Mathématiques · Prépa concours post-bac — ENSA & ENSAM

Calcul intégral et primitives

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Primitive : Soit $f$ une fonction continue sur $I$ . Une fonction $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ si $F$ est dérivable sur $I$ et $F'(x) = f(x)$ .
Intégrale : Si $F$ est une primitive de $f$ , alors $\int_{a}^{b} f(x) dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a)$ .
Linéarité : $\int_a^b (\alpha f(x) + \beta g(x)) dx = \alpha \int_a^b f(x) dx + \beta \int_a^b g(x) dx$ .
Relation de Chasles : $\int_a^b f(x) dx = \int_a^c f(x) dx + \int_c^b f(x) dx$ .

Méthodes à maîtriser

Recherche de primitives : Utiliser le tableau des primitives usuelles (ex: $x^n \to \frac{x^{n+1}}{n+1}$ ).
Intégration par parties (IPP) : $\int_a^b u(x)v'(x) dx = [u(x)v(x)]_a^b - \int_a^b u'(x)v(x) dx$ . Choisir $u$ selon la règle "LIAPES" (Log, Inverse, Arcsin, Polynôme, Exp, Sin/Cos).
Changement de variable : Poser $u = \phi(x)$ , donc $du = \phi'(x)dx$ . Ne pas oublier de changer les bornes.

Exemples corrigés

Calcul simple : $\int_0^1 x^2 dx = [\frac{x^3}{3}]_0^1 = \frac{1}{3} - 0 = \frac{1}{3}$ .
IPP : $\int_1^e \ln(x) dx$ . Posons $u=\ln(x), v'=1 \implies u'=1/x, v=x$ . $\int_1^e \ln(x) dx = [x\ln(x)]_1^e - \int_1^e 1 dx = (e \cdot 1 - 0) - [x]_1^e = e - (e-1) = 1$ .

Erreurs fréquentes

Oublier la constante $C$ pour les primitives indéfinies.
Inverser les bornes lors du calcul de l'intégrale.
Ne pas changer les bornes lors d'un changement de variable.
Confondre la dérivée et la primitive (ex: primitive de $e^{2x}$ est $\frac{1}{2}e^{2x}$ et non $2e^{2x}$ ).

L'essentiel du cours

Primitive : Soit $f$ une fonction continue sur $I$. Une fonction $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ si $F$ est dérivable sur $I$ et $F'(x) = f(x)$.
Intégrale : Si $F$ est une primitive de $f$, alors $\int_{a}^{b} f(x) dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a)$.
Linéarité : $\int_a^b (\alpha f(x) + \beta g(x)) dx = \alpha \int_a^b f(x) dx + \beta \int_a^b g(x) dx$.
Relation de Chasles : $\int_a^b f(x) dx = \int_a^c f(x) dx + \int_c^b f(x) dx$.

Méthodes à maîtriser

Recherche de primitives : Utiliser le tableau des primitives usuelles (ex: $x^n \to \frac{x^{n+1}}{n+1}$).
Intégration par parties (IPP) : $\int_a^b u(x)v'(x) dx = [u(x)v(x)]_a^b - \int_a^b u'(x)v(x) dx$. Choisir $u$ selon la règle "LIAPES" (Log, Inverse, Arcsin, Polynôme, Exp, Sin/Cos).
Changement de variable : Poser $u = \phi(x)$, donc $du = \phi'(x)dx$. Ne pas oublier de changer les bornes.

Exemples corrigés

Calcul simple : $\int_0^1 x^2 dx = [\frac{x^3}{3}]_0^1 = \frac{1}{3} - 0 = \frac{1}{3}$.
IPP : $\int_1^e \ln(x) dx$. Posons $u=\ln(x), v'=1 \implies u'=1/x, v=x$. $\int_1^e \ln(x) dx = [x\ln(x)]_1^e - \int_1^e 1 dx = (e \cdot 1 - 0) - [x]_1^e = e - (e-1) = 1$.

Erreurs fréquentes

Oublier la constante $C$ pour les primitives indéfinies.
Inverser les bornes lors du calcul de l'intégrale.
Ne pas changer les bornes lors d'un changement de variable.
Confondre la dérivée et la primitive (ex: primitive de $e^{2x}$ est $\frac{1}{2}e^{2x}$ et non $2e^{2x}$).

