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Sciences de l'ingénieur · 2ème Année Bac — Sciences Mathématiques B

Transmettre l'énergie (Liaisons et Transmissions)

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

1. Les Liaisons Mécaniques

Une liaison définit les degrés de liberté (DDL) entre deux pièces.

  • Liaison Pivot : 1 DDL de rotation (ex: axe de roue).
  • Liaison Glissière : 1 DDL de translation (ex: tiroir).
  • Liaison Hélicoïdale : 1 DDL de translation couplé à 1 DDL de rotation (ex: vis-écrou).
  • Liaison Rotule : 3 DDL de rotation.

2. Les Systèmes de Transmission

Ils permettent de transmettre un mouvement (rotation ou translation) d'un arbre moteur vers un arbre récepteur.

A. Engrenages (pignons) Le rapport de transmission $r$ est défini par : $$r = \frac{\omega_{sortie}}{\omega_{entrée}} = \frac{Z_{entrée}}{Z_{sortie}}$$ Où $Z$ est le nombre de dents.

B. Poulies-Courroies La vitesse linéaire $v$ est la même pour la courroie et les poulies (si non-glissement) : $$v = R_1 \cdot \omega_1 = R_2 \cdot \omega_2$$ Le rapport est : $r = \frac{\omega_2}{\omega_1} = \frac{R_1}{R_2}$

C. Vis-Écrou Transforme une rotation en translation. La relation entre la vitesse de rotation $\omega$ et la vitesse de translation $v$ est : $$v = \frac{p \cdot \omega}{2\pi}$$ Où $p$ est le pas de la vis (en m/tour).

3. Puissance et Rendement

La puissance mécanique est $P = C \cdot \omega$ (en Watts). Le rendement $\eta$ d'un système est le rapport entre la puissance de sortie et la puissance d'entrée : $$\eta = \frac{P_{sortie}}{P_{entrée}} = \frac{C_s \cdot \omega_s}{C_e \cdot \omega_e}$$ D'où le couple de sortie : $C_s = \eta \cdot C_e \cdot \frac{1}{r}$

Méthodes à maîtriser

  1. Calculer un rapport de transmission : Identifier l'entrée et la sortie, puis appliquer la formule selon le système (dents, rayons ou vitesses).
  2. Déterminer une vitesse : Utiliser $r$ pour passer de $\omega_e$ à $\omega_s$ ($\omega_s = r \cdot \omega_e$).
  3. Calculer un couple de sortie : Toujours vérifier si le rendement $\eta$ est donné. Si $\eta < 1$, le couple de sortie est réduit par les pertes.
  4. Conversion de mouvement : Utiliser la formule de la vis-écrou pour passer de la rotation à la translation.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Engrenages Un pignon moteur $Z_1 = 20$ dents tourne à $\omega_1 = 100 \text{ rad/s}$. Il entraîne un pignon récepteur $Z_2 = 60$ dents. Calculer $\omega_2$. Solution :

  1. Calcul du rapport : $r = \frac{Z_1}{Z_2} = \frac{20}{60} = \frac{1}{3}$.
  2. Calcul de la vitesse : $\omega_2 = r \cdot \omega_1 = \frac{1}{3} \cdot 100 \approx 33,33 \text{ rad/s}$.

Exemple 2 : Couple avec rendement Un moteur fournit $C_e = 10 \text{ Nm}$ à $\omega_e = 50 \text{ rad/s}$. Le système a un rendement $\eta = 0,8$. Calculer $C_s$ si $r = 0,5$. Solution :

  1. Formule : $C_s = \eta \cdot C_e \cdot \frac{1}{r}$.
  2. Application : $C_s = 0,8 \cdot 10 \cdot \frac{1}{0,5} = 0,8 \cdot 10 \cdot 2 = 16 \text{ Nm}$.

Erreurs fréquentes

  • Inversion du rapport $r$ : Bien noter que $r = \frac{\text{sortie}}{\text{entrée}}$. Si le système est un réducteur, $r < 1$.
  • Oubli du rendement : Ne pas appliquer $\eta$ dans le calcul du couple de sortie.
  • Unités : Confondre la vitesse en $\text{tr/min}$ et en $\text{rad/s}$. (Rappel : $\omega = \frac{2\pi \cdot N}{60}$).
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Défi flash : 4 questions

Sans compte

🎯 Transmettre l'énergie (Liaisons et Transmissions)

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Quel est le rapport de transmission si le pignon d'entrée a 10 dents et le récepteur 40 dents ?

❓ Questions fréquentes

Comment identifier une liaison glissière sur un schéma ?

Cherche un mouvement de translation pure le long d'un axe, sans aucune rotation possible de la pièce par rapport à son support.

💡 À retenir : Glissière = 1 DDL de translation.

Si le rapport r = 2, est-ce un multiplicateur ou un réducteur ?

C'est un multiplicateur de vitesse car $r > 1$. La vitesse de sortie sera deux fois plus grande que celle d'entrée.

💡 À retenir : $r > 1 \implies$ multiplicateur ; $r < 1 \implies$ réducteur.

Est-ce que la courroie peut glisser sur la poulie ?

Dans les exercices de l'examen national, on considère généralement qu'il n'y a pas de glissement. Si le glissement est mentionné, le rendement $\eta$ sera impacté.

💡 À retenir : Par défaut, on suppose $v_{poulie} = v_{courroie}$.

