Mathématiques · 2ème Année Bac — Sciences et Technologies Mécaniques

Limites et continuité

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Continuité en un point : $f$ est continue en $x_0$ si $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$ .
Continuité sur un intervalle : $f$ est continue sur $I$ si elle est continue en tout point de $I$ .
Opérations : La somme, le produit et le quotient (si dénominateur non nul) de fonctions continues sont continus.
Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI) : Si $f$ est continue sur $[a, b]$ , alors pour tout $y$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$ , il existe au moins un $c \in [a, b]$ tel que $f(c) = y$ .
Corollaire du TVI : Si $f$ est continue et strictement monotone sur $[a, b]$ , alors l'équation $f(x) = k$ admet une solution unique dans $[a, b]$ pour tout $k \in [f(a), f(b)]$ .

Méthodes à maîtriser

Calcul de limites : Utiliser la factorisation, le conjugué, ou les limites usuelles (polynômes, rationnelles).
Étude de continuité : Vérifier la limite à gauche, à droite et la valeur de la fonction au point de raccordement.
Application du TVI : Toujours préciser : "f est continue sur [a, b]" et "f(a) et f(b) sont de signes opposés" pour montrer l'existence d'une racine.

Exemples corrigés

Continuité : Soit $f(x) = \frac{x^2-4}{x-2}$ pour $x \neq 2$ et $f(2)=4$ . $\lim_{x \to 2} f(x) = \lim_{x \to 2} (x+2) = 4 = f(2)$ . Donc $f$ est continue en 2.
TVI : Soit $f(x) = x^3 + x - 1$ . $f(0)=-1$ et $f(1)=1$ . Comme $f$ est continue et strictement croissante sur $[0, 1]$ , l'équation $f(x)=0$ admet une solution unique $\alpha \in ]0, 1[$ .

Erreurs fréquentes

Oublier de préciser la continuité avant d'utiliser le TVI.
Confondre la limite en un point avec la valeur de la fonction.
Ne pas vérifier la stricte monotonie avant d'affirmer l'unicité de la solution.

L'essentiel du cours

Continuité en un point : $f$ est continue en $x_0$ si $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$.
Continuité sur un intervalle : $f$ est continue sur $I$ si elle est continue en tout point de $I$.
Opérations : La somme, le produit et le quotient (si dénominateur non nul) de fonctions continues sont continus.
Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI) : Si $f$ est continue sur $[a, b]$, alors pour tout $y$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe au moins un $c \in [a, b]$ tel que $f(c) = y$.
Corollaire du TVI : Si $f$ est continue et strictement monotone sur $[a, b]$, alors l'équation $f(x) = k$ admet une solution unique dans $[a, b]$ pour tout $k \in [f(a), f(b)]$.

Méthodes à maîtriser

Calcul de limites : Utiliser la factorisation, le conjugué, ou les limites usuelles (polynômes, rationnelles).
Étude de continuité : Vérifier la limite à gauche, à droite et la valeur de la fonction au point de raccordement.
Application du TVI : Toujours préciser : "f est continue sur [a, b]" et "f(a) et f(b) sont de signes opposés" pour montrer l'existence d'une racine.

Exemples corrigés

Continuité : Soit $f(x) = \frac{x^2-4}{x-2}$ pour $x \neq 2$ et $f(2)=4$. $\lim_{x \to 2} f(x) = \lim_{x \to 2} (x+2) = 4 = f(2)$. Donc $f$ est continue en 2.
TVI : Soit $f(x) = x^3 + x - 1$. $f(0)=-1$ et $f(1)=1$. Comme $f$ est continue et strictement croissante sur $[0, 1]$, l'équation $f(x)=0$ admet une solution unique $\alpha \in ]0, 1[$.

Erreurs fréquentes

Oublier de préciser la continuité avant d'utiliser le TVI.
Confondre la limite en un point avec la valeur de la fonction.
Ne pas vérifier la stricte monotonie avant d'affirmer l'unicité de la solution.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Défi flash : 4 questions

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🎯 Limites et continuité

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La fonction $f(x) = \frac{1}{x}$ est continue sur :

❓ Questions fréquentes

Monsieur, est-ce qu'une fonction est toujours continue sur son domaine de définition ?