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Calcul intégral et primitives

1/4

Quelle est la primitive de $f(x) = \cos(3x)$ ?

❓ Questions fréquentes

Comment savoir si je dois utiliser l'IPP ou le changement de variable ?

L'IPP est idéale quand tu as un produit de deux fonctions de natures différentes (ex: $x \cdot e^x$ ou $x \cdot \ln(x)$ ).
Le changement de variable est utile quand tu vois une fonction composée et sa dérivée à côté (ex: $\int \frac{2x}{x^2+1} dx$ , on pose $u=x^2+1$ ).

💡 À retenir : Si tu vois $f'(x) \cdot g(f(x))$ , pense immédiatement au changement de variable.

L'IPP est idéale quand tu as un produit de deux fonctions de natures différentes (ex: $x \cdot e^x$ ou $x \cdot \ln(x)$).
Le changement de variable est utile quand tu vois une fonction composée et sa dérivée à côté (ex: $\int \frac{2x}{x^2+1} dx$, on pose $u=x^2+1$).

💡 À retenir : Si tu vois $f'(x) \cdot g(f(x))$, pense immédiatement au changement de variable.

Kifach n7seb l-integral dyal x^2 cdot e^x ?

Utilise l'IPP deux fois.
Pose $u=x^2$ et $v'=e^x$ .
Tu obtiendras $\int x^2 e^x dx = x^2 e^x - \int 2x e^x dx$ .
Refais une IPP sur $\int x e^x dx$ .

💡 À retenir : Pour les polynômes multipliés par $e^x$ , on dérive le polynôme jusqu'à ce qu'il disparaisse.

Utilise l'IPP deux fois.
Pose $u=x^2$ et $v'=e^x$.
Tu obtiendras $\int x^2 e^x dx = x^2 e^x - \int 2x e^x dx$.
Refais une IPP sur $\int x e^x dx$.

💡 À retenir : Pour les polynômes multipliés par $e^x$, on dérive le polynôme jusqu'à ce qu'il disparaisse.

Est-ce que l'intégrale d'une fonction positive est toujours positive ?

Oui, si $f(x) \geq 0$ sur $[a, b]$ avec $a < b$ , alors $\int_a^b f(x) dx \geq 0$ .

💡 À retenir : L'intégrale représente l'aire sous la courbe, donc si la courbe est au-dessus de l'axe des abscisses, l'aire est positive.

Oui, si $f(x) \geq 0$ sur $[a, b]$ avec $a < b$, alors $\int_a^b f(x) dx \geq 0$.

💡 À retenir : L'intégrale représente l'aire sous la courbe, donc si la courbe est au-dessus de l'axe des abscisses, l'aire est positive.

Chno hiya l-qima l-motawassita ?

C'est la moyenne des valeurs prises par la fonction sur $[a, b]$ .
La formule est $\mu = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) dx$ .

💡 À retenir : Elle permet de trouver une valeur "moyenne" constante qui donnerait la même aire que la fonction sur l'intervalle.

C'est la moyenne des valeurs prises par la fonction sur $[a, b]$.
La formule est $\mu = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) dx$.

💡 À retenir : Elle permet de trouver une valeur "moyenne" constante qui donnerait la même aire que la fonction sur l'intervalle.

Pourquoi on ajoute toujours + C quand on cherche une primitive ?

Parce qu'il existe une infinité de primitives pour une fonction donnée.
La dérivée d'une constante est nulle, donc $(F(x) + C)' = F'(x) = f(x)$ .

💡 À retenir : La constante $C$ représente la famille de toutes les primitives possibles.

Parce qu'il existe une infinité de primitives pour une fonction donnée.
La dérivée d'une constante est nulle, donc $(F(x) + C)' = F'(x) = f(x)$.

💡 À retenir : La constante $C$ représente la famille de toutes les primitives possibles.

Kifach n7seb l-integral ila kan l-majale fih l-qima l-motlaqa |f(x)| ?

