Mathématiques · 2ème Année Bac — Sciences et Technologies Mécaniques

Calcul de probabilités

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Univers ( $\Omega$ ) : Ensemble des résultats possibles.
Probabilité $P$ : Application qui à tout événement $A$ associe un nombre $P(A) \in [0, 1]$ tel que $P(\Omega) = 1$ .
Équiprobabilité : Si tous les événements élémentaires ont la même probabilité, alors pour tout événement $A$ : $P(A) = \frac{\text{card}(A)}{\text{card}(\Omega)}$ .
Propriétés :
- $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$ .
- $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ .
- Si $A \cap B = \emptyset$ , alors $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ .

Méthodes à maîtriser

Dénombrement :
- Ordre important avec remise : $n^p$ .
- Ordre important sans remise (Arrangement) : $A_n^p = \frac{n!}{(n-p)!}$ .
- Ordre non important sans remise (Combinaison) : $C_n^p = \frac{n!}{p!(n-p)!}$ .
Arbre de probabilités : Utile pour visualiser les étapes successives.

Exemples corrigés

Exemple : Une urne contient 3 boules rouges et 2 boules vertes. On tire 2 boules simultanément.
- $\text{card}(\Omega) = C_5^2 = 10$ .
- $P(\text{2 rouges}) = \frac{C_3^2}{C_5^2} = \frac{3}{10} = 0,3$ .

Erreurs fréquentes

Confondre "simultanément" (Combinaison) et "successivement avec remise" (Puissance).
Oublier que la somme des probabilités de tous les événements élémentaires doit être égale à 1.
Utiliser $A_n^p$ au lieu de $C_n^p$ quand l'ordre n'importe pas.

L'essentiel du cours

Univers ($\Omega$) : Ensemble des résultats possibles.
Probabilité $P$ : Application qui à tout événement $A$ associe un nombre $P(A) \in [0, 1]$ tel que $P(\Omega) = 1$.
Équiprobabilité : Si tous les événements élémentaires ont la même probabilité, alors pour tout événement $A$ : $P(A) = \frac{\text{card}(A)}{\text{card}(\Omega)}$.
Propriétés :
- $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$.
- $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
- Si $A \cap B = \emptyset$, alors $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$.

Méthodes à maîtriser

Dénombrement :
- Ordre important avec remise : $n^p$.
- Ordre important sans remise (Arrangement) : $A_n^p = \frac{n!}{(n-p)!}$.
- Ordre non important sans remise (Combinaison) : $C_n^p = \frac{n!}{p!(n-p)!}$.
Arbre de probabilités : Utile pour visualiser les étapes successives.

Exemples corrigés

Exemple : Une urne contient 3 boules rouges et 2 boules vertes. On tire 2 boules simultanément.
- $\text{card}(\Omega) = C_5^2 = 10$.
- $P(\text{2 rouges}) = \frac{C_3^2}{C_5^2} = \frac{3}{10} = 0,3$.

Erreurs fréquentes

Confondre "simultanément" (Combinaison) et "successivement avec remise" (Puissance).
Oublier que la somme des probabilités de tous les événements élémentaires doit être égale à 1.
Utiliser $A_n^p$ au lieu de $C_n^p$ quand l'ordre n'importe pas.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Calcul de probabilités

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Dans une urne de 10 boules, on tire 2 boules simultanément. Le nombre de cas possibles est :

❓ Questions fréquentes

Kifach n3ref wach nst3mel Cn^p wla An^p ?

Si l'énoncé dit "simultanément" ou "sans ordre", utilise $C_n^p$ (Combinaison).
Si l'énoncé dit "successivement sans remise" et que l'ordre compte (ex: tirer un président puis un secrétaire), utilise $A_n^p$ (Arrangement).

💡 À retenir : $C_n^p$ = groupe, $A_n^p$ = classement.

Si l'énoncé dit "simultanément" ou "sans ordre", utilise $C_n^p$ (Combinaison).
Si l'énoncé dit "successivement sans remise" et que l'ordre compte (ex: tirer un président puis un secrétaire), utilise $A_n^p$ (Arrangement).

💡 À retenir : $C_n^p$ = groupe, $A_n^p$ = classement.

Chno hiya l-farq bin "avec remise" o "sans remise" ?

"Avec remise" : Tu remets la boule dans l'urne avant le tirage suivant. Le nombre total de boules reste constant.
"Sans remise" : La boule tirée est mise de côté. Le nombre total diminue.

💡 À retenir : Avec remise = puissance ( $n^p$ ), sans remise = factorielles ( $A_n^p$ ou $C_n^p$ ).

"Avec remise" : Tu remets la boule dans l'urne avant le tirage suivant. Le nombre total de boules reste constant.
"Sans remise" : La boule tirée est mise de côté. Le nombre total diminue.

💡 À retenir : Avec remise = puissance ($n^p$), sans remise = factorielles ($A_n^p$ ou $C_n^p$).

Wach momkin l-ihtimal ykon kbar mn 1 ?

Non, jamais. La probabilité d'un événement est toujours comprise entre 0 et 1. Si tu trouves un résultat supérieur à 1, refais tes calculs, il y a une erreur dans le cardinal ou la formule.

💡 À retenir : $0 \leq P(A) \leq 1$ .

Non, jamais. La probabilité d'un événement est toujours comprise entre 0 et 1. Si tu trouves un résultat supérieur à 1, refais tes calculs, il y a une erreur dans le cardinal ou la formule.

💡 À retenir : $0 \leq P(A) \leq 1$.

Comment calculer la probabilité de l'événement contraire ?

Identifie l'événement $A$ .
Détermine son contraire $\bar{A}$ (ce qui se passe si $A$ ne se réalise pas).
Utilise la formule $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$ .

