Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.
📘 Fiche de cours
L'essentiel du cours
Dans le plan complexe $\mathbb{P}$ muni d'un repère orthonormé direct $(O, \vec{u}, \vec{v})$, les transformations du plan s'expriment souvent à l'aide des nombres complexes. Une transformation $f$ associe à tout point $M$ d'affixe $z$ un point $M'$ d'affixe $z'$.
Translation de vecteur $\vec{u}$ d'affixe $b$ : $z' = z + b$. Pas de point invariant si $b \neq 0$.
Rotation de centre $\Omega(\omega)$ et d'angle $\theta$ : $z' - \omega = e^{i\theta}(z - \omega)$. Un seul point invariant $\Omega$.
Homothétie de centre $\Omega(\omega)$ et de rapport $k$ ($k \in \mathbb{R}^* \setminus {1}$) : $z' - \omega = k(z - \omega)$. Un seul point invariant $\Omega$.
Réflexion (symétrie axiale) ou symétrie centrale : cas particuliers de similitudes ou d'isométries.
Similitude directe de centre $\Omega(\omega)$, de rapport $k > 0$ et d'angle $\theta$ : $z' - \omega = re^{i\theta}(z - \omega)$ avec $r=k$. L'écriture complexe générale est $z' = az + b$ avec $a \in \mathbb{C}^*$ et $|a| \neq 1$ (ou $1$ pour une isométrie).
Méthodes à maîtriser
Reconnaître une transformation à partir de son expression complexe $z' = az + b$ :
Si $a = 1$, c'est une translation de vecteur d'affixe $b$.
Si $a \neq 1$ et $|a| = 1$, c'est une rotation d'angle $\arg(a)$ dont on détermine le centre $\Omega$ en résolvant l'équation $z = az + b$.
Si $a \neq 1$ et $a \in \mathbb{R}$, c'est une homothétie de rapport $a$ et de centre $\Omega$.
Si $a \neq 1$ et $|a| \neq 1$ (et $a \notin \mathbb{R}$), c'est une similitude directe de rapport $|a|$, d'angle $\arg(a)$ et de centre $\Omega$.
Déterminer l'image d'une figure géométrique simple (droite, cercle) par une transformation.
Exemples corrigés
Exemple 1 : Soit $f$ la transformation d'expression complexe $z' = 2iz + 1 - i$. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de $f$.
Corrigé : On a $a = 2i$ et $b = 1 - i$. Comme $|a| = |2i| = 2 \neq 1$, $f$ est une similitude directe. Son rapport est $k = |2i| = 2$ et son angle est $\theta = \arg(2i) = \frac{\pi}{2}$ $[2\pi]$. Le centre $\Omega(\omega)$ est le point invariant : $\omega = 2i\omega + 1 - i \implies \omega(1 - 2i) = 1 - i \implies \omega = \frac{1-i}{1-2i} = \frac{(1-i)(1+2i)}{1+4} = \frac{3+i}{5}$.
Erreurs fréquentes
Oublier de diviser par $1-a$ lors du calcul du centre $\Omega$ d'une transformation.
Confondre le rapport d'une homothétie (qui peut être négatif) et le rapport d'une similitude (qui est toujours strictement positif).
Négliger de préciser le modulo $2\pi$ pour l'angle d'une rotation ou d'une similitude.
🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR
Tu as appris les sciences en arabe ? Touche un mot pour voir sa traduction et une explication en darija.
Quelle est l'expression complexe d'une translation de vecteur $\vec{u}$ d'affixe $2+3i$ ?
❓ Questions fréquentes
Comment déterminer l'écriture complexe d'une rotation ?
Pour trouver l'écriture complexe d'une rotation de centre $\Omega(\omega)$ et d'angle $\theta$, on utilise la formule générale $z' - \omega = e^{i\theta}(z - \omega)$. On développe pour obtenir la forme standard $z' = az + b$ avec $a = e^{i\theta}$ et $b = \omega(1 - e^{i\theta})$.
C'est quoi un point invariant f'chi tahwil?
Noqta samida hiya noqta $M$ li katbeddelch blasa dyalha melli katطبق 3liha l'transformation, yani $f(M) = M$. B darija, hiya l'markaz awla noqta li katbqa f blastaha.
Quelle est la différence entre une isométrie et une similitude ?
Une isométrie est une transformation qui conserve les distances (le rapport est $k=1$). Exemples : translation, rotation, réflexion. Une similitude conserve les rapports de distances et multiplie les longueurs par un rapport $k > 0$ ($k \neq 1$ en général).
Kifach n'3arfo wach wahd l'kitaba z' = az + b hiya tawsil (translation) wla la?
Khassek tchof l'coefficient $a$. Ila kan $a = 1$, rah s'dada (translation) w l'vector dyalha $u$ andou lafk $b$. Ila kan $a \neq 1$, mashi translation.
Comment trouver l'image d'une droite par une rotation ?