Non, pas forcément. Une fonction peut avoir des "sauts" ou des "trous" en certains points, surtout si elle est définie par morceaux. Par exemple, la fonction partie entière n'est pas continue aux points entiers. Il faut toujours vérifier la continuité point par point si la fonction change d'expression.

💡 À retenir : La continuité n'est pas automatique, elle doit être démontrée sur chaque intervalle ou point critique.

Kifach n3ref wach nst3mel TVI wla l'unicité (corollaire) ?

Si on te demande juste de montrer qu'il existe une solution, utilise le TVI classique.
Si on te demande de montrer qu'il existe une solution unique, utilise le corollaire du TVI (TVI + stricte monotonie).

💡 À retenir : "Existence" = TVI ; "Existence + Unicité" = TVI + Monotonie.

Est-ce que la limite d'une fonction en x0 est toujours égale à f(x0) ?

Non, c'est justement la définition de la continuité. Si $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$ , alors la fonction est continue. Si la limite est différente ou n'existe pas, la fonction est discontinue en ce point.

💡 À retenir : La limite est une tendance, $f(x_0)$ est la valeur réelle. Elles ne coïncident que si la courbe est "sans trou".

Non, c'est justement la définition de la continuité. Si $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$, alors la fonction est continue. Si la limite est différente ou n'existe pas, la fonction est discontinue en ce point.

💡 À retenir : La limite est une tendance, $f(x_0)$ est la valeur réelle. Elles ne coïncident que si la courbe est "sans trou".

Chno hiya l'etape li katnsawha dima f l'examen f TVI ?

L'étape la plus oubliée est de préciser que la fonction est continue sur l'intervalle donné. Sans cette phrase, ton raisonnement est considéré comme incomplet par le correcteur, même si le calcul est juste.

💡 À retenir : Toujours écrire : "f est continue sur [a, b] car c'est une fonction polynôme/rationnelle...".

Si j'ai une fonction rationnelle, comment je calcule la limite en l'infini ?

Pour une fonction rationnelle en $\pm \infty$ , la limite est égale à la limite du rapport des termes de plus haut degré. Exemple : $\lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2+1}{x^2-5} = \lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2}{x^2} = 3$ .

💡 À retenir : Ne garde que les puissances les plus élevées au numérateur et au dénominateur.

Pour une fonction rationnelle en $\pm \infty$, la limite est égale à la limite du rapport des termes de plus haut degré. Exemple : $\lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2+1}{x^2-5} = \lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2}{x^2} = 3$.

💡 À retenir : Ne garde que les puissances les plus élevées au numérateur et au dénominateur.

Kifach n7seb l'image dial intervalle [a, b] ila kant f tzaidya ?

Si $f$ est continue et strictement croissante sur $[a, b]$ , alors l'image de l'intervalle est $[f(a), f(b)]$ . Si elle est strictement décroissante, l'image est $[f(b), f(a)]$ .

💡 À retenir : Si la fonction monte, l'ordre est conservé. Si elle descend, l'ordre est inversé.

Si $f$ est continue et strictement croissante sur $[a, b]$, alors l'image de l'intervalle est $[f(a), f(b)]$. Si elle est strictement décroissante, l'image est $[f(b), f(a)]$.

💡 À retenir : Si la fonction monte, l'ordre est conservé. Si elle descend, l'ordre est inversé.

Est-ce que je peux utiliser la calculatrice pour trouver la solution de f(x)=0 ?

Tu peux l'utiliser pour vérifier ton résultat, mais à l'examen, tu dois rédiger les étapes du TVI. Le correcteur veut voir le signe de $f(a)$ et $f(b)$ et la justification de la continuité.

💡 À retenir : La calculatrice est un outil de vérification, pas de démonstration.

