélépipède rectangle) : $V = L \times l \times h$
Cube : $V = c^3$ (où $c$ est le côté)
Cylindre : $V = \pi \times r^2 \times h$

2. Les pyramides et cônes (Solides à pointe) : Le volume est égal au tiers du produit de l'aire de la base ($B$) par la hauteur ($h$).

Pyramide : $V = \frac{1}{3} \times B \times h$
Cône de révolution : $V = \frac{1}{3} \times \pi \times r^2 \times h$

3. La sphère :

Sphère : $V = \frac{4}{3} \times \pi \times r^3$
Demi-sphère : $V = \frac{2}{3} \times \pi \times r^3$

Méthodes à maîtriser

Identifier la forme : Regarder si l'objet a une base circulaire (cylindre, cône, sphère) ou polygonale (cube, pyramide).
Calculer l'aire de la base ($B$) :
- Si c'est un cercle : $B = \pi \times r^2$
- Si c'est un carré : $B = c^2$
- Si c'est un rectangle : $B = L \times l$
Repérer la hauteur ($h$) : Attention à ne pas confondre la hauteur du solide avec l'apothème (longueur de la pente).
Appliquer la formule : Remplacer les valeurs dans la formule appropriée.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Calculer le volume d'un cylindre de rayon $r = 3 \text{ cm}$ et de hauteur $h = 10 \text{ cm}$.

Formule : $V = \pi \times r^2 \times h$
Calcul : $V = \pi \times 3^2 \times 10 = \pi \times 9 \times 10 = 90\pi \text{ cm}^3$
Valeur approchée ($\pi \approx 3,14$) : $V \approx 282,6 \text{ cm}^3$

Exemple 2 : Un cube a une arête de $4 \text{ cm}$. Quel est son volume ?

Formule : $V = c^3$
Calcul : $V = 4 \times 4 \times 4 = 64 \text{ cm}^3$

Erreurs fréquentes

Confondre rayon et diamètre : Si l'énoncé donne le diamètre $d$, il faut d'abord calculer $r = \frac{d}{2}$.
Oublier le $\frac{1}{3}$ : Pour le cône et la pyramide, le volume est $1/3$ de celui du cylindre ou du prisme.
Erreur d'unité : Ne pas convertir toutes les mesures dans la même unité avant de calculer.
Oublier le carré ou le cube : Confondre $r^2$ (aire) et $r^3$ (volume).

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Calcul de volumes de solides usuels

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Quel est le volume d'un cube de côté $3 \text{ cm}$ ?

❓ Questions fréquentes

Chno hiya l-farq bin l-aire w l-volume?

L'aire est la mesure d'une surface plane (2D), comme la feuille de papier. Unité : $m^2, cm^2$ .
Le volume est la mesure de l'espace occupé par un objet (3D), comme une boîte. Unité : $m^3, cm^3$ .

💡 À retenir : L'aire c'est la surface, le volume c'est le remplissage.

L'aire est la mesure d'une surface plane (2D), comme la feuille de papier. Unité : $m^2, cm^2$.
Le volume est la mesure de l'espace occupé par un objet (3D), comme une boîte. Unité : $m^3, cm^3$.

💡 À retenir : L'aire c'est la surface, le volume c'est le remplissage.

Kifach n7seb volume dyal l-cylindre?

Trouve le rayon $r$ de la base circulaire.
Calcule l'aire de la base : $B = \pi \times r^2$ .
Multiplie par la hauteur $h$ : $V = B \times h$ .

💡 À retenir : $V = \pi \times r^2 \times h$ .

Trouve le rayon $r$ de la base circulaire.
Calcule l'aire de la base : $B = \pi \times r^2$.
Multiplie par la hauteur $h$ : $V = B \times h$.

💡 À retenir : $V = \pi \times r^2 \times h$.

Chno hiya l-formula dyal l-kora?

La formule pour le volume d'une sphère est : $V = \frac{4}{3} \times \pi \times r^3$ Où $r$ est le rayon de la sphère.

💡 À retenir : N'oublie pas le $r^3$ (cube) et le $\frac{4}{3}$ .

La formule pour le volume d'une sphère est : $$V = \frac{4}{3} \times \pi \times r^3$$ Où $r$ est le rayon de la sphère.

💡 À retenir : N'oublie pas le $r^3$ (cube) et le $\frac{4}{3}$.

Chno l-farq bin l-rayon w l-diamètre?

Le diamètre ( $d$ ) est la ligne droite qui traverse le cercle en passant par le centre.
Le rayon ( $r$ ) est la distance entre le centre et le bord.
Relation : $d = 2 \times r$ ou $r = \frac{d}{2}$ .

💡 À retenir : Le rayon est la moitié du diamètre.

Le diamètre ($d$) est la ligne droite qui traverse le cercle en passant par le centre.
Le rayon ($r$) est la distance entre le centre et le bord.
Relation : $d = 2 \times r$ ou $r = \frac{d}{2}$.

💡 À retenir : Le rayon est la moitié du diamètre.

Kifach n7seb volume dyal l-pyramide?

Calcule l'aire de la base $B$ (selon que c'est un carré, triangle, etc.).
Identifie la hauteur $h$ (la ligne verticale du sommet à la base).
Applique la formule : $V = \frac{1}{3} \times B \times h$ .

💡 À retenir : Il y a toujours un $\frac{1}{3}$ pour les pyramides.

Calcule l'aire de la base $B$ (selon que c'est un carré, triangle, etc.).
Identifie la hauteur $h$ (la ligne verticale du sommet à la base).
Applique la formule : $V = \frac{1}{3} \times B \times h$.

💡 À retenir : Il y a toujours un $\frac{1}{3}$ pour les pyramides.

