Mathématiques · 2ème Année Bac — Sciences Mathématiques A

Fonctions logarithmiques

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Définition : La fonction logarithme népérien, notée $\ln$ , est la primitive de la fonction $x \mapsto \frac{1}{x}$ sur $]0, +\infty[$ qui s'annule en $1$ .
Propriétés algébriques : Pour tous $a, b \in ]0, +\infty[$ et $r \in \mathbb{Q}$ : $\ln(ab) = \ln a + \ln b$ ; $\ln(\frac{a}{b}) = \ln a - \ln b$ ; $\ln(a^r) = r \ln a$ ; $\ln(\sqrt{a}) = \frac{1}{2} \ln a$ .
Limites usuelles : $\lim_{x \to 0^+} \ln x = -\infty$ ; $\lim_{x \to +\infty} \ln x = +\infty$ ; $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x^n} = 0$ ( $n \in \mathbb{N}^*$ ) ; $\lim_{x \to 0^+} x^n \ln x = 0$ ; $\lim_{x \to 1} \frac{\ln x}{x-1} = 1$ .
Dérivée : $(\ln(u(x)))' = \frac{u'(x)}{u(x)}$ pour $u(x) > 0$ .

Méthodes à maîtriser

Résolution d'équations/inéquations : Toujours commencer par déterminer le domaine de définition (condition $u(x) > 0$ ).
Étude de fonctions : Utiliser la dérivée pour dresser le tableau de variations. Attention au signe de $\ln x$ .
Calcul de limites : Utiliser les croissances comparées pour lever les indéterminations du type $\infty \cdot 0$ ou $\frac{\infty}{\infty}$ .

Exemples corrigés

Résoudre $\ln(x^2 - 3) = \ln(2x)$ :
1. Domaine : $x^2-3 > 0$ et $2x > 0 \implies x \in ]\sqrt{3}, +\infty[$ .
2. $x^2 - 3 = 2x \iff x^2 - 2x - 3 = 0$ . Solutions : $x=3$ ou $x=-1$ .
3. Seul $3 \in ]\sqrt{3}, +\infty[$ . Donc $S = \{3\}$ .

Erreurs fréquentes

Confondre $\ln(a+b)$ avec $\ln a + \ln b$ (C'est faux !).
Oublier de préciser le domaine de définition avant de résoudre une équation.
Se tromper dans le signe de la dérivée de $\ln(u(x))$ si $u(x)$ est décroissante.

L'essentiel du cours

Définition : La fonction logarithme népérien, notée $\ln$, est la primitive de la fonction $x \mapsto \frac{1}{x}$ sur $]0, +\infty[$ qui s'annule en $1$.
Propriétés algébriques : Pour tous $a, b \in ]0, +\infty[$ et $r \in \mathbb{Q}$ : $\ln(ab) = \ln a + \ln b$ ; $\ln(\frac{a}{b}) = \ln a - \ln b$ ; $\ln(a^r) = r \ln a$ ; $\ln(\sqrt{a}) = \frac{1}{2} \ln a$.
Limites usuelles : $\lim_{x \to 0^+} \ln x = -\infty$ ; $\lim_{x \to +\infty} \ln x = +\infty$ ; $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x^n} = 0$ ($n \in \mathbb{N}^*$) ; $\lim_{x \to 0^+} x^n \ln x = 0$ ; $\lim_{x \to 1} \frac{\ln x}{x-1} = 1$.
Dérivée : $(\ln(u(x)))' = \frac{u'(x)}{u(x)}$ pour $u(x) > 0$.

Méthodes à maîtriser

Résolution d'équations/inéquations : Toujours commencer par déterminer le domaine de définition (condition $u(x) > 0$).
Étude de fonctions : Utiliser la dérivée pour dresser le tableau de variations. Attention au signe de $\ln x$.
Calcul de limites : Utiliser les croissances comparées pour lever les indéterminations du type $\infty \cdot 0$ ou $\frac{\infty}{\infty}$.

Exemples corrigés

Résoudre $\ln(x^2 - 3) = \ln(2x)$ :
1. Domaine : $x^2-3 > 0$ et $2x > 0 \implies x \in ]\sqrt{3}, +\infty[$.
2. $x^2 - 3 = 2x \iff x^2 - 2x - 3 = 0$. Solutions : $x=3$ ou $x=-1$.
3. Seul $3 \in ]\sqrt{3}, +\infty[$. Donc $S = {3}$.

Erreurs fréquentes

Confondre $\ln(a+b)$ avec $\ln a + \ln b$ (C'est faux !).
Oublier de préciser le domaine de définition avant de résoudre une équation.
Se tromper dans le signe de la dérivée de $\ln(u(x))$ si $u(x)$ est décroissante.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Fonctions logarithmiques

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Quelle est la dérivée de $f(x) = \ln(x^2)$ ?

