Logique et Raisonnement · Prépa concours post-bac — ENSA & ENSAM

Ensembles et applications : inclusion, intersection, union, complémentaire

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Appartenance et Inclusion : $x \in A$ signifie que $x$ est un élément de $A$ . $A \subset B \iff (\forall x, x \in A \implies x \in B)$ .
Opérations de base :
- Intersection : $A \cap B = \{x / x \in A \text{ et } x \in B\}$ .
- Union : $A \cup B = \{x / x \in A \text{ ou } x \in B\}$ .
- Complémentaire (dans $E$ ) : $C_E^A = \{x \in E / x \notin A\}$ .
- Différence : $A \setminus B = A \cap C_E^B$ .
Lois de Morgan : $C_E(A \cup B) = C_E^A \cap C_E^B$ et $C_E(A \cap B) = C_E^A \cup C_E^B$ .

Méthodes à maîtriser

Démontrer $A = B$ : Montrer la double inclusion $A \subset B$ et $B \subset A$ .
Démontrer $A \subset B$ : Prendre un élément arbitraire $x \in A$ et montrer qu'il appartient à $B$ .
Utiliser les diagrammes de Venn : Très utile pour visualiser les opérations sur les ensembles avant de rédiger formellement.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Montrer que $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$ $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$ .
- Soit $x \in A \cap (B \cup C) \iff x \in A \text{ et } (x \in B \text{ ou } x \in C) \iff (x \in A \text{ et } x \in B) \text{ ou } (x \in A \text{ et } x \in C) \iff x \in (A \cap B) \cup (A \cap C)$ .
Exemple 2 : Montrer que $A \subset B \iff A \cap B = A$ $A \subset B ⟺ A \cap B = A$ .
- Si $A \subset B$ , alors pour tout $x \in A$ , $x \in B$ , donc $x \in A \cap B$ , d'où $A \subset A \cap B$ . Comme $A \cap B \subset A$ est toujours vrai, $A = A \cap B$ .

Erreurs fréquentes

Confondre $\in$ (élément) et $\subset$ (ensemble).
Oublier que $A \subset B$ n'implique pas $A \neq B$ (l'inclusion est large).
Mal appliquer les lois de Morgan en oubliant d'inverser le symbole ( $\cup$ devient $\cap$ ).

L'essentiel du cours

Appartenance et Inclusion : $x \in A$ signifie que $x$ est un élément de $A$. $A \subset B \iff (\forall x, x \in A \implies x \in B)$.
Opérations de base :
- Intersection : $A \cap B = {x / x \in A \text{ et } x \in B}$.
- Union : $A \cup B = {x / x \in A \text{ ou } x \in B}$.
- Complémentaire (dans $E$) : $C_E^A = {x \in E / x \notin A}$.
- Différence : $A \setminus B = A \cap C_E^B$.
Lois de Morgan : $C_E(A \cup B) = C_E^A \cap C_E^B$ et $C_E(A \cap B) = C_E^A \cup C_E^B$.

Méthodes à maîtriser

Démontrer $A = B$ : Montrer la double inclusion $A \subset B$ et $B \subset A$.
Démontrer $A \subset B$ : Prendre un élément arbitraire $x \in A$ et montrer qu'il appartient à $B$.
Utiliser les diagrammes de Venn : Très utile pour visualiser les opérations sur les ensembles avant de rédiger formellement.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Montrer que $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$.
- Soit $x \in A \cap (B \cup C) \iff x \in A \text{ et } (x \in B \text{ ou } x \in C) \iff (x \in A \text{ et } x \in B) \text{ ou } (x \in A \text{ et } x \in C) \iff x \in (A \cap B) \cup (A \cap C)$.
Exemple 2 : Montrer que $A \subset B \iff A \cap B = A$.
- Si $A \subset B$, alors pour tout $x \in A$, $x \in B$, donc $x \in A \cap B$, d'où $A \subset A \cap B$. Comme $A \cap B \subset A$ est toujours vrai, $A = A \cap B$.

Erreurs fréquentes

Confondre $\in$ (élément) et $\subset$ (ensemble).
Oublier que $A \subset B$ n'implique pas $A \neq B$ (l'inclusion est large).
Mal appliquer les lois de Morgan en oubliant d'inverser le symbole ($\cup$ devient $\cap$).

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Défi flash : 4 questions

Sans compte

🎯 Ensembles et applications : inclusion, intersection, union, complémentaire

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Quel est l'ensemble des parties de $\{1\}$ ?

Quel est l'ensemble des parties de ${1}$ ?

❓ Questions fréquentes

Est-ce que A subset B implique CE^B subset CE^A ?

