Sciences de l'Ingénieur · Classes prépa (CPGE) — 1ère année — TSI

Logique combinatoire

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

La logique combinatoire traite des systèmes où les sorties $S$ ne dépendent que de l'état actuel des entrées $E$ .

Opérateurs de base :
- NON (Inverseur) : $S = \bar{A}$
- ET (Produit) : $S = A \cdot B$
- OU (Somme) : $S = A + B$
- OU-Exclusif (XOR) : $S = A \oplus B$
Algèbre de Boole : Lois fondamentales ( $A+0=A$ , $A \cdot 1=A$ , $A+\bar{A}=1$ , $A \cdot \bar{A}=0$ ).
Théorèmes de De Morgan : $\overline{A+B} = \bar{A} \cdot \bar{B}$ et $\overline{A \cdot B} = \bar{A} + \bar{B}$ .

Méthodes à maîtriser

Passage du cahier des charges à la table de vérité : Identifier les variables d'entrée et de sortie.
Simplification par tableau de Karnaugh : Regrouper les "1" par puissances de 2 ( $2^n$ ) pour minimiser l'expression.
Réalisation technologique : Utiliser les portes logiques (NAND/NOR sont universelles).

Exemples corrigés

Exemple : Simplifier $S = A \cdot B + A \cdot \bar{B}$ . Correction : $S = A \cdot (B + \bar{B}) = A \cdot 1 = A$ .

Erreurs fréquentes

Oublier de regrouper les "1" adjacents dans le tableau de Karnaugh.
Confondre les priorités (le produit "." est prioritaire sur la somme "+").
Ne pas respecter les règles de De Morgan lors de l'inversion d'une expression complexe.

L'essentiel du cours

La logique combinatoire traite des systèmes où les sorties $S$ ne dépendent que de l'état actuel des entrées $E$.

Opérateurs de base :
- NON (Inverseur) : $S = \bar{A}$
- ET (Produit) : $S = A \cdot B$
- OU (Somme) : $S = A + B$
- OU-Exclusif (XOR) : $S = A \oplus B$
Algèbre de Boole : Lois fondamentales ($A+0=A$, $A \cdot 1=A$, $A+\bar{A}=1$, $A \cdot \bar{A}=0$).
Théorèmes de De Morgan : $\overline{A+B} = \bar{A} \cdot \bar{B}$ et $\overline{A \cdot B} = \bar{A} + \bar{B}$.

Méthodes à maîtriser

Passage du cahier des charges à la table de vérité : Identifier les variables d'entrée et de sortie.
Simplification par tableau de Karnaugh : Regrouper les "1" par puissances de 2 ($2^n$) pour minimiser l'expression.
Réalisation technologique : Utiliser les portes logiques (NAND/NOR sont universelles).

Exemples corrigés

Exemple : Simplifier $S = A \cdot B + A \cdot \bar{B}$. Correction : $S = A \cdot (B + \bar{B}) = A \cdot 1 = A$.

Erreurs fréquentes

Oublier de regrouper les "1" adjacents dans le tableau de Karnaugh.
Confondre les priorités (le produit "." est prioritaire sur la somme "+").
Ne pas respecter les règles de De Morgan lors de l'inversion d'une expression complexe.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Logique combinatoire

1/4

Quelle est la sortie d'une porte OU pour $A=1, B=0$ ?

❓ Questions fréquentes

Est-ce que l'ordre des entrées change le résultat dans une porte ET ?

Non, l'opération ET est commutative : $A \cdot B = B \cdot A$ . Le résultat est identique quel que soit l'ordre des signaux appliqués aux entrées.

💡 À retenir : La commutativité est une propriété fondamentale des opérateurs ET et OU.

Non, l'opération ET est commutative : $A \cdot B = B \cdot A$. Le résultat est identique quel que soit l'ordre des signaux appliqués aux entrées.

💡 À retenir : La commutativité est une propriété fondamentale des opérateurs ET et OU.

Kifach n7seb l'3adad dyal l'khana f'jadwal Karnaugh ila 3ndi 4 d'l'moudkhalat ?

Pour $n$ variables, le tableau possède $2^n$ cases. Avec 4 entrées ( $A, B, C, D$ ), tu auras $2^4 = 16$ cases.

💡 À retenir : Le nombre de cases est toujours une puissance de 2.

Pour $n$ variables, le tableau possède $2^n$ cases. Avec 4 entrées ($A, B, C, D$), tu auras $2^4 = 16$ cases.

💡 À retenir : Le nombre de cases est toujours une puissance de 2.

Pourquoi on utilise souvent les portes NAND au lieu des autres ?

Les portes NAND sont dites "universelles". Avec uniquement des portes NAND, on peut reconstruire n'importe quelle fonction logique (ET, OU, NON), ce qui réduit les coûts de fabrication industrielle.

💡 À retenir : NAND et NOR sont les briques de base universelles.

Chno hiya l'far9 bin logique combinatoire w logique séquentielle ?

