Mathématiques · 2ème Année Bac — Sciences Mathématiques A

Équations différentielles

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Dans le programme de 2ème année Bac Sciences Mathématiques, nous étudions les équations différentielles linéaires du premier et du second ordre à coefficients constants.

Équation du premier ordre : $y' = ay + b$
- La solution générale est $y(x) = C e^{ax} - \frac{b}{a}$ (si $a \neq 0$ ).
- Si $a=0$ , $y' = b \implies y(x) = bx + C$ .
Équation du second ordre : $ay'' + by' + cy = 0$
- On résout l'équation caractéristique : $ar^2 + br + c = 0$ .
- Si $\Delta > 0$ (deux racines $r_1, r_2$ ) : $y(x) = \alpha e^{r_1 x} + \beta e^{r_2 x}$ .
- Si $\Delta = 0$ (racine double $r_0$ ) : $y(x) = (\alpha x + \beta) e^{r_0 x}$ .
- Si $\Delta < 0$ (racines complexes $p \pm iq$ ) : $y(x) = e^{px}(\alpha \cos(qx) + \beta \sin(qx))$ .

Méthodes à maîtriser

Identification : Reconnaître la forme de l'équation pour choisir la méthode.
Détermination des constantes : Utiliser les conditions initiales (ex: $y(x_0) = y_0$ et $y'(x_0) = y'_0$ ) pour trouver les valeurs de $\alpha$ et $\beta$ .
Réduction : Savoir transformer une équation donnée pour la ramener à une forme connue.

Exemples corrigés

Exemple 1 : $y' - 3y = 0$ . Ici $a=3, b=0$ . Solution : $y(x) = C e^{3x}$ .
Exemple 2 : $y'' - 3y' + 2y = 0$ . Équation caractéristique : $r^2 - 3r + 2 = 0$ . $\Delta = 1$ , racines $r_1=1, r_2=2$ . Solution : $y(x) = \alpha e^x + \beta e^{2x}$ .

Erreurs fréquentes

Oublier la constante $C$ ou les constantes $\alpha, \beta$ .
Se tromper dans le signe de $\Delta$ ou dans la formule de la solution complexe.
Confondre la solution de l'équation homogène avec une solution particulière (non exigée ici, mais attention à la structure).

L'essentiel du cours

Dans le programme de 2ème année Bac Sciences Mathématiques, nous étudions les équations différentielles linéaires du premier et du second ordre à coefficients constants.

Équation du premier ordre : $y' = ay + b$
- La solution générale est $y(x) = C e^{ax} - \frac{b}{a}$ (si $a \neq 0$).
- Si $a=0$, $y' = b \implies y(x) = bx + C$.
Équation du second ordre : $ay'' + by' + cy = 0$
- On résout l'équation caractéristique : $ar^2 + br + c = 0$.
- Si $\Delta > 0$ (deux racines $r_1, r_2$) : $y(x) = \alpha e^{r_1 x} + \beta e^{r_2 x}$.
- Si $\Delta = 0$ (racine double $r_0$) : $y(x) = (\alpha x + \beta) e^{r_0 x}$.
- Si $\Delta < 0$ (racines complexes $p \pm iq$) : $y(x) = e^{px}(\alpha \cos(qx) + \beta \sin(qx))$.

Méthodes à maîtriser

Identification : Reconnaître la forme de l'équation pour choisir la méthode.
Détermination des constantes : Utiliser les conditions initiales (ex: $y(x_0) = y_0$ et $y'(x_0) = y'_0$) pour trouver les valeurs de $\alpha$ et $\beta$.
Réduction : Savoir transformer une équation donnée pour la ramener à une forme connue.

Exemples corrigés

Exemple 1 : $y' - 3y = 0$. Ici $a=3, b=0$. Solution : $y(x) = C e^{3x}$.
Exemple 2 : $y'' - 3y' + 2y = 0$. Équation caractéristique : $r^2 - 3r + 2 = 0$. $\Delta = 1$, racines $r_1=1, r_2=2$. Solution : $y(x) = \alpha e^x + \beta e^{2x}$.