Étudie le signe de $f(x)$ dans l'intervalle.
Sépare l'intégrale en plusieurs morceaux selon le signe (Relation de Chasles).
Enlève la valeur absolue en changeant le signe si nécessaire.

💡 À retenir : $|f(x)| = f(x)$ si $f(x) \geq 0$ et $-f(x)$ si $f(x) < 0$ .

Étudie le signe de $f(x)$ dans l'intervalle.
Sépare l'intégrale en plusieurs morceaux selon le signe (Relation de Chasles).
Enlève la valeur absolue en changeant le signe si nécessaire.

💡 À retenir : $|f(x)| = f(x)$ si $f(x) \geq 0$ et $-f(x)$ si $f(x) < 0$.

Est-ce que inta^b f(x)g(x) dx = inta^b f(x) dx cdot inta^b g(x) dx ?

Non, c'est une erreur très grave. La multiplication ne respecte pas la linéarité de l'intégrale.

💡 À retenir : L'intégrale d'un produit n'est jamais le produit des intégrales.

Peut-on calculer l'intégrale d'une fonction non continue ?

Au programme du lycée, on travaille principalement sur des fonctions continues. Si la fonction a un nombre fini de points de discontinuité, on peut utiliser Chasles pour découper l'intégrale.

💡 À retenir : La continuité est la condition suffisante pour garantir l'existence d'une primitive.

Comment choisir u et v' dans l'IPP ?

Utilise l'ordre LIAPES :

L : Logarithme
I : Inverse trigonométrique
A : Algébrique (Polynôme)
P : Puissance
E : Exponentielle
S : Sinus/Cosinus

💡 À retenir : La fonction qui arrive en premier dans l'ordre est celle qu'on choisit pour $u$ .

Utilise l'ordre LIAPES :

L : Logarithme
I : Inverse trigonométrique
A : Algébrique (Polynôme)
P : Puissance
E : Exponentielle
S : Sinus/Cosinus

💡 À retenir : La fonction qui arrive en premier dans l'ordre est celle qu'on choisit pour $u$.

Est-ce que l'intégrale peut être négative ?

Oui, si la fonction est négative sur l'intervalle $[a, b]$ (avec $a < b$ ), alors l'intégrale sera négative.

💡 À retenir : L'intégrale est une "aire algébrique" : elle compte positivement les zones au-dessus de l'axe et négativement celles en dessous.

Oui, si la fonction est négative sur l'intervalle $[a, b]$ (avec $a < b$), alors l'intégrale sera négative.

💡 À retenir : L'intégrale est une "aire algébrique" : elle compte positivement les zones au-dessus de l'axe et négativement celles en dessous.

Est-ce que le changement de variable est obligatoire ?

Il n'est pas "obligatoire" si tu peux trouver la primitive directement, mais il est indispensable pour les intégrales complexes où aucune formule usuelle ne s'applique.

💡 À retenir : C'est l'outil le plus puissant pour simplifier une intégrale difficile.

Chno l-farq bin primitive o integral ?

La primitive est une fonction $F(x)$ .
L'intégrale est un nombre réel (le résultat du calcul entre deux bornes).

💡 À retenir : L'intégrale est le résultat de l'évaluation d'une primitive aux bornes.

La primitive est une fonction $F(x)$.
L'intégrale est un nombre réel (le résultat du calcul entre deux bornes).

💡 À retenir : L'intégrale est le résultat de l'évaluation d'une primitive aux bornes.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Calculer l'intégrale suivante : $I = \int_0^1 x e^{2x} dx$ .

Exercice 1

Calculer l'intégrale suivante : $I = \int_0^1 x e^{2x} dx$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Soit $f(x) = \frac{1}{x(1+\ln x)}$ . Calculer $J = \int_1^e f(x) dx$ .

Exercice 2

Soit $f(x) = \frac{1}{x(1+\ln x)}$. Calculer $J = \int_1^e f(x) dx$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Calculer $K = \int_0^{\pi/2} \sin^2(x) dx$ . (Indice : utiliser $\cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x)$ ).

Exercice 3

Calculer $K = \int_0^{\pi/2} \sin^2(x) dx$. (Indice : utiliser $\cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x)$).

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

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