Pour trouver l'image d'une droite $(D)$ par une rotation, on peut déterminer les images de deux points distincts de $(D)$, ou utiliser l'image d'un point et l'angle de la droite avec le vecteur directeur transformé. Souvent, on passe par l'équation cartésienne en utilisant les affixes.
Ach kat3ni "Similitude directe" b l'3arbiya w f l'mokhtasar?
Similitude directe hiya "تشابه مباشر". Katافظ 3la l'ittijah (l'orientation) w katbeddel l'masafat b nafs l'mo'amil (raport $k$).
Quelle est la nature de la transformation z' = bar{z} ?
C'est la réflexion (symétrie axiale) par rapport à l'axe réel $(O, \vec{u})$. Ce n'est pas une similitude directe car l'expression contient $\bar{z}$ et non $z$.
Wach l'morafiq (conjugué) kayakhdm f l'mohawalat dyal tTahwilate?
Oui, l'iStikhdam dyal l'morafiq mohim bzaf f t'tahwilate lli fihom l'in'kias (réflexions) wlla symétrie axiale, mais f l'similitudate direta kansta3mlo ghir $z$ machi $\bar{z}$.
Comment composer deux rotations ?
La composée de deux rotations de centres différents et d'angles $\theta_1$ et $\theta_2$ est soit une rotation d'angle $\theta_1 + \theta_2$ (si $\theta_1 + \theta_2 \not\equiv 0 [2\pi]$), soit une translation (si $\theta_1 + \theta_2 \equiv 0 [2\pi]$).
L'mo'amil houwa $k$. Ila kan $k$ reel w $k \neq 1$, rah homothétie. S'ar rapport houwa $|k|$.
Que vaut l'affixe du vecteur image par une translation ?
Si $M$ a pour affixe $z$ et $M'$ a pour affixe $z'$ tel que $\vec{MM'}$ est le vecteur de la translation d'affixe $b$, alors l'affixe du vecteur $\vec{MM'}$ est $z' - z = b$.
Kifach n'barhno belli wahd l'noqta hiya markaz dyal doran (rotation)?
Khassek tbiyn belli l'masafa bin l'markaz w l'noqta katساوي l'masafa bin l'markaz w sora dyalha, w l'zawia binathom katساوي zawiayt l'doran. B l'3qda (complexes), katsstamel $z' - \omega = e^{i\theta}(z - \omega)$.
✍️ Exercices type examen national
Exercice 1
Soit $R$ la rotation de centre $\Omega$ d'affixe $\omega = 1+i$ et d'angle $\theta = \frac{\pi}{3}$.
Donner l'expression complexe de la rotation $R$.
Soit $M$ le point d'affixe $z = 2 + i$. Calculer l'affixe $z'$ de son image $M'$ par $R$.
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \vec{u}, \vec{v})$. On considère la transformation $f$ qui à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ tel que :
$$z' = \frac{1+i}{2}z + 1 - \frac{1}{2}i$$
Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de $f$.
Déterminer l'affixe du point $\Omega$, centre de $f$.
Soit $A$ le point d'affixe $1$. Déterminer l'affixe de $A'$, image de $A$ par $f$.
Dans le plan complexe, on considère l'homothétie $h$ de centre $A$ d'affixe $2$ et de rapport $k = -2$, et la translation $t$ de vecteur $\vec{u}$ d'affixe $3-i$. Soit $f = t \circ h$ la composée de $h$ puis de $t$.
Déterminer l'expression complexe de $h$, puis celle de $t$.
En déduire l'expression complexe de la transformation $f$.
Quelle est la nature de $f$ ? Préciser ses éléments caractéristiques.
Dans le plan complexe P muni d'un repère orthonormé direct (O,u,v), les transformations du plan s'expriment souvent à l'aide des nombres complexes. Une transformation f associe à tout point M d'affixe z un point M′ d'affixe z′.
Translation de vecteur u d'affixe b : z′=z+b. Pas de point invariant si b=0.
Rotation de centre Ω(ω) et d'angle θ : z′−ω=eiθ(z−ω). Un seul point invariant Ω.
Homothétie de centre Ω(ω) et de rapport k (k∈R∗∖{1}) : z′−ω=k(z−ω). Un seul point invariant Ω.
Réflexion (symétrie axiale) ou symétrie centrale : cas particuliers de similitudes ou d'isométries.
Similitude directe de centre Ω(ω), de rapport k>0 et d'angle θ : z′−ω=reiθ(z−ω) avec r=k. L'écriture complexe générale est z′=az+b avec a∈C∗ et ∣a∣=1 (ou 1 pour une isométrie).
Méthodes à maîtriser
Reconnaître une transformation à partir de son expression complexe z′=az+b :
Si a=1, c'est une translation de vecteur d'affixe b.
Si a=1 et ∣a∣=1, c'est une rotation d'angle arg(a) dont on détermine le centre Ω en résolvant l'équation z=az+b.
