Prépa TAFEM — ENCG · ENCG (TAFEM)

Calcul intégral et primitives

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Primitive : Une fonction $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ si $F$ est dérivable sur $I$ et $F'(x) = f(x)$ . Si $F$ est une primitive, toutes les autres sont de la forme $F(x) + c$ ( $c \in \mathbb{R}$ ).
Tableau des primitives usuelles : $x^n \to \frac{x^{n+1}}{n+1}$ , $\frac{1}{x} \to \ln|x|$ , $e^x \to e^x$ , $\cos(x) \to \sin(x)$ , $\sin(x) \to -\cos(x)$ .
Intégrale : $\int_a^b f(x)dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a)$ .
Linéarité : $\int_a^b (\alpha f + \beta g)dx = \alpha \int_a^b f(x)dx + \beta \int_a^b g(x)dx$ .
Relation de Chasles : $\int_a^c f(x)dx = \int_a^b f(x)dx + \int_b^c f(x)dx$ .
Intégration par parties (IPP) : $\int_a^b u(x)v'(x)dx = [u(x)v(x)]_a^b - \int_a^b u'(x)v(x)dx$ .

Méthodes à maîtriser

Reconnaître la forme : Identifier si la fonction est de la forme $u'u^n$ , $\frac{u'}{u}$ , ou $u'e^u$ .
Calcul d'aire : L'aire du domaine délimité par $C_f$ , l'axe des abscisses et $x=a, x=b$ est $\int_a^b |f(x)|dx$ en unités d'aire.
Choix pour l'IPP : Utiliser la règle "LIAP" (Logarithme, Inverse, Algébrique, Polynôme).

Exemples corrigés

Primitive de $f(x) = 2x + 3$ : $F(x) = x^2 + 3x + c$ .
Calcul de $\int_0^1 e^x dx = [e^x]_0^1 = e^1 - e^0 = e - 1$ .

Erreurs fréquentes

Oublier la constante $c$ lors de la recherche d'une primitive.
Confondre $\int f(x)g(x)dx$ avec $\int f(x)dx \times \int g(x)dx$ (c'est faux !).
Se tromper de signe dans l'IPP ou dans les primitives de $\sin$ et $\cos$ .

L'essentiel du cours

Primitive : Une fonction $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ si $F$ est dérivable sur $I$ et $F'(x) = f(x)$. Si $F$ est une primitive, toutes les autres sont de la forme $F(x) + c$ ($c \in \mathbb{R}$).
Tableau des primitives usuelles : $x^n \to \frac{x^{n+1}}{n+1}$, $\frac{1}{x} \to \ln|x|$, $e^x \to e^x$, $\cos(x) \to \sin(x)$, $\sin(x) \to -\cos(x)$.
Intégrale : $\int_a^b f(x)dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a)$.
Linéarité : $\int_a^b (\alpha f + \beta g)dx = \alpha \int_a^b f(x)dx + \beta \int_a^b g(x)dx$.
Relation de Chasles : $\int_a^c f(x)dx = \int_a^b f(x)dx + \int_b^c f(x)dx$.
Intégration par parties (IPP) : $\int_a^b u(x)v'(x)dx = [u(x)v(x)]_a^b - \int_a^b u'(x)v(x)dx$.

Méthodes à maîtriser

Reconnaître la forme : Identifier si la fonction est de la forme $u'u^n$, $\frac{u'}{u}$, ou $u'e^u$.
Calcul d'aire : L'aire du domaine délimité par $C_f$, l'axe des abscisses et $x=a, x=b$ est $\int_a^b |f(x)|dx$ en unités d'aire.
Choix pour l'IPP : Utiliser la règle "LIAP" (Logarithme, Inverse, Algébrique, Polynôme).

Exemples corrigés

Primitive de $f(x) = 2x + 3$ : $F(x) = x^2 + 3x + c$.
Calcul de $\int_0^1 e^x dx = [e^x]_0^1 = e^1 - e^0 = e - 1$.

Erreurs fréquentes

Oublier la constante $c$ lors de la recherche d'une primitive.
Confondre $\int f(x)g(x)dx$ avec $\int f(x)dx \times \int g(x)dx$ (c'est faux !).
Se tromper de signe dans l'IPP ou dans les primitives de $\sin$ et $\cos$.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Calcul intégral et primitives

1/4

Quelle est la primitive de $f(x) = 3x^2 + 1$ ?