Tu peux l'utiliser pour vérifier ton résultat, mais à l'examen, tu dois rédiger les étapes du TVI. Le correcteur veut voir le signe de $f(a)$ et $f(b)$ et la justification de la continuité.

💡 À retenir : La calculatrice est un outil de vérification, pas de démonstration.

Si la limite à gauche est différente de la limite à droite, que dire ?

On dit que la limite en ce point n'existe pas, et donc la fonction n'est pas continue en ce point. Il y a une discontinuité (un saut).

💡 À retenir : Pour qu'une limite existe, il faut que $\lim_{x \to x_0^+} f(x) = \lim_{x \to x_0^-} f(x)$ .

On dit que la limite en ce point n'existe pas, et donc la fonction n'est pas continue en ce point. Il y a une discontinuité (un saut).

💡 À retenir : Pour qu'une limite existe, il faut que $\lim_{x \to x_0^+} f(x) = \lim_{x \to x_0^-} f(x)$.

Est-ce que la somme de deux fonctions discontinues est toujours discontinue ?

Pas forcément ! Par exemple, si $f(x) = 1$ pour $x \geq 0$ et $-1$ pour $x < 0$ , et $g(x) = -1$ pour $x \geq 0$ et $1$ pour $x < 0$ . La somme $f+g$ est la fonction nulle, qui est continue.

💡 À retenir : Il faut toujours étudier la fonction somme globalement.

Pas forcément ! Par exemple, si $f(x) = 1$ pour $x \geq 0$ et $-1$ pour $x < 0$, et $g(x) = -1$ pour $x \geq 0$ et $1$ pour $x < 0$. La somme $f+g$ est la fonction nulle, qui est continue.

💡 À retenir : Il faut toujours étudier la fonction somme globalement.

Comment lever une forme indéterminée du type infty - infty ?

Si c'est une fraction, mets au même dénominateur.
Si c'est avec une racine carrée, multiplie par l'expression conjuguée.
Si c'est un polynôme, factorise par le terme de plus haut degré.

💡 À retenir : Identifie la forme indéterminée avant de choisir la technique.

Est-ce que le TVI marche si la fonction n'est pas monotone ?

Oui, le TVI fonctionne pour l'existence d'une solution même si la fonction n'est pas monotone. Par contre, tu ne peux pas garantir l'unicité sans la monotonie.

💡 À retenir : TVI = Existence. TVI + Monotonie = Existence et Unicité.

Est-ce que je dois calculer la dérivée pour étudier la continuité ?

Non, la continuité est une condition plus faible que la dérivabilité. Une fonction peut être continue sans être dérivable (ex: valeur absolue en 0). Ne confonds pas les deux !

💡 À retenir : Continuité $\neq$ Dérivabilité. La continuité est une étape préalable.

Non, la continuité est une condition plus faible que la dérivabilité. Une fonction peut être continue sans être dérivable (ex: valeur absolue en 0). Ne confonds pas les deux !

💡 À retenir : Continuité $\neq$ Dérivabilité. La continuité est une étape préalable.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $f$ la fonction définie par : $f(x) = \frac{x^2-1}{x-1}$ si $x \neq 1$ $f(1) = 2$ Étudier la continuité de $f$ en $x_0 = 1$ .

Exercice 1

Soit $f$ la fonction définie par : $f(x) = \frac{x^2-1}{x-1}$ si $x \neq 1$ $f(1) = 2$ Étudier la continuité de $f$ en $x_0 = 1$.

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Exercice 2

Montrer que l'équation $x^3 + 2x - 1 = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans l'intervalle $[0, 1]$ .

Exercice 2

Montrer que l'équation $x^3 + 2x - 1 = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans l'intervalle $[0, 1]$.

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Exercice 3

Soit $f(x) = \sqrt{x+1} - x$ . Montrer que $f$ s'annule sur $[0, 2]$ .

Exercice 3

Soit $f(x) = \sqrt{x+1} - x$. Montrer que $f$ s'annule sur $[0, 2]$.

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