Chno hiya l-unité dyal l-volume?

Les unités de base sont le mètre cube ( $m^3$ ), le décimètre cube ( $dm^3$ ) et le centimètre cube ( $cm^3$ ). Note : $1 \text{ dm}^3 = 1 \text{ litre}$ .

💡 À retenir : Le volume est toujours à la puissance 3.

Les unités de base sont le mètre cube ($m^3$), le décimètre cube ($dm^3$) et le centimètre cube ($cm^3$). Note : $1 \text{ dm}^3 = 1 \text{ litre}$.

💡 À retenir : Le volume est toujours à la puissance 3.

Chno hiya l-formula dyal l-cube?

Pour un cube dont l'arête est $c$ : $V = c \times c \times c = c^3$

💡 À retenir : C'est l'arête multipliée par elle-même trois fois.

Pour un cube dont l'arête est $c$ : $$V = c \times c \times c = c^3$$

💡 À retenir : C'est l'arête multipliée par elle-même trois fois.

Kifach n7seb l-volume ila 3titini l-diamètre?

Divise le diamètre par 2 pour trouver le rayon : $r = \frac{d}{2}$ .
Utilise ensuite le rayon dans la formule du volume (ex: pour un cylindre $V = \pi \times r^2 \times h$ ).

💡 À retenir : On utilise toujours le rayon dans les formules.

Divise le diamètre par 2 pour trouver le rayon : $r = \frac{d}{2}$.
Utilise ensuite le rayon dans la formule du volume (ex: pour un cylindre $V = \pi \times r^2 \times h$).

💡 À retenir : On utilise toujours le rayon dans les formules.

Chno l-farq bin l-cylindre w l-cône?

Le cylindre a deux bases identiques (haut et bas).
Le cône a une seule base et se termine en un point (le sommet).
Volume : Le volume du cône est $\frac{1}{3}$ de celui du cylindre (si $r$ et $h$ sont identiques).

💡 À retenir : Cône = $\frac{1}{3}$ Cylindre.

Le cylindre a deux bases identiques (haut et bas).
Le cône a une seule base et se termine en un point (le sommet).
Volume : Le volume du cône est $\frac{1}{3}$ de celui du cylindre (si $r$ et $h$ sont identiques).

💡 À retenir : Cône = $\frac{1}{3}$ Cylindre.

Chno hiya l-base dyal l-pyramide?

La base d'une pyramide peut être n'importe quel polygone (carré, rectangle, triangle, pentagone). L'important est de calculer l'aire de ce polygone pour le volume.

💡 À retenir : Identifie bien la forme de la base avant de calculer.

Chno hiya l-hauteur dyal l-sphère?

La hauteur d'une sphère correspond à son diamètre ( $d = 2r$ ).

💡 À retenir : La hauteur totale d'une sphère est égale à $2 \times r$ .

La hauteur d'une sphère correspond à son diamètre ($d = 2r$).

💡 À retenir : La hauteur totale d'une sphère est égale à $2 \times r$.

Kifach n7seb volume dyal l-pavé droit?

Mesure la longueur $L$ , la largeur $l$ et la hauteur $h$ .
Multiplie les trois : $V = L \times l \times h$ .

💡 À retenir : C'est le produit des trois dimensions.

Mesure la longueur $L$, la largeur $l$ et la hauteur $h$.
Multiplie les trois : $V = L \times l \times h$.

💡 À retenir : C'est le produit des trois dimensions.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Exercice 1 (Niveau Simple) : Un designer crée un socle en forme de cube pour une sculpture. L'arête du cube mesure $12 \text{ cm}$ . Calcule le volume de ce socle en $\text{cm}^3$ .

Exercice 2 (Niveau Moyen) : Un réservoir d'eau a la forme d'un cylindre droit. Son diamètre est de $2 \text{ m}$ et sa hauteur est de $5 \text{ m}$ .

Calcule le rayon du réservoir.
Calcule le volume du réservoir en $\text{m}^3$ (donne la valeur exacte en fonction de $\pi$ , puis une valeur approchée à $0,1$ près).

Exercice 3 (Niveau Examen) : Un objet décoratif est composé de deux parties soudées :

Une base cylindrique de rayon $r = 5 \text{ cm}$ et de hauteur $h_1 = 15 \text{ cm}$ .
Un sommet en forme de cône de même rayon ( $r = 5 \text{ cm}$ ) et de hauteur $h_2 = 6 \text{ cm}$ . Calcule le volume total de cet objet décoratif. (Prendre $\pi \approx 3,14$ ).

Exercice 1

Exercice 1 (Niveau Simple) : Un designer crée un socle en forme de cube pour une sculpture. L'arête du cube mesure $12 \text{ cm}$. Calcule le volume de ce socle en $\text{cm}^3$.

Exercice 2 (Niveau Moyen) : Un réservoir d'eau a la forme d'un cylindre droit. Son diamètre est de $2 \text{ m}$ et sa hauteur est de $5 \text{ m}$.

Calcule le rayon du réservoir.
Calcule le volume du réservoir en $\text{m}^3$ (donne la valeur exacte en fonction de $\pi$, puis une valeur approchée à $0,1$ près).

Exercice 3 (Niveau Examen) : Un objet décoratif est composé de deux parties soudées :

Une base cylindrique de rayon $r = 5 \text{ cm}$ et de hauteur $h_1 = 15 \text{ cm}$.
Un sommet en forme de cône de même rayon ($r = 5 \text{ cm}$) et de hauteur $h_2 = 6 \text{ cm}$. Calcule le volume total de cet objet décoratif. (Prendre $\pi \approx 3,14$).

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