Mathématiques · Prépa concours post-bac — ENSA & ENSAM

Calcul algébrique et polynômes

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Un polynôme $P(x) = a_n x^n + ... + a_1 x + a_0$ est défini par ses coefficients.
Le degré de $P$ est le plus grand $n$ tel que $a_n \neq 0$ .
Division euclidienne : Pour tout $P, A \in \mathbb{R}[x]$ ( $A \neq 0$ ), il existe un unique couple $(Q, R)$ tel que $P = AQ + R$ avec $\deg(R) < \deg(A)$ .
Théorème : $a$ est racine de $P$ si et seulement si $(x-a)$ divise $P(x)$ .

Méthodes à maîtriser

Factorisation : Utiliser les identités remarquables ou la division euclidienne après avoir trouvé une racine évidente.
Identification : Pour montrer que $P=Q$ , on montre qu'ils ont les mêmes coefficients.
Schéma de Horner : Méthode rapide pour diviser un polynôme par $(x-a)$ .

Exemples corrigés

Factoriser $P(x) = x^3 - 1$ : On sait que $1$ est racine, donc $P(x) = (x-1)(x^2+x+1)$ .
Division de $x^2+1$ par $x-1$ : $x^2+1 = (x+1)(x-1) + 2$ . Ici $Q(x)=x+1$ et $R=2$ .

Erreurs fréquentes

Oublier que le degré du reste doit être strictement inférieur au degré du diviseur.
Confondre racine et coefficient.
Ne pas vérifier si le polynôme est nul avant de parler de son degré.

L'essentiel du cours

Un polynôme $P(x) = a_n x^n + ... + a_1 x + a_0$ est défini par ses coefficients.
Le degré de $P$ est le plus grand $n$ tel que $a_n \neq 0$.
Division euclidienne : Pour tout $P, A \in \mathbb{R}[x]$ ($A \neq 0$), il existe un unique couple $(Q, R)$ tel que $P = AQ + R$ avec $\deg(R) < \deg(A)$.
Théorème : $a$ est racine de $P$ si et seulement si $(x-a)$ divise $P(x)$.

Méthodes à maîtriser

Factorisation : Utiliser les identités remarquables ou la division euclidienne après avoir trouvé une racine évidente.
Identification : Pour montrer que $P=Q$, on montre qu'ils ont les mêmes coefficients.
Schéma de Horner : Méthode rapide pour diviser un polynôme par $(x-a)$.

Exemples corrigés

Factoriser $P(x) = x^3 - 1$ : On sait que $1$ est racine, donc $P(x) = (x-1)(x^2+x+1)$.
Division de $x^2+1$ par $x-1$ : $x^2+1 = (x+1)(x-1) + 2$. Ici $Q(x)=x+1$ et $R=2$.

Erreurs fréquentes

Oublier que le degré du reste doit être strictement inférieur au degré du diviseur.
Confondre racine et coefficient.
Ne pas vérifier si le polynôme est nul avant de parler de son degré.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Calcul algébrique et polynômes

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Quel est le degré de $P(x) = (x^2+1)^3$ ?

❓ Questions fréquentes

Comment savoir si un nombre est racine d'un polynôme ?

Tu remplaces $x$ par la valeur donnée dans l'expression $P(x)$ .
Si le résultat du calcul est égal à $0$ , alors le nombre est une racine.
Si le résultat est différent de $0$ , ce n'est pas une racine.

💡 À retenir : $a$ est racine $\iff P(a) = 0$ .

Tu remplaces $x$ par la valeur donnée dans l'expression $P(x)$.
Si le résultat du calcul est égal à $0$, alors le nombre est une racine.
Si le résultat est différent de $0$, ce n'est pas une racine.

💡 À retenir : $a$ est racine $\iff P(a) = 0$.

Kifach n3mel wahed l-polynôme ila kan 3ndi racine évidente ?

Ila kan $a$ racine, 3ref belli $P(x)$ katqbel l-qisma 3la $(x-a)$ .
Dir l-qisma l-euclidienne awla chéma de Horner bach tlkaw l-polynôme $Q(x)$ .
Ktbo $P(x) = (x-a)Q(x)$ .

💡 À retenir : Dima qlb 3la les racines évidentes (0, 1, -1) bach tsshel l-factorisation.

Ila kan $a$ racine, 3ref belli $P(x)$ katqbel l-qisma 3la $(x-a)$.
Dir l-qisma l-euclidienne awla chéma de Horner bach tlkaw l-polynôme $Q(x)$.
Ktbo $P(x) = (x-a)Q(x)$.

💡 À retenir : Dima qlb 3la les racines évidentes (0, 1, -1) bach tsshel l-factorisation.

Est-ce que le degré d'un produit est la somme des degrés ?

Oui, si $P$ et $Q$ sont deux polynômes non nuls, alors $\deg(PQ) = \deg(P) + \deg(Q)$ .

💡 À retenir : Cette règle est fondamentale pour déterminer le degré d'une expression complexe.

Oui, si $P$ et $Q$ sont deux polynômes non nuls, alors $\deg(PQ) = \deg(P) + \deg(Q)$.

💡 À retenir : Cette règle est fondamentale pour déterminer le degré d'une expression complexe.

Chno hiya l-farq bin l-qisma euclidienne w l-qisma 3la l-qowa t-tzaidiya ?

L-qisma euclidienne katkon 3la hssab l-oss l-kbir (puissances décroissantes).
L-qisma 3la l-qowa t-tzaidiya katkon 3la hssab l-oss s-sghir (puissances croissantes), kanst3mloha bzaf f les développements limités.