Erreurs fréquentes

Oublier la constante $C$ ou les constantes $\alpha, \beta$.
Se tromper dans le signe de $\Delta$ ou dans la formule de la solution complexe.
Confondre la solution de l'équation homogène avec une solution particulière (non exigée ici, mais attention à la structure).

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Équations différentielles

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Quelle est la solution de $y' = 2y$ ?

❓ Questions fréquentes

Est-ce que les coefficients a, b, c peuvent être des fonctions de x ?

Dans le programme de 2ème Bac SM, nous ne traitons que les équations à coefficients constants. Si les coefficients dépendent de $x$ , c'est hors programme.

💡 À retenir : $a, b, c \in \mathbb{R}$ .

Dans le programme de 2ème Bac SM, nous ne traitons que les équations à coefficients constants. Si les coefficients dépendent de $x$, c'est hors programme.

💡 À retenir : $a, b, c \in \mathbb{R}$.

Est-ce qu'on doit toujours trouver une solution unique ?

Non, l'équation différentielle possède une infinité de solutions. Ce sont les "conditions initiales" (ex: $y(0)=1$ ) qui permettent de fixer les constantes et d'obtenir une solution unique.

💡 À retenir : Sans conditions initiales, la solution générale contient toujours des constantes arbitraires.

Non, l'équation différentielle possède une infinité de solutions. Ce sont les "conditions initiales" (ex: $y(0)=1$) qui permettent de fixer les constantes et d'obtenir une solution unique.

💡 À retenir : Sans conditions initiales, la solution générale contient toujours des constantes arbitraires.

Kifach n7seb l'equation caractéristique ila kan y' makaynach?

Si le terme $y'$ est absent (ex: $y'' + 4y = 0$ ), le coefficient $b$ est nul. L'équation devient $ar^2 + c = 0$ . Tu résous comme une équation classique : $r^2 = -c/a$ .

💡 À retenir : Le coefficient de $r$ est toujours celui de $y'$ . S'il est absent, il vaut 0.

Si le terme $y'$ est absent (ex: $y'' + 4y = 0$), le coefficient $b$ est nul. L'équation devient $ar^2 + c = 0$. Tu résous comme une équation classique : $r^2 = -c/a$.

💡 À retenir : Le coefficient de $r$ est toujours celui de $y'$. S'il est absent, il vaut 0.

Est-ce que l'ordre de r1 et r2 dans y(x) = alpha e^{r1 x} + beta e^{r2 x} est important ?

Non, l'ordre n'a aucune importance car $\alpha$ et $\beta$ sont des constantes réelles quelconques. Que tu écrives $\alpha e^x + \beta e^{2x}$ ou $\beta e^{2x} + \alpha e^x$ , c'est la même chose.

💡 À retenir : Les constantes s'ajustent automatiquement selon les conditions initiales.

Non, l'ordre n'a aucune importance car $\alpha$ et $\beta$ sont des constantes réelles quelconques. Que tu écrives $\alpha e^x + \beta e^{2x}$ ou $\beta e^{2x} + \alpha e^x$, c'est la même chose.

💡 À retenir : Les constantes s'ajustent automatiquement selon les conditions initiales.

Wach darouri n7fozo les formules dyal Delta ?

Oui, absolument. Pour les équations du second ordre, tout dépend du signe de $\Delta = b^2 - 4ac$ . C'est la base pour savoir si la solution contient des exponentielles, des polynômes ou des fonctions trigonométriques.

💡 À retenir : $\Delta$ est la clé de voûte de la résolution des équations du second ordre.

Oui, absolument. Pour les équations du second ordre, tout dépend du signe de $\Delta = b^2 - 4ac$. C'est la base pour savoir si la solution contient des exponentielles, des polynômes ou des fonctions trigonométriques.

💡 À retenir : $\Delta$ est la clé de voûte de la résolution des équations du second ordre.

Comment savoir si je dois utiliser cos et sin ?