Oui, c'est vrai. Si tout élément de $A$ est dans $B$ , alors tout élément qui n'est pas dans $B$ ne peut pas être dans $A$ .

💡 À retenir : L'inclusion est inversée par le passage au complémentaire.

Oui, c'est vrai. Si tout élément de $A$ est dans $B$, alors tout élément qui n'est pas dans $B$ ne peut pas être dans $A$.

💡 À retenir : L'inclusion est inversée par le passage au complémentaire.

Est-ce que A cup B = A iff B subset A ?

Oui, c'est une propriété fondamentale. Si l'union de deux ensembles est égale à l'un d'eux, cela signifie que l'autre est déjà "à l'intérieur".

💡 À retenir : $B \subset A \iff A \cup B = A$ .

Oui, c'est une propriété fondamentale. Si l'union de deux ensembles est égale à l'un d'eux, cela signifie que l'autre est déjà "à l'intérieur".

💡 À retenir : $B \subset A \iff A \cup B = A$.

Comment montrer que deux ensembles sont égaux ?

Pour montrer que $A = B$ , la méthode standard est la double inclusion :

Montrer que $A \subset B$ : Soit $x \in A$ , montrer par des équivalences ou implications que $x \in B$ .
Montrer que $B \subset A$ : Soit $x \in B$ , montrer que $x \in A$ .

💡 À retenir : L'égalité est la réunion de deux inclusions.

Pour montrer que $A = B$, la méthode standard est la double inclusion :

Montrer que $A \subset B$ : Soit $x \in A$, montrer par des équivalences ou implications que $x \in B$.
Montrer que $B \subset A$ : Soit $x \in B$, montrer que $x \in A$.

💡 À retenir : L'égalité est la réunion de deux inclusions.

Kifach n7seb l-complementaire dyal wahed l-majmo3a?

Bach t7seb l-complementaire dyal $A$ f $E$ (li kanketbou $C_E^A$ ):

Khoud wahed l-3onsor $x$ men $E$ .
Chouf chno l-charte li khass ykon f $x$ bach ykon f $A$ .
L-complementaire houwa ga3 l-3anasir li f $E$ o ma kay7eqqouch had l-charte.

💡 À retenir : $C_E^A = \{x \in E / x \notin A\}$ .

Bach t7seb l-complementaire dyal $A$ f $E$ (li kanketbou $C_E^A$):

Khoud wahed l-3onsor $x$ men $E$.
Chouf chno l-charte li khass ykon f $x$ bach ykon f $A$.
L-complementaire houwa ga3 l-3anasir li f $E$ o ma kay7eqqouch had l-charte.

💡 À retenir : $C_E^A = {x \in E / x \notin A}$.

Est-ce que emptyset est inclus dans tous les ensembles ?

Oui, par définition, l'ensemble vide est inclus dans n'importe quel ensemble $A$ . La proposition $\forall x, (x \in \emptyset \implies x \in A)$ est toujours vraie car l'antécédent ( $x \in \emptyset$ ) est toujours faux.

💡 À retenir : $\emptyset \subset A$ est toujours vrai pour tout ensemble $A$ .

Oui, par définition, l'ensemble vide est inclus dans n'importe quel ensemble $A$. La proposition $\forall x, (x \in \emptyset \implies x \in A)$ est toujours vraie car l'antécédent ($x \in \emptyset$) est toujours faux.

💡 À retenir : $\emptyset \subset A$ est toujours vrai pour tout ensemble $A$.

Chno l-farq bin l-union o l-intersection?

L-union ( $A \cup B$ ) : katakhoud ga3 l-3anasir li kaynin f $A$ awla f $B$ (awla hna hiya "ou" inclusif).
L-intersection ( $A \cap B$ ) : katakhoud ghir l-3anasir li kaynin f $A$ o f $B$ f nafs l-waqt.

💡 À retenir : Union = "ou", Intersection = "et".

L-union ($A \cup B$) : katakhoud ga3 l-3anasir li kaynin f $A$ awla f $B$ (awla hna hiya "ou" inclusif).
L-intersection ($A \cap B$) : katakhoud ghir l-3anasir li kaynin f $A$ o f $B$ f nafs l-waqt.

💡 À retenir : Union = "ou", Intersection = "et".

Est-ce que A setminus B = B setminus A ?

Non, en général $A \setminus B \neq B \setminus A$ .

$A \setminus B$ contient les éléments de $A$ qui ne sont pas dans $B$ .
$B \setminus A$ contient les éléments de $B$ qui ne sont pas dans $A$ .

💡 À retenir : La différence n'est pas commutative.

Non, en général $A \setminus B \neq B \setminus A$.