💡 À retenir : La division euclidienne est l'outil standard pour la factorisation.

Comment trouver les racines d'un polynôme de degré 2 ?

Calcule le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ .
Si $\Delta > 0$ , deux racines réelles : $x_1 = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2 = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ .
Si $\Delta = 0$ , une racine double : $x_0 = \frac{-b}{2a}$ .
Si $\Delta < 0$ , pas de racines réelles (mais deux racines complexes).

💡 À retenir : Le signe de $\Delta$ détermine tout.

Calcule le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$.
Si $\Delta > 0$, deux racines réelles : $x_1 = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2 = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$.
Si $\Delta = 0$, une racine double : $x_0 = \frac{-b}{2a}$.
Si $\Delta < 0$, pas de racines réelles (mais deux racines complexes).

💡 À retenir : Le signe de $\Delta$ détermine tout.

Kifach n3ref wach wahed l-polynôme 3ndo racine mda3fa ?

$a$ est une racine double si $P(a) = 0$ ET $P'(a) = 0$ .
$P'(x)$ est le polynôme dérivé de $P(x)$ .

💡 À retenir : Une racine est multiple si elle annule le polynôme et ses dérivées successives.

$a$ est une racine double si $P(a) = 0$ ET $P'(a) = 0$.
$P'(x)$ est le polynôme dérivé de $P(x)$.

💡 À retenir : Une racine est multiple si elle annule le polynôme et ses dérivées successives.

Peut-on diviser un polynôme par un autre de degré supérieur ?

Non, dans la division euclidienne $P = AQ + R$ , on impose $\deg(R) < \deg(A)$ . Si $\deg(A) > \deg(P)$ , alors $Q=0$ et $R=P$ .

💡 À retenir : Le diviseur doit être de degré inférieur ou égal au dividende pour avoir un quotient non nul.

Non, dans la division euclidienne $P = AQ + R$, on impose $\deg(R) < \deg(A)$. Si $\deg(A) > \deg(P)$, alors $Q=0$ et $R=P$.

💡 À retenir : Le diviseur doit être de degré inférieur ou égal au dividende pour avoir un quotient non nul.

Est-ce que tout polynôme de degré 3 a au moins une racine réelle ?

Oui, car une fonction polynomiale de degré impair est continue et ses limites en $+\infty$ et $-\infty$ sont de signes opposés (Théorème des Valeurs Intermédiaires).

💡 À retenir : Un polynôme de degré impair possède toujours au moins une racine réelle.

Oui, car une fonction polynomiale de degré impair est continue et ses limites en $+\infty$ et $-\infty$ sont de signes opposés (Théorème des Valeurs Intermédiaires).

💡 À retenir : Un polynôme de degré impair possède toujours au moins une racine réelle.

Comment utiliser les relations entre coefficients et racines ?

Pour $P(x) = ax^2 + bx + c$ de racines $x_1, x_2$ :

$x_1 + x_2 = -b/a$
$x_1 \cdot x_2 = c/a$

💡 À retenir : Ces relations permettent de trouver les racines sans calculer $\Delta$ si on en devine une.

Pour $P(x) = ax^2 + bx + c$ de racines $x_1, x_2$ :

$x_1 + x_2 = -b/a$
$x_1 \cdot x_2 = c/a$

💡 À retenir : Ces relations permettent de trouver les racines sans calculer $\Delta$ si on en devine une.

Chno hiya l-qima dyal P(0) ?

$P(0)$ est toujours égal au terme constant $a_0$ du polynôme.

💡 À retenir : C'est le moyen le plus rapide pour trouver le terme constant.

$P(0)$ est toujours égal au terme constant $a_0$ du polynôme.

💡 À retenir : C'est le moyen le plus rapide pour trouver le terme constant.

Est-ce que le polynôme nul a un degré ?

Par convention, le degré du polynôme nul est $-\infty$ .

💡 À retenir : Le degré n'est défini que pour les polynômes non nuls.

Par convention, le degré du polynôme nul est $-\infty$.

💡 À retenir : Le degré n'est défini que pour les polynômes non nuls.

Comment montrer que deux polynômes sont égaux ?

Il suffit de montrer qu'ils ont les mêmes coefficients pour chaque puissance de $x$ .

💡 À retenir : L'identification des coefficients est une méthode puissante.

Il suffit de montrer qu'ils ont les mêmes coefficients pour chaque puissance de $x$.

💡 À retenir : L'identification des coefficients est une méthode puissante.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $P(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ .

Vérifier que 1 est racine de $P$ .
Factoriser $P(x)$ sous la forme $(x-1)Q(x)$ .
En déduire les racines de $P$ .

Exercice 1

Soit $P(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6$.

Vérifier que 1 est racine de $P$.
Factoriser $P(x)$ sous la forme $(x-1)Q(x)$.
En déduire les racines de $P$.

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Exercice 2

Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que $x^4 + 1 = (x^2 + ax + 1)(x^2 + bx + 1)$ .

Exercice 2

Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que $x^4 + 1 = (x^2 + ax + 1)(x^2 + bx + 1)$.

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Exercice 3

Soit $P(x) = x^3 + x^2 + x + 1$ . Factoriser $P(x)$ dans $\mathbb{R}[x]$ .

Exercice 3

Soit $P(x) = x^3 + x^2 + x + 1$. Factoriser $P(x)$ dans $\mathbb{R}[x]$.

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