Comment passer des tr/min aux rad/s ?
  1. Prends la valeur en $\text{tr/min}$ (notée $N$).
  2. Multiplie par $2\pi$ (pour avoir les radians).
  3. Divise par $60$ (pour passer des minutes aux secondes). $$\omega = \frac{2\pi \cdot N}{60}$$

💡 À retenir : $\omega = \frac{\pi \cdot N}{30}$ est la version simplifiée.

Qu'est-ce qu'un réducteur ?

C'est un système de transmission dont le rapport $r$ est inférieur à 1 ($r < 1$). Il diminue la vitesse de rotation mais augmente le couple de sortie.

💡 À retenir : Réducteur $\implies \omega_{sortie} < \omega_{entrée}$ et $C_{sortie} > C_{entrée}$.

Kifach n7seb le rapport de transmission dyal les engrenages?

C'est très simple ! Pour des engrenages, tu dois compter le nombre de dents.

  1. Identifie le nombre de dents de l'entrée ($Z_e$) et de la sortie ($Z_s$).
  2. Applique la formule : $r = \frac{Z_e}{Z_s}$.

💡 À retenir : Le rapport est toujours le nombre de dents de l'entrée divisé par celui de la sortie.

Chno lfarq bin vitesse angulaire w vitesse linéaire?
  1. La vitesse angulaire ($\omega$) exprime la rapidité de rotation (en $\text{rad/s}$).
  2. La vitesse linéaire ($v$) exprime la distance parcourue par un point sur un cercle (en $\text{m/s}$).
  3. La relation est : $v = R \cdot \omega$.

💡 À retenir : $\omega$ est pour la rotation, $v$ est pour le déplacement le long d'une trajectoire.

Ila kant l'entrée kbira, l'sortie katkon sghira wla kbira?

Ça dépend du rapport $r$ :

  1. Si tu veux plus de force (couple), tu réduis la vitesse : l'entrée tourne vite, la sortie tourne lentement ($r < 1$).
  2. Si tu veux plus de vitesse, tu augmentes la vitesse : l'entrée tourne lentement, la sortie tourne vite ($r > 1$).

💡 À retenir : On sacrifie souvent la vitesse pour gagner du couple (force).

Quelle est la différence entre une liaison pivot et une liaison rotule ?
  1. La liaison pivot ne permet qu'un seul mouvement de rotation autour d'un axe unique (1 DDL).
  2. La liaison rotule permet trois rotations autour de trois axes perpendiculaires (3 DDL), comme une épaule humaine.

💡 À retenir : Pivot = 1 axe de rotation ; Rotule = 3 axes de rotation.

Comment calculer la vitesse de translation d'une vis-écrou ?
  1. Repère la vitesse de rotation de la vis $\omega$ (en $\text{rad/s}$).
  2. Repère le pas $p$ de la vis (distance parcourue en 1 tour, en $\text{m}$).
  3. Applique : $v = \frac{p \cdot \omega}{2\pi}$.

💡 À retenir : La vitesse de translation dépend directement de la vitesse de rotation et de la taille du pas.

Pourquoi le rendement n'est-il jamais égal à 1 ?

À cause des frottements mécaniques entre les pièces (dents d'engrenages, courroie, etc.). Une partie de l'énergie est transformée en chaleur.

💡 À retenir : $\eta < 1$ est la réalité physique de tout système mécanique.

Si j'ai deux poulies de même rayon, quel est le rapport de transmission ?
  1. $R_1 = R_2$.
  2. $r = \frac{R_1}{R_2} = 1$.
  3. La vitesse de sortie sera identique à la vitesse d'entrée.

💡 À retenir : Des rayons égaux signifient une transmission sans changement de vitesse.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Exercice 1 : Niveau Facile (Engrenages) Un moteur entraîne un premier pignon $A$ de $Z_A = 15$ dents à une vitesse de $N_A = 1200 \text{ tr/min}$. Ce pignon est en contact avec un second pignon $B$ de $Z_B = 45$ dents.

  1. Calculer le rapport de transmission $r$ du système.
  2. Calculer la vitesse de rotation $N_B$ du pignon $B$ en $\text{tr/min}$.

Exercice 2 : Niveau Moyen (Poulies-Courroies) Une poulie motrice de rayon $R_1 = 5 \text{ cm}$ tourne à $\omega_1 = 20 \text{ rad/s}$. Elle entraîne une poulie réceptrice de rayon $R_2 = 15 \text{ cm}$ par une courroie. Le rendement du système est $\eta = 0,9$.

  1. Calculer le rapport de transmission $r$.
  2. Calculer la vitesse angulaire $\omega_2$ de la poulie réceptrice.
  3. Si le couple moteur est $C_1 = 5 \text{ Nm}$, calculer le couple de sortie $C_2$.

Exercice 3 : Niveau Examen National (Système Complet) Un système est composé d'un moteur électrique et d'un mécanisme de translation.

  • Le moteur tourne à $N_m = 1500 \text{ tr/min}$ avec un couple $C_m = 2 \text{ Nm}$.
  • Le moteur entraîne un engrenage ($Z_e = 20$ dents) qui est lié à un pignon de sortie ($Z_s = 80$ dents).
  • Ce pignon de sortie est monté sur une vis dont le pas est $p = 4 \text{ mm} = 0,004 \text{ m}$.
  • Le rendement global du système est $\eta = 0,85$. Calculer la force de translation $F$ exercée par l'écrou sur la vis.
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