La logique combinatoire ne dépend que des entrées instantanées. La logique séquentielle possède une "mémoire" : la sortie dépend des entrées ET de l'état précédent.

💡 À retenir : Séquentielle = Combinatoire + Mémoire (Bascule).

Kifach n'simplifi une expression b'tableau de Karnaugh ila kan 3ndi 3 d'l'moudkhalat ?

Trace un tableau de 8 cases (2 lignes, 4 colonnes).
Place les variables (ex: $A$ en ligne, $BC$ en colonnes).
Remplis les cases avec les valeurs de la table de vérité.
Fais des regroupements de 1, 2, 4 ou 8 cases adjacentes.

💡 À retenir : Les regroupements doivent être les plus grands possibles.

Trace un tableau de 8 cases (2 lignes, 4 colonnes).
Place les variables (ex: $A$ en ligne, $BC$ en colonnes).
Remplis les cases avec les valeurs de la table de vérité.
Fais des regroupements de 1, 2, 4 ou 8 cases adjacentes.

💡 À retenir : Les regroupements doivent être les plus grands possibles.

Est-ce que le théorème de De Morgan s'applique sur 3 variables ?

Oui, $\overline{A \cdot B \cdot C} = \bar{A} + \bar{B} + \bar{C}$ . La règle reste la même : on inverse chaque terme et on change l'opérateur.

💡 À retenir : Le produit devient une somme et inversement.

Oui, $\overline{A \cdot B \cdot C} = \bar{A} + \bar{B} + \bar{C}$. La règle reste la même : on inverse chaque terme et on change l'opérateur.

💡 À retenir : Le produit devient une somme et inversement.

Est-ce que je peux simplifier A + B cdot C en (A+B) cdot (A+C) ?

Oui, c'est la règle de distributivité de la somme par rapport au produit. C'est très utile pour transformer une expression.

💡 À retenir : $A + (B \cdot C) = (A + B) \cdot (A + C)$ .

Oui, c'est la règle de distributivité de la somme par rapport au produit. C'est très utile pour transformer une expression.

💡 À retenir : $A + (B \cdot C) = (A + B) \cdot (A + C)$.

Wach l'mou3adala l'logiya katb9a hiya nit ila badelt l'moukhalat ?

Non, si tu changes les variables, la table de vérité change, donc l'expression logique change obligatoirement.

💡 À retenir : Chaque système a sa propre équation.

Comment représenter une sortie qui vaut 1 seulement si A=1 et B=0 ?

L'expression est $S = A \cdot \bar{B}$ . Dans la table de vérité, tu mets 1 uniquement à la ligne où $A=1$ et $B=0$ .

💡 À retenir : Utilise l'inverseur pour les entrées à 0.

L'expression est $S = A \cdot \bar{B}$. Dans la table de vérité, tu mets 1 uniquement à la ligne où $A=1$ et $B=0$.

💡 À retenir : Utilise l'inverseur pour les entrées à 0.

Est-ce que les portes logiques consomment de l'énergie ?

Oui, en pratique, les composants électroniques (transistors) consomment de l'énergie, surtout lors des changements d'état (commutation).

💡 À retenir : En logique théorique, on néglige souvent cette consommation.

Est-ce que le tableau de Karnaugh est obligatoire pour simplifier ?

Non, tu peux utiliser l'algèbre de Boole, mais le tableau de Karnaugh est beaucoup plus rapide et moins sujet aux erreurs de calcul.

💡 À retenir : Le tableau est l'outil privilégié pour les expressions complexes.

Est-ce qu'on peut avoir plusieurs sorties dans un système combinatoire ?

Oui, tout à fait. Chaque sortie aura sa propre équation logique et son propre tableau de Karnaugh.

💡 À retenir : Traite chaque sortie indépendamment.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Un système de sécurité possède 3 capteurs $A, B, C$ . L'alarme $S$ se déclenche si :

$A$ et $B$ sont activés, quel que soit $C$ .
$C$ est activé et $A$ est désactivé.

Établir la table de vérité.
Déterminer l'expression simplifiée de $S$ par Karnaugh.

Exercice 1

Un système de sécurité possède 3 capteurs $A, B, C$. L'alarme $S$ se déclenche si :

$A$ et $B$ sont activés, quel que soit $C$.
$C$ est activé et $A$ est désactivé.

Établir la table de vérité.
Déterminer l'expression simplifiée de $S$ par Karnaugh.

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Exercice 2

Simplifier l'expression $F = \overline{A \cdot \bar{B} + C}$ en utilisant les théorèmes de De Morgan.

Exercice 2

Simplifier l'expression $F = \overline{A \cdot \bar{B} + C}$ en utilisant les théorèmes de De Morgan.

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Exercice 3

Soit $S = A \cdot B \cdot C + A \cdot B \cdot \bar{C} + \bar{A} \cdot B \cdot C$ . Simplifier l'expression.

Exercice 3

Soit $S = A \cdot B \cdot C + A \cdot B \cdot \bar{C} + \bar{A} \cdot B \cdot C$. Simplifier l'expression.

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