Tu les utilises uniquement quand $\Delta < 0$ . Dans ce cas, les racines sont complexes : $r = p \pm iq$ . La solution fait intervenir $e^{px}$ multiplié par une combinaison de $\cos(qx)$ et $\sin(qx)$ .

💡 À retenir : $\Delta < 0 \implies$ Oscillations (cos/sin).

Tu les utilises uniquement quand $\Delta < 0$. Dans ce cas, les racines sont complexes : $r = p \pm iq$. La solution fait intervenir $e^{px}$ multiplié par une combinaison de $\cos(qx)$ et $\sin(qx)$.

💡 À retenir : $\Delta < 0 \implies$ Oscillations (cos/sin).

Chno hiya l'etape li katji mor l'equation caractéristique ?

Après avoir trouvé les racines $r_1$ et $r_2$ , tu écris immédiatement la forme générale de la solution en remplaçant $r$ par les valeurs trouvées. Ensuite, tu utilises les conditions initiales pour trouver $\alpha$ et $\beta$ .

💡 À retenir : Équation $\to$ Racines $\to$ Forme générale $\to$ Conditions initiales.

Après avoir trouvé les racines $r_1$ et $r_2$, tu écris immédiatement la forme générale de la solution en remplaçant $r$ par les valeurs trouvées. Ensuite, tu utilises les conditions initiales pour trouver $\alpha$ et $\beta$.

💡 À retenir : Équation $\to$ Racines $\to$ Forme générale $\to$ Conditions initiales.

Est-ce que y'' = y est une équation différentielle ?

Oui, c'est une équation du second ordre. Tu l'écris sous la forme $y'' - y = 0$ . L'équation caractéristique est $r^2 - 1 = 0$ , donc $r = 1$ ou $r = -1$ .

💡 À retenir : Toujours ramener l'équation à la forme $ay'' + by' + cy = 0$ avant de commencer.

Oui, c'est une équation du second ordre. Tu l'écris sous la forme $y'' - y = 0$. L'équation caractéristique est $r^2 - 1 = 0$, donc $r = 1$ ou $r = -1$.

💡 À retenir : Toujours ramener l'équation à la forme $ay'' + by' + cy = 0$ avant de commencer.

Si Delta = 0, pourquoi on multiplie par x ?

C'est une règle mathématique pour obtenir deux solutions linéairement indépendantes. Sans le $x$ , on aurait deux fois la même solution, ce qui ne permettrait pas de couvrir toutes les solutions possibles.

💡 À retenir : Racine double $\implies (\alpha x + \beta)e^{r_0 x}$ .

C'est une règle mathématique pour obtenir deux solutions linéairement indépendantes. Sans le $x$, on aurait deux fois la même solution, ce qui ne permettrait pas de couvrir toutes les solutions possibles.

💡 À retenir : Racine double $\implies (\alpha x + \beta)e^{r_0 x}$.

Est-ce que y(x) = C e^{ax} est toujours la solution de y' = ay ?

Oui, c'est la solution fondamentale. Si tu as $y' = ay + b$ , la solution est $y(x) = C e^{ax} - b/a$ .

💡 À retenir : Ne pas oublier le terme constant $-b/a$ quand $b \neq 0$ .

Oui, c'est la solution fondamentale. Si tu as $y' = ay + b$, la solution est $y(x) = C e^{ax} - b/a$.

💡 À retenir : Ne pas oublier le terme constant $-b/a$ quand $b \neq 0$.

Wach momkin nakhdo y(0) o y'(0) f nafs lwa9t ?

Oui, c'est même très fréquent. On te donne souvent $y(0)$ et $y'(0)$ pour déterminer les deux constantes $\alpha$ et $\beta$ d'une équation du second ordre.

💡 À retenir : Deux constantes nécessitent deux conditions.

Oui, c'est même très fréquent. On te donne souvent $y(0)$ et $y'(0)$ pour déterminer les deux constantes $\alpha$ et $\beta$ d'une équation du second ordre.