Si a=1 et a∈R, c'est une homothétie de rapport a et de centre Ω.
Si a=1 et ∣a∣=1 (et a∈/R), c'est une similitude directe de rapport ∣a∣, d'angle arg(a) et de centre Ω.
Déterminer l'image d'une figure géométrique simple (droite, cercle) par une transformation.
Exemples corrigés
Exemple 1 : Soit f la transformation d'expression complexe z′=2iz+1−i. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de f.
Corrigé : On a a=2i et b=1−i. Comme ∣a∣=∣2i∣=2=1, f est une similitude directe. Son rapport est k=∣2i∣=2 et son angle est θ=arg(2i)=2π[2π]. Le centre Ω(ω) est le point invariant : ω=2iω+1−i⟹ω(1−2i)=1−i⟹ω=1−2i1−i=1+4(1−i)(1+2i)=53+i.
Erreurs fréquentes
Oublier de diviser par 1−a lors du calcul du centre Ω d'une transformation.
Confondre le rapport d'une homothétie (qui peut être négatif) et le rapport d'une similitude (qui est toujours strictement positif).
Négliger de préciser le modulo 2π pour l'angle d'une rotation ou d'une similitude.
Quelle est l'expression complexe d'une translation de vecteur u d'affixe 2+3i ?
z′=(2+3i)z
z′=z+2+3i
z′=2z+3i
z′=z−2−3i
Pour trouver l'écriture complexe d'une rotation de centre Ω(ω) et d'angle θ, on utilise la formule générale z′−ω=eiθ(z−ω). On développe pour obtenir la forme standard z′=az+b avec a=eiθ et b=ω(1−eiθ).
Noqta samida hiya noqta M li katbeddelch blasa dyalha melli katطبق 3liha l'transformation, yani f(M)=M. B darija, hiya l'markaz awla noqta li katbqa f blastaha.
Une isométrie est une transformation qui conserve les distances (le rapport est k=1). Exemples : translation, rotation, réflexion. Une similitude conserve les rapports de distances et multiplie les longueurs par un rapport k>0 (k=1 en général).
Khassek tchof l'coefficient a. Ila kan a=1, rah s'dada (translation) w l'vector dyalha u andou lafk b. Ila kan a=1, mashi translation.
Pour trouver l'image d'une droite (D) par une rotation, on peut déterminer les images de deux points distincts de (D), ou utiliser l'image d'un point et l'angle de la droite avec le vecteur directeur transformé. Souvent, on passe par l'équation cartésienne en utilisant les affixes.
Similitude directe hiya "تشابه مباشر". Katافظ 3la l'ittijah (l'orientation) w katbeddel l'masafat b nafs l'mo'amil (raport k).
C'est la réflexion (symétrie axiale) par rapport à l'axe réel (O,u). Ce n'est pas une similitude directe car l'expression contient zˉ et non z.
Oui, l'iStikhdam dyal l'morafiq mohim bzaf f t'tahwilate lli fihom l'in'kias (réflexions) wlla symétrie axiale, mais f l'similitudate direta kansta3mlo ghir z machi zˉ.
La composée de deux rotations de centres différents et d'angles θ1 et θ2 est soit une rotation d'angle θ1+θ2 (si θ1+θ2≡0[2π]), soit une translation (si θ1+θ2≡0[2π]).
L'mo'amil houwa k. Ila kan k reel w k=1, rah homothétie. S'ar rapport houwa ∣k∣.
Si M a pour affixe z et M′ a pour affixe z′ tel que MM′ est le vecteur de la translation d'affixe b, alors l'affixe du vecteur MM′ est z′−z=b.
Khassek tbiyn belli l'masafa bin l'markaz w l'noqta katساوي l'masafa bin l'markaz w sora dyalha, w l'zawia binathom katساوي zawiayt l'doran. B l'3qda (complexes), katsstamel z′−ω=eiθ(z−ω).
Exercice 1
Soit R la rotation de centre Ω d'affixe ω=1+i et d'angle θ=3π.
Donner l'expression complexe de la rotation R.
Soit M le point d'affixe z=2+i. Calculer l'affixe z′ de son image M′ par R.
Montrer que le triangle ΩMM′ est isocèle.
Exercice 2
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct (O,u,v). On considère la transformation f qui à tout point M d'affixe z associe le point M′ d'affixe z′ tel que :
z′=21+iz+1−21i
Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de f.
Déterminer l'affixe du point Ω, centre de f.
Soit A le point d'affixe 1. Déterminer l'affixe de A′, image de A par f.
Exercice 3
Dans le plan complexe, on considère l'homothétie h de centre A d'affixe 2 et de rapport k=−2, et la translation t de vecteur u d'affixe 3−i. Soit f=t∘h la composée de h puis de t.
Déterminer l'expression complexe de h, puis celle de t.
En déduire l'expression complexe de la transformation f.
Quelle est la nature de f ? Préciser ses éléments caractéristiques.