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Volume · 1ère Année Bac — Arts appliqués

Développement et patrons de solides

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Le développement d'un solide est l'opération qui consiste à "ouvrir" les faces d'un solide pour obtenir une figure plane (en 2D). Cette figure plane est appelée le patron.

  1. Le Cube : Son patron est composé de 6 carrés identiques.
  2. Le Pavé droit (Parallélépipède rectangle) : Son patron est composé de 6 rectangles (par paires identiques).
  3. Le Cylindre : Son patron est composé de deux disques (les bases) et d'un rectangle (la surface latérale). Note importante : La longueur du rectangle est égale au périmètre de la base ($P = 2 \times \pi \times R$).
  4. La Pyramide : Son patron est composé d'une base (polygone) et de plusieurs triangles (les faces latérales) qui se rejoignent au sommet.
  5. Le Cône : Son patron est composé d'un disque (la base) et d'un secteur circulaire (la surface latérale).

Méthodes à maîtriser

  • Identifier le patron : Pour vérifier si un patron est correct, il faut s'assurer que toutes les faces sont présentes et qu'elles ne se chevauchent pas lors du pliage.
  • Calculer l'aire d'un patron : L'aire totale du patron est égale à la somme des aires de toutes ses faces. $$A_{totale} = A_{bases} + A_{latérale}$$
  • Passer du 2D au 3D : Pour reconstruire un solide, il faut identifier les arêtes qui vont se toucher lors du pliage.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Aire du patron d'un cube Soit un cube de côté $a = 5\text{ cm}$. Calculer l'aire de son patron.

  1. Le cube a 6 faces carrées identiques.
  2. L'aire d'une face est : $A_{face} = a \times a = 5 \times 5 = 25\text{ cm}^2$.
  3. L'aire totale du patron est : $A_{totale} = 6 \times 25 = 150\text{ cm}^2$.

Exemple 2 : Dimensions du rectangle d'un cylindre Un cylindre a un rayon de base $R = 3\text{ cm}$ et une hauteur $h = 10\text{ cm}$. Quelles sont les dimensions du rectangle qui forme sa surface latérale ?

  1. La hauteur du rectangle est la même que celle du cylindre : $h = 10\text{ cm}$.
  2. La longueur du rectangle est le périmètre de la base : $L = 2 \times \pi \times R = 2 \times \pi \times 3 = 6\pi \approx 18,84\text{ cm}$.
  3. Le rectangle mesure donc $18,84\text{ cm} \times 10\text{ cm}$.

Erreurs fréquentes

  • Oublier les bases : Dessiner seulement les faces latérales sans les disques ou les carrés du bas/haut.
  • Mauvaise longueur pour le cylindre : Utiliser le diamètre au lieu du périmètre ($2\pi R$) pour la longueur du rectangle.
  • Chevauchement : Dessiner un patron où deux faces se superposent, ce qui rend le pliage impossible.

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Défi flash : 4 questions

Sans compte

🎯 Développement et patrons de solides

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Combien de faces possède un pavé droit ?

❓ Questions fréquentes

Chno hiya l'farq bin l'patron w l'solide?

Le solide est l'objet en 3D (avec du volume), alors que le patron est la figure plate en 2D que l'on obtient en dépliant le solide.

💡 À retenir : Solide = 3D / Patron = 2D.

Kifach n3ref l'patron dyal l'cube s7i7?

Pour qu'un patron de cube soit correct, il doit :

  1. Avoir exactement 6 faces carrées identiques.
  2. Les faces doivent être disposées de manière à ce qu'aucune ne se superpose lors du pliage.

💡 À retenir : Vérifie toujours le nombre de faces (6 pour le cube).

Chno hiya l'massa7a l'janibiya dyal l'cylindre?

La surface latérale d'un cylindre est un rectangle. Son aire se calcule par : $$A_{latérale} = \text{Périmètre de la base} \times \text{hauteur} = (2 \times \pi \times R) \times h$$

💡 À retenir : C'est un rectangle de longueur $2\pi R$ et de hauteur $h$.