❓ Questions fréquentes

Est-ce que ln(x^2) est toujours égal à 2ln(x) ?

Non, ce n'est pas toujours vrai.

$\ln(x^2)$ est défini si $x^2 > 0$ , donc pour tout $x \in \mathbb{R}^*$ .
$2\ln(x)$ est défini seulement si $x > 0$ .
Pour $x < 0$ , $\ln(x^2) = 2\ln|x|$ .

💡 À retenir : $\ln(x^2) = 2\ln|x|$ pour tout $x \neq 0$ .

Non, ce n'est pas toujours vrai.

$\ln(x^2)$ est défini si $x^2 > 0$, donc pour tout $x \in \mathbb{R}^*$.
$2\ln(x)$ est défini seulement si $x > 0$.
Pour $x < 0$, $\ln(x^2) = 2\ln|x|$.

💡 À retenir : $\ln(x^2) = 2\ln|x|$ pour tout $x \neq 0$.

Kifach n7seb domaine de définition dyal ln(x^2 - 5x + 6) ?

Pour calculer le domaine de définition d'une fonction logarithme, il faut que l'expression à l'intérieur soit strictement positive.

On résout l'inéquation $x^2 - 5x + 6 > 0$ .
Les racines du trinôme sont $2$ et $3$ .
Le signe est positif à l'extérieur des racines : $x \in ]-\infty, 2[ \cup ]3, +\infty[$ .

💡 À retenir : $D_f = \{x \in \mathbb{R} / u(x) > 0\}$ .

Pour calculer le domaine de définition d'une fonction logarithme, il faut que l'expression à l'intérieur soit strictement positive.

On résout l'inéquation $x^2 - 5x + 6 > 0$.
Les racines du trinôme sont $2$ et $3$.
Le signe est positif à l'extérieur des racines : $x \in ]-\infty, 2[ \cup ]3, +\infty[$.

💡 À retenir : $D_f = {x \in \mathbb{R} / u(x) > 0}$.

Est-ce que ln(x) peut être négatif ?

Oui, tout à fait.

$\ln(1) = 0$ .
Si $0 < x < 1$ , alors $\ln(x) < 0$ .
Par exemple, $\ln(0,5) \approx -0,69$ .

💡 À retenir : La fonction $\ln$ est négative sur $]0, 1[$ .

Oui, tout à fait.

$\ln(1) = 0$.
Si $0 < x < 1$, alors $\ln(x) < 0$.
Par exemple, $\ln(0,5) \approx -0,69$.

💡 À retenir : La fonction $\ln$ est négative sur $]0, 1[$.

Chno hiya l'astuce bach n7seb lim{x to 0^+} x ln(x) ?

C'est une limite usuelle de croissance comparée.

On ne peut pas calculer directement car c'est une forme indéterminée $0 \times (-\infty)$ .
Le cours stipule que $\lim_{x \to 0^+} x^n \ln(x) = 0$ pour tout $n > 0$ .
Ici $n=1$ , donc la limite est $0$ .

💡 À retenir : La puissance de $x$ "l'emporte" toujours sur le logarithme au voisinage de $0$ .

C'est une limite usuelle de croissance comparée.

On ne peut pas calculer directement car c'est une forme indéterminée $0 \times (-\infty)$.
Le cours stipule que $\lim_{x \to 0^+} x^n \ln(x) = 0$ pour tout $n > 0$.
Ici $n=1$, donc la limite est $0$.

💡 À retenir : La puissance de $x$ "l'emporte" toujours sur le logarithme au voisinage de $0$.

Comment dériver ln(sin x) ?

On utilise la formule $(\ln(u))' = \frac{u'}{u}$ .

Ici $u(x) = \sin x$ , donc $u'(x) = \cos x$ .
La dérivée est $\frac{\cos x}{\sin x}$ .
Cela donne $\cot(x)$ .

💡 À retenir : Toujours vérifier que $u(x) > 0$ sur l'intervalle donné.

On utilise la formule $(\ln(u))' = \frac{u'}{u}$.

Ici $u(x) = \sin x$, donc $u'(x) = \cos x$.
La dérivée est $\frac{\cos x}{\sin x}$.
Cela donne $\cot(x)$.

💡 À retenir : Toujours vérifier que $u(x) > 0$ sur l'intervalle donné.

Kifach n7seb ln(e^5) ?

C'est très simple grâce aux propriétés de la fonction logarithme.

$\ln(a^r) = r \ln(a)$ .
Donc $\ln(e^5) = 5 \ln(e)$ .
Comme $\ln(e) = 1$ , le résultat est $5$ .