💡 À retenir : C'est souvent plus simple de calculer $P(\bar{A})$ que $P(A)$ directement.

Identifie l'événement $A$.
Détermine son contraire $\bar{A}$ (ce qui se passe si $A$ ne se réalise pas).
Utilise la formule $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$.

💡 À retenir : C'est souvent plus simple de calculer $P(\bar{A})$ que $P(A)$ directement.

Qu'est-ce qu'un univers dans une expérience aléatoire ?

C'est l'ensemble de toutes les issues possibles de l'expérience. On le note $\Omega$ . Par exemple, pour un dé à 6 faces, $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ .

💡 À retenir : $\text{card}(\Omega)$ est le dénominateur dans la formule de probabilité.

C'est l'ensemble de toutes les issues possibles de l'expérience. On le note $\Omega$. Par exemple, pour un dé à 6 faces, $\Omega = {1, 2, 3, 4, 5, 6}$.

💡 À retenir : $\text{card}(\Omega)$ est le dénominateur dans la formule de probabilité.

Comment traiter un tirage successif avec remise ?

Dans ce cas, chaque tirage est indépendant. Si tu tires $p$ fois, le nombre de cas possibles est $n^p$ (où $n$ est le nombre de boules).

💡 À retenir : Utilise la puissance pour les tirages avec remise.

Dans ce cas, chaque tirage est indépendant. Si tu tires $p$ fois, le nombre de cas possibles est $n^p$ (où $n$ est le nombre de boules).

💡 À retenir : Utilise la puissance pour les tirages avec remise.

Est-ce que l'ordre compte dans un tirage simultané ?

Non, dans un tirage simultané, on considère que les boules sont prises en même temps, donc l'ordre n'a aucune importance. On utilise toujours les combinaisons $C_n^p$ .

💡 À retenir : Simultané = Combinaison.

Non, dans un tirage simultané, on considère que les boules sont prises en même temps, donc l'ordre n'a aucune importance. On utilise toujours les combinaisons $C_n^p$.

💡 À retenir : Simultané = Combinaison.

Comment calculer P(A cup B) ?

Calcule $P(A)$ .
Calcule $P(B)$ .
Calcule $P(A \cap B)$ .
Applique $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ .

💡 À retenir : Ne pas oublier de soustraire l'intersection pour éviter de compter deux fois les éléments communs.

Calcule $P(A)$.
Calcule $P(B)$.
Calcule $P(A \cap B)$.
Applique $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.

💡 À retenir : Ne pas oublier de soustraire l'intersection pour éviter de compter deux fois les éléments communs.

Kifach n7seb l-ihtimal dyal "au moins une boule rouge" ?

L'événement contraire est "aucune boule rouge" (toutes les boules sont d'une autre couleur).
Calcule $P(\text{aucune rouge})$ .
Fais $1 - P(\text{aucune rouge})$ .

💡 À retenir : "Au moins un" = $1 - P(\text{aucun})$ .

L'événement contraire est "aucune boule rouge" (toutes les boules sont d'une autre couleur).
Calcule $P(\text{aucune rouge})$.
Fais $1 - P(\text{aucune rouge})$.

💡 À retenir : "Au moins un" = $1 - P(\text{aucun})$.

Qu'est-ce qu'un événement élémentaire ?

C'est un événement qui ne contient qu'une seule issue de l'univers $\Omega$ . Par exemple, obtenir "6" en lançant un dé.

💡 À retenir : La somme des probabilités de tous les événements élémentaires est égale à 1.

C'est un événement qui ne contient qu'une seule issue de l'univers $\Omega$. Par exemple, obtenir "6" en lançant un dé.

💡 À retenir : La somme des probabilités de tous les événements élémentaires est égale à 1.

Pourquoi on utilise les factorielles ?

Les factorielles ( $n!$ ) permettent de compter le nombre de permutations possibles d'un ensemble d'objets. Elles sont la base du calcul des arrangements et des combinaisons.

💡 À retenir : $n! = n \times (n-1) \times \dots \times 1$ .

Les factorielles ($n!$) permettent de compter le nombre de permutations possibles d'un ensemble d'objets. Elles sont la base du calcul des arrangements et des combinaisons.

💡 À retenir : $n! = n \times (n-1) \times \dots \times 1$.

Comment savoir si deux événements sont incompatibles ?

Deux événements $A$ et $B$ sont incompatibles si $A \cap B = \emptyset$ . Cela signifie qu'ils ne peuvent pas se réaliser simultanément.

💡 À retenir : Si $A \cap B = \emptyset$ , alors $P(A \cap B) = 0$ .

Deux événements $A$ et $B$ sont incompatibles si $A \cap B = \emptyset$. Cela signifie qu'ils ne peuvent pas se réaliser simultanément.

💡 À retenir : Si $A \cap B = \emptyset$, alors $P(A \cap B) = 0$.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Une urne contient 6 boules : 4 blanches et 2 noires. On tire au hasard et simultanément 3 boules.

Calculer le nombre de cas possibles.
Calculer la probabilité de tirer 3 boules blanches.
Calculer la probabilité de tirer au moins une boule noire.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Une urne contient 5 boules rouges et 3 boules vertes. On tire 2 boules successivement sans remise.

Calculer la probabilité de tirer deux boules de même couleur.
Calculer la probabilité de tirer deux boules de couleurs différentes.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Un sac contient 10 jetons : 5 marqués "1", 3 marqués "2" et 2 marqués "3". On tire 2 jetons simultanément.

Calculer la probabilité que la somme des numéros soit égale à 4.
Calculer la probabilité que la somme soit paire.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

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