Est-ce que l'aire du patron est la même que l'aire totale du solide ?

Oui, l'aire du patron est exactement égale à l'aire totale de la surface du solide, car le patron est simplement la surface "étalée".

💡 À retenir : Aire du patron = Aire totale du solide.

Kifach n7seb l'aire dyal patron dyal pavé droit?
  1. Identifie les dimensions des trois types de rectangles (longueur $L$, largeur $l$, hauteur $h$).
  2. Calcule l'aire de chaque face (il y a 2 faces de chaque type).
  3. Additionne les 6 aires : $A = 2(L \times l) + 2(L \times h) + 2(l \times h)$.

💡 À retenir : Somme des 6 faces.

Combien de faces possède une pyramide à base carrée ?

Une pyramide à base carrée possède :

  1. Une base carrée (1 face).
  2. Des faces latérales triangulaires (4 faces). Total = 5 faces.

💡 À retenir : Nombre de faces latérales = nombre de côtés de la base.

Est-ce qu'un rectangle peut être le patron d'un cylindre ?

Non, un rectangle seul ne peut être que la surface latérale. Pour avoir le cylindre complet, il faut ajouter les deux disques (les bases) au rectangle.

💡 À retenir : Un cylindre complet = 1 rectangle + 2 disques.

Chno l'mouchkil ila kano l'wjouh m3awdin f l'patron?

Si les faces se chevauchent (se superposent), on ne peut pas former le solide correctement. Le patron sera faux car il y aura trop de matière au même endroit.

💡 À retenir : Pas de chevauchement dans un patron.

Comment trouver la longueur du rectangle pour le patron d'un cône ?

La surface latérale d'un cône est un secteur circulaire (une part de pizza). Sa longueur d'arc est égale au périmètre de la base du cône : $2 \times \pi \times R$.

💡 À retenir : Arc du secteur = Périmètre de la base.

Combien d'arêtes a un cube ?

Un cube possède 12 arêtes.

💡 À retenir : Compte bien les lignes de jonction.

Peut-on utiliser n'importe quelle forme pour faire un patron ?

Non, la forme doit être géométriquement liée aux faces du solide. Par exemple, on ne peut pas utiliser des triangles pour le patron d'un cylindre.

💡 À retenir : La forme des faces du patron doit correspondre aux faces du solide.

Kifach n3ref l'hauteur dyal l'cylindre men l'patron?

Dans le patron du cylindre, la hauteur du rectangle correspond directement à la hauteur $h$ du cylindre.

💡 À retenir : Hauteur du rectangle = Hauteur du cylindre.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Exercice 1 (Niveau Facile) : Le Cube de l'Artiste Un artisan veut fabriquer une boîte en carton en forme de cube. Le côté du cube est $a = 10\text{ cm}$.

  1. Dessiner (schématiquement) une disposition possible du patron.
  2. Calculer l'aire totale de carton nécessaire pour fabriquer cette boîte.
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Exercice 2

Exercice 2 (Niveau Moyen) : Le Cylindre de Design Dans un projet de design, on doit créer un emballage cylindrique. Le rayon de la base est $R = 4\text{ cm}$ et la hauteur est $h = 15\text{ cm}$. On utilise un patron composé d'un rectangle et de deux disques.

  1. Calculer la longueur $L$ du rectangle du patron (utiliser $\pi \approx 3,14$).
  2. Calculer l'aire totale du patron.
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Exercice 3

Exercice 3 (Niveau Difficile) : La Pyramide de l'Architecte On considère une pyramide régulière à base carrée. Le côté de la base est $c = 6\text{ cm}$ et l'apothème (hauteur d'une face triangulaire latérale) est $a_p = 8\text{ cm}$.

  1. Décrire le patron de cette pyramide.
  2. Calculer l'aire totale du patron.
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