❓ Questions fréquentes

Est-ce qu'il faut toujours mettre la constante c quand on cherche une primitive ?

Oui, absolument. Une fonction possède une infinité de primitives qui ne diffèrent que par une constante réelle $c$ . Si tu oublies le " $+c$ ", ta réponse est incomplète et tu perdras des points lors de l'examen.

💡 À retenir : La primitive est une famille de fonctions, pas une fonction unique.

Oui, absolument. Une fonction possède une infinité de primitives qui ne diffèrent que par une constante réelle $c$. Si tu oublies le "$+c$", ta réponse est incomplète et tu perdras des points lors de l'examen.

💡 À retenir : La primitive est une famille de fonctions, pas une fonction unique.

Kifach n3ref wach nst3mel l'intégration par parties wla la méthode dyal l'changement de variable ?

L'IPP est idéale quand tu as un produit de deux fonctions de natures différentes (ex: $x \cdot e^x$ ou $x \cdot \ln(x)$ ).
Le changement de variable est utile quand tu vois une fonction et sa dérivée "cachée" à l'intérieur (ex: $\int \frac{\ln(x)}{x} dx$ avec $u = \ln(x)$ ).

💡 À retenir : Si tu vois un produit, pense d'abord à l'IPP. Si tu vois une fonction composée, pense au changement de variable.

L'IPP est idéale quand tu as un produit de deux fonctions de natures différentes (ex: $x \cdot e^x$ ou $x \cdot \ln(x)$).
Le changement de variable est utile quand tu vois une fonction et sa dérivée "cachée" à l'intérieur (ex: $\int \frac{\ln(x)}{x} dx$ avec $u = \ln(x)$).

💡 À retenir : Si tu vois un produit, pense d'abord à l'IPP. Si tu vois une fonction composée, pense au changement de variable.

Est-ce que l'intégrale d'une fonction peut être négative ?

Oui, tout à fait. L'intégrale représente une "aire algébrique". Si la courbe de la fonction est située en dessous de l'axe des abscisses sur l'intervalle $[a, b]$ , alors $\int_a^b f(x)dx$ sera négative.

💡 À retenir : L'intégrale est négative si la fonction est négative sur l'intervalle.

Chno hiya l'relation bin l'intégrale w l'aire ?

L'intégrale est un outil de calcul. L'aire est une mesure physique positive. Si $f(x) \geq 0$ , alors Aire = $\int_a^b f(x)dx$ . Si $f(x) \leq 0$ , alors Aire = $-\int_a^b f(x)dx$ .

💡 À retenir : L'aire est toujours positive, l'intégrale peut être négative.

L'intégrale est un outil de calcul. L'aire est une mesure physique positive. Si $f(x) \geq 0$, alors Aire = $\int_a^b f(x)dx$. Si $f(x) \leq 0$, alors Aire = $-\int_a^b f(x)dx$.

💡 À retenir : L'aire est toujours positive, l'intégrale peut être négative.

Comment calculer l'intégrale d'une fonction valeur absolue ?

Tu dois d'abord étudier le signe de ce qui est à l'intérieur de la valeur absolue.
Tu découpes l'intégrale en plusieurs morceaux en utilisant la relation de Chasles pour enlever les barres de valeur absolue.
Tu calcules chaque intégrale séparément.

💡 À retenir : On ne peut pas intégrer une valeur absolue directement, il faut toujours "casser" l'intégrale.

Wash n9der nkhrej l'intégrale dyal f(x) times g(x) bhal ila kanch9o l'dérivée ?

Non, surtout pas ! L'intégrale d'un produit n'est pas le produit des intégrales. C'est une erreur grave. Pour un produit, on utilise soit l'IPP, soit on cherche une forme connue.

💡 À retenir : $\int f \cdot g \neq \int f \cdot \int g$ .

Non, surtout pas ! L'intégrale d'un produit n'est pas le produit des intégrales. C'est une erreur grave. Pour un produit, on utilise soit l'IPP, soit on cherche une forme connue.

💡 À retenir : $\int f \cdot g \neq \int f \cdot \int g$.

