Probabilités

Non, seulement si $A$ et $B$ sont incompatibles ($A \cap B = \emptyset$). Sinon, il faut utiliser la formule générale : $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.

💡 À retenir : N'oublie jamais de soustraire l'intersection pour éviter de compter deux fois les éléments communs.

1. La probabilité conditionnelle $P(A|B)$ mesure la probabilité de $A$ sachant que $B$ est déjà réalisé.
2. L'indépendance signifie que la réalisation de $B$ ne modifie pas la probabilité de $A$.
3. Mathématiquement, si $P(B) > 0$, $A$ et $B$ sont indépendants si $P(A|B) = P(A)$.

💡 À retenir : L'indépendance est un cas particulier où l'information sur $B$ est inutile pour prédire $A$.

1. Si le tirage est simultané ou "sans remise et sans ordre", utilise les combinaisons $C_n^k$.
2. Si le tirage est successif avec remise, utilise $n^k$.
3. Si le tirage est successif sans remise et que l'ordre compte, utilise les arrangements $A_n^k$.

💡 À retenir : Pose-toi toujours la question : "Est-ce que l'ordre des boules change le résultat ?" Si oui, $A_n^k$ ou $n^k$. Si non, $C_n^k$.

Oui, absolument. Si $(A_1, A_2, ..., A_n)$ est un système complet d'événements, alors pour tout événement $B$ de probabilité non nulle : $P(A_i|B) = \frac{P(B|A_i)P(A_i)}{\sum_{j=1}^n P(B|A_j)P(A_j)}$.

💡 À retenir : La formule de Bayes permet de "renverser" le conditionnement en utilisant les probabilités totales au dénominateur.

1. C'est un ensemble d'événements qui couvre tout l'univers sans se chevaucher.
2. Il est indispensable pour appliquer la formule des probabilités totales.
3. Il permet de découper un problème complexe en plusieurs cas simples et disjoints.

💡 À retenir : Sans système complet, tu ne peux pas sommer les probabilités pour trouver la probabilité totale d'un événement.

1. Ne calcule jamais directement "au moins une" si tu peux faire le contraire.
2. L'événement contraire de "au moins une blanche" est "aucune boule blanche" (donc toutes les boules sont d'une autre couleur).
3. Calcule $1 - P(\text{aucune blanche})$.

💡 À retenir : L'expression "au moins un" est un signal fort pour utiliser l'événement contraire.

1. Si l'énoncé précise que les événements sont indépendants, tu n'as pas besoin de chercher une formule complexe.
2. Utilise simplement la définition : $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$.
3. Multiplie les probabilités individuelles.

💡 À retenir : L'indépendance est une propriété très forte qui simplifie énormément le calcul de l'intersection.

Oui, par définition. Comme les événements $A_i$ sont disjoints et que leur réunion est l'univers $\Omega$, alors $P(\bigcup A_i) = \sum P(A_i) = P(\Omega) = 1$.

💡 À retenir : Si la somme de tes probabilités dans un système complet n'est pas 1, tu as fait une erreur de calcul ou de définition.

1. Soit l'énoncé le donne explicitement.
2. Soit tu dois calculer $P(A)$, $P(B)$ et $P(A \cap B)$ séparément.
3. Tu vérifies si $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$. Si l'égalité est vraie, ils sont indépendants.

💡 À retenir : Ne jamais supposer l'indépendance sans vérification ou sans preuve textuelle.

Oui. Comme on remet la boule, la composition de l'urne reste identique pour le tirage suivant. L'expérience est donc identique à chaque étape, ce qui garantit l'indépendance des résultats.

💡 À retenir : "Avec remise" = Indépendance. "Sans remise" = Dépendance.

Non, en général c'est faux. Par exemple, la probabilité d'avoir le bac sachant qu'on est en terminale est très différente de la probabilité d'être en terminale sachant qu'on a le bac.

💡 À retenir : L'ordre du conditionnement est crucial. $P(A|B)$ est la probabilité de $A$ sachant $B$.

1. Si l'expérience se déroule en plusieurs étapes chronologiques.
2. Si tu as des probabilités conditionnelles données ou à chercher.
3. Si le nombre de branches reste raisonnable pour ne pas alourdir le schéma.

💡 À retenir : L'arbre est une représentation visuelle qui évite les erreurs de logique dans les probabilités composées.