💡 À retenir : $\ln(e^x) = x$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ .

C'est très simple grâce aux propriétés de la fonction logarithme.

$\ln(a^r) = r \ln(a)$.
Donc $\ln(e^5) = 5 \ln(e)$.
Comme $\ln(e) = 1$, le résultat est $5$.

💡 À retenir : $\ln(e^x) = x$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.

Pourquoi ln(0) n'existe pas ?

La fonction logarithme est définie sur $]0, +\infty[$ .

Si on regarde la limite $\lim_{x \to 0^+} \ln(x)$ , elle vaut $-\infty$ .
La courbe admet une asymptote verticale d'équation $x=0$ .
La fonction n'est pas définie en $0$ .

💡 À retenir : $0$ est une valeur interdite pour la fonction $\ln$ .

La fonction logarithme est définie sur $]0, +\infty[$.

Si on regarde la limite $\lim_{x \to 0^+} \ln(x)$, elle vaut $-\infty$.
La courbe admet une asymptote verticale d'équation $x=0$.
La fonction n'est pas définie en $0$.

💡 À retenir : $0$ est une valeur interdite pour la fonction $\ln$.

Est-ce que la fonction ln est toujours croissante ?

Oui, sur son domaine de définition $]0, +\infty[$ .

Sa dérivée est $f'(x) = \frac{1}{x}$ .
Pour tout $x > 0$ , $\frac{1}{x} > 0$ .
Une fonction dont la dérivée est strictement positive est strictement croissante.

💡 À retenir : $\ln$ est strictement croissante sur $]0, +\infty[$ .

Oui, sur son domaine de définition $]0, +\infty[$.

Sa dérivée est $f'(x) = \frac{1}{x}$.
Pour tout $x > 0$, $\frac{1}{x} > 0$.
Une fonction dont la dérivée est strictement positive est strictement croissante.

💡 À retenir : $\ln$ est strictement croissante sur $]0, +\infty[$.

Comment simplifier ln(frac{1}{x}) ?

On utilise la propriété $\ln(\frac{a}{b}) = \ln(a) - \ln(b)$ .
$\ln(\frac{1}{x}) = \ln(1) - \ln(x)$ .
Comme $\ln(1) = 0$ , on obtient $-\ln(x)$ .

💡 À retenir : $\ln(\frac{1}{x}) = -\ln(x)$ .

On utilise la propriété $\ln(\frac{a}{b}) = \ln(a) - \ln(b)$.
$\ln(\frac{1}{x}) = \ln(1) - \ln(x)$.
Comme $\ln(1) = 0$, on obtient $-\ln(x)$.

💡 À retenir : $\ln(\frac{1}{x}) = -\ln(x)$.

Est-ce que ln(x^3) = (ln x)^3 ?

Non, c'est une erreur classique.

$\ln(x^3) = 3 \ln(x)$ .
$(\ln x)^3$ signifie $(\ln x) \times (\ln x) \times (\ln x)$ .
Ces deux expressions sont totalement différentes.

💡 À retenir : Ne pas confondre la puissance de l'argument et la puissance de la fonction.

Non, c'est une erreur classique.

$\ln(x^3) = 3 \ln(x)$.
$(\ln x)^3$ signifie $(\ln x) \times (\ln x) \times (\ln x)$.
Ces deux expressions sont totalement différentes.

💡 À retenir : Ne pas confondre la puissance de l'argument et la puissance de la fonction.

Comment étudier le signe de ln(x) - 1 ?

On résout $\ln(x) - 1 = 0 \iff \ln(x) = 1 \iff x = e$ .
Comme $\ln$ est croissante, si $x > e$ , alors $\ln(x) > 1$ (donc positif).
Si $x < e$ (et $x>0$ ), alors $\ln(x) < 1$ (donc négatif).

💡 À retenir : Utiliser la croissance de $\ln$ pour comparer.

On résout $\ln(x) - 1 = 0 \iff \ln(x) = 1 \iff x = e$.
Comme $\ln$ est croissante, si $x > e$, alors $\ln(x) > 1$ (donc positif).
Si $x < e$ (et $x>0$), alors $\ln(x) < 1$ (donc négatif).

💡 À retenir : Utiliser la croissance de $\ln$ pour comparer.

Est-ce que je peux utiliser la règle de L'Hôpital pour les limites ?

Au Maroc, dans le programme officiel, la règle de L'Hôpital n'est pas au programme.

Tu dois utiliser les limites usuelles ou les croissances comparées.
Si tu l'utilises, tu risques de ne pas avoir tous les points.
Apprends à transformer tes expressions pour faire apparaître les limites du cours.