Quelle est la primitive de frac{1}{x^2} ?

La primitive de $\frac{1}{x^2}$ (ou $x^{-2}$ ) est $\frac{x^{-2+1}}{-2+1} = \frac{x^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x} + c$ .

💡 À retenir : Ne confonds pas avec $\frac{1}{x}$ dont la primitive est $\ln|x|$ .

La primitive de $\frac{1}{x^2}$ (ou $x^{-2}$) est $\frac{x^{-2+1}}{-2+1} = \frac{x^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x} + c$.

💡 À retenir : Ne confonds pas avec $\frac{1}{x}$ dont la primitive est $\ln|x|$.

Est-ce que l'ordre des bornes a une importance ?

Oui. Si tu inverses les bornes, l'intégrale change de signe : $\int_b^a f(x)dx = -\int_a^b f(x)dx$ .

💡 À retenir : Toujours vérifier que la borne inférieure est bien plus petite que la borne supérieure.

Oui. Si tu inverses les bornes, l'intégrale change de signe : $\int_b^a f(x)dx = -\int_a^b f(x)dx$.

💡 À retenir : Toujours vérifier que la borne inférieure est bien plus petite que la borne supérieure.

Kifach n7seb l'intégrale dyal ln(x) ?

On utilise l'IPP en posant $u(x) = \ln(x)$ et $v'(x) = 1$ .

$u'(x) = 1/x$ et $v(x) = x$ .
$\int \ln(x) dx = x\ln(x) - \int (1/x) \cdot x dx = x\ln(x) - \int 1 dx = x\ln(x) - x + c$ .

💡 À retenir : C'est un classique, apprends le résultat par cœur.

On utilise l'IPP en posant $u(x) = \ln(x)$ et $v'(x) = 1$.

$u'(x) = 1/x$ et $v(x) = x$.
$\int \ln(x) dx = x\ln(x) - \int (1/x) \cdot x dx = x\ln(x) - \int 1 dx = x\ln(x) - x + c$.

💡 À retenir : C'est un classique, apprends le résultat par cœur.

Peut-on calculer l'intégrale d'une fonction qui n'est pas continue ?

Au niveau du programme du baccalauréat, on travaille uniquement avec des fonctions continues sur l'intervalle donné. Si la fonction n'est pas continue, le calcul de l'intégrale est hors programme (à vérifier par le professeur).

💡 À retenir : La continuité est la condition nécessaire pour l'existence d'une primitive.

Est-ce que la primitive d'une fonction paire est toujours impaire ?

Si $f$ est paire, alors ses primitives sont impaires, à condition que la constante $c$ soit choisie telle que $F(0) = 0$ .

💡 À retenir : La parité est conservée par l'intégration sous condition de la constante.

Si $f$ est paire, alors ses primitives sont impaires, à condition que la constante $c$ soit choisie telle que $F(0) = 0$.

💡 À retenir : La parité est conservée par l'intégration sous condition de la constante.

Est-ce que le résultat d'une intégrale dépend de la variable utilisée ?

Non, $\int_a^b f(x)dx$ est exactement la même chose que $\int_a^b f(t)dt$ . La variable est dite "muette".

💡 À retenir : La variable n'est qu'un nom, le résultat final est un nombre réel.

Non, $\int_a^b f(x)dx$ est exactement la même chose que $\int_a^b f(t)dt$. La variable est dite "muette".

💡 À retenir : La variable n'est qu'un nom, le résultat final est un nombre réel.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Calculer l'intégrale suivante : $I = \int_0^1 (2x + e^x) dx$ .

Exercice 1

Calculer l'intégrale suivante : $I = \int_0^1 (2x + e^x) dx$.

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Exercice 2

Calculer à l'aide d'une intégration par parties : $J = \int_0^1 x e^x dx$ .

Exercice 2

Calculer à l'aide d'une intégration par parties : $J = \int_0^1 x e^x dx$.

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Exercice 3

Calculer l'aire du domaine délimité par la courbe de $f(x) = \frac{1}{x+1}$ , l'axe des abscisses et les droites $x=0$ et $x=1$ .

Exercice 3

Calculer l'aire du domaine délimité par la courbe de $f(x) = \frac{1}{x+1}$, l'axe des abscisses et les droites $x=0$ et $x=1$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

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