$A \setminus B$ contient les éléments de $A$ qui ne sont pas dans $B$.
$B \setminus A$ contient les éléments de $B$ qui ne sont pas dans $A$.

💡 À retenir : La différence n'est pas commutative.

Kifach n3ref wach A subset B awla la?

Bach t3ref wach $A \subset B$ :

Khoud $x$ arbitrary men $A$ .
Chouf wach had $x$ darouri ykon f $B$ .
Ila lqiti ghir 3onsor wahed f $A$ o ma kaynch f $B$ , rah $A \not\subset B$ .

💡 À retenir : Il suffit d'un contre-exemple pour infirmer une inclusion.

Bach t3ref wach $A \subset B$ :

Khoud $x$ arbitrary men $A$.
Chouf wach had $x$ darouri ykon f $B$.
Ila lqiti ghir 3onsor wahed f $A$ o ma kaynch f $B$, rah $A \not\subset B$.

💡 À retenir : Il suffit d'un contre-exemple pour infirmer une inclusion.

Qu'est-ce que l'ensemble des parties mathcal{P}(E) ?

$\mathcal{P}(E)$ est l'ensemble qui contient tous les sous-ensembles possibles de $E$ .

Si $E = \{1, 2\}$ , alors $\mathcal{P}(E) = \{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{1, 2\}\}$ .
Si $E$ a $n$ éléments, $\mathcal{P}(E)$ a $2^n$ éléments.

💡 À retenir : $\mathcal{P}(E)$ est l'ensemble des parties de $E$ .

$\mathcal{P}(E)$ est l'ensemble qui contient tous les sous-ensembles possibles de $E$.

Si $E = {1, 2}$, alors $\mathcal{P}(E) = {\emptyset, {1}, {2}, {1, 2}}$.
Si $E$ a $n$ éléments, $\mathcal{P}(E)$ a $2^n$ éléments.

💡 À retenir : $\mathcal{P}(E)$ est l'ensemble des parties de $E$.

Est-ce que A cap (B cup C) = (A cap B) cup C ?

Non, c'est une erreur classique. La distributivité impose : $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$ .

💡 À retenir : L'intersection est distributive par rapport à l'union.

Non, c'est une erreur classique. La distributivité impose : $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$.

💡 À retenir : L'intersection est distributive par rapport à l'union.

Comment montrer que A cap B = emptyset ?

Pour montrer que deux ensembles sont disjoints :

On suppose qu'il existe un élément $x$ tel que $x \in A \cap B$ .
On montre que cela mène à une contradiction (par exemple $x \neq x$ ou une condition impossible).

💡 À retenir : Raisonnement par l'absurde pour prouver l'intersection vide.

Pour montrer que deux ensembles sont disjoints :

On suppose qu'il existe un élément $x$ tel que $x \in A \cap B$.
On montre que cela mène à une contradiction (par exemple $x \neq x$ ou une condition impossible).

💡 À retenir : Raisonnement par l'absurde pour prouver l'intersection vide.

Chno hiya l-qawa3id dyal Morgan?

Homa qawa3id bach n-negatiw l-union o l-intersection :

$C_E(A \cup B) = C_E^A \cap C_E^B$ .
$C_E(A \cap B) = C_E^A \cup C_E^B$ .

💡 À retenir : L'union devient intersection et vice-versa lors du passage au complémentaire.

Homa qawa3id bach n-negatiw l-union o l-intersection :

$C_E(A \cup B) = C_E^A \cap C_E^B$.
$C_E(A \cap B) = C_E^A \cup C_E^B$.

💡 À retenir : L'union devient intersection et vice-versa lors du passage au complémentaire.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soient $A$ et $B$ deux parties d'un ensemble $E$ . Montrer que : $A \Delta B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A) = (A \cup B) \setminus (A \cap B)$ .

Exercice 1

Soient $A$ et $B$ deux parties d'un ensemble $E$. Montrer que : $A \Delta B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A) = (A \cup B) \setminus (A \cap B)$.

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Exercice 2

Soient $A, B, C$ des parties de $E$ . Montrer que $A \cap B = A \cap C$ et $A \cup B = A \cup C$ implique $B = C$ .

Exercice 2

Soient $A, B, C$ des parties de $E$. Montrer que $A \cap B = A \cap C$ et $A \cup B = A \cup C$ implique $B = C$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Soit $E$ un ensemble. Démontrer que pour toutes parties $A, B$ de $E$ , on a $A \subset B \iff C_E^B \subset C_E^A$ .

Exercice 3

Soit $E$ un ensemble. Démontrer que pour toutes parties $A, B$ de $E$, on a $A \subset B \iff C_E^B \subset C_E^A$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

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