Logique et Raisonnement · Prépa concours post-bac — ENSA & ENSAM

Applications : injectivité, surjectivité, bijectivité

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Soit $f: E \to F$ une application.

Injectivité : $f$ est injective si $\forall x, y \in E, f(x) = f(y) \implies x = y$ . (Ou par contraposée : $x \neq y \implies f(x) \neq f(y)$ ).
Surjectivité : $f$ est surjective si $\forall y \in F, \exists x \in E, f(x) = y$ .
Bijectivité : $f$ est bijective si elle est à la fois injective et surjective.
Composée : Si $f: E \to F$ et $g: F \to G$ , alors $g \circ f: E \to G$ .
Réciproque : Si $f$ est bijective, il existe $f^{-1}: F \to E$ telle que $f^{-1} \circ f = Id_E$ et $f \circ f^{-1} = Id_F$ .

Méthodes à maîtriser

Pour l'injectivité : On suppose $f(x) = f(y)$ et on cherche à montrer $x = y$ .
Pour la surjectivité : On prend un $y$ quelconque dans $F$ , et on résout l'équation $f(x) = y$ d'inconnue $x \in E$ . Si on trouve au moins une solution, c'est surjectif.
Pour la bijectivité : On montre l'injectivité et la surjectivité, ou on montre qu'il existe une application réciproque.

Exemples corrigés

$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, x \mapsto 2x+1$ $f : R \to R, x \mapsto 2 x + 1$ .
- Injectivité : $2x+1 = 2y+1 \implies 2x = 2y \implies x = y$ . (Injectif).
- Surjectivité : $2x+1 = y \implies x = (y-1)/2$ . Comme $(y-1)/2 \in \mathbb{R}$ , c'est surjectif.
- Conclusion : $f$ est bijective.

Erreurs fréquentes

Confondre l'ensemble de départ et d'arrivée.
Oublier de vérifier si l'antécédent trouvé appartient bien à l'ensemble de départ.
Penser qu'une fonction est injective juste parce qu'elle est strictement monotone (il faut aussi préciser les ensembles).

L'essentiel du cours

Soit $f: E \to F$ une application.

Injectivité : $f$ est injective si $\forall x, y \in E, f(x) = f(y) \implies x = y$. (Ou par contraposée : $x \neq y \implies f(x) \neq f(y)$).
Surjectivité : $f$ est surjective si $\forall y \in F, \exists x \in E, f(x) = y$.
Bijectivité : $f$ est bijective si elle est à la fois injective et surjective.
Composée : Si $f: E \to F$ et $g: F \to G$, alors $g \circ f: E \to G$.
Réciproque : Si $f$ est bijective, il existe $f^{-1}: F \to E$ telle que $f^{-1} \circ f = Id_E$ et $f \circ f^{-1} = Id_F$.

Méthodes à maîtriser

Pour l'injectivité : On suppose $f(x) = f(y)$ et on cherche à montrer $x = y$.
Pour la surjectivité : On prend un $y$ quelconque dans $F$, et on résout l'équation $f(x) = y$ d'inconnue $x \in E$. Si on trouve au moins une solution, c'est surjectif.
Pour la bijectivité : On montre l'injectivité et la surjectivité, ou on montre qu'il existe une application réciproque.

Exemples corrigés

$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, x \mapsto 2x+1$.
- Injectivité : $2x+1 = 2y+1 \implies 2x = 2y \implies x = y$. (Injectif).
- Surjectivité : $2x+1 = y \implies x = (y-1)/2$. Comme $(y-1)/2 \in \mathbb{R}$, c'est surjectif.
- Conclusion : $f$ est bijective.

Erreurs fréquentes

Confondre l'ensemble de départ et d'arrivée.
Oublier de vérifier si l'antécédent trouvé appartient bien à l'ensemble de départ.
Penser qu'une fonction est injective juste parce qu'elle est strictement monotone (il faut aussi préciser les ensembles).

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🎯 Applications : injectivité, surjectivité, bijectivité

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Soit $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ une fonction injective. Laquelle de ces affirmations est vraie ?

❓ Questions fréquentes

Est-ce qu'une fonction injective est toujours surjective ?

Non, pas forcément. L'injectivité signifie qu'il n'y a pas deux éléments qui ont la même image, mais il peut rester des éléments dans l'ensemble d'arrivée qui n'ont aucun antécédent. Exemple : $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, x \mapsto e^x$ . Elle est injective mais pas surjective car $e^x$ ne peut jamais être négatif.

💡 À retenir : Injectivité $\neq$ Surjectivité.

Non, pas forcément. L'injectivité signifie qu'il n'y a pas deux éléments qui ont la même image, mais il peut rester des éléments dans l'ensemble d'arrivée qui n'ont aucun antécédent. Exemple : $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, x \mapsto e^x$. Elle est injective mais pas surjective car $e^x$ ne peut jamais être négatif.

💡 À retenir : Injectivité $\neq$ Surjectivité.

Kifach n3ref wach l'application surjective wla la ?

Khoud $y$ f ensemble d'arrivée $F$ .
7awel t7el l'équation $f(x) = y$ b7it $x$ ykoun f ensemble de départ $E$ .
Ila l9iti 3la l'a9al 7el wahed $x$ bdelala dyal $y$ , rah surjective.
Ila l9iti chi $y$ maymkench ykoun soura dyal chi $x$ , rah machi surjective.

💡 À retenir : Surjectivité = existence d'un antécédent pour tout $y$ .

Khoud $y$ f ensemble d'arrivée $F$.
7awel t7el l'équation $f(x) = y$ b7it $x$ ykoun f ensemble de départ $E$.
Ila l9iti 3la l'a9al 7el wahed $x$ bdelala dyal $y$, rah surjective.
Ila l9iti chi $y$ maymkench ykoun soura dyal chi $x$, rah machi surjective.

💡 À retenir : Surjectivité = existence d'un antécédent pour tout $y$.

Est-ce que la composée de deux fonctions injectives est injective ?

Oui. Soient $f: E \to F$ et $g: F \to G$ deux applications injectives.

Supposons $(g \circ f)(x_1) = (g \circ f)(x_2)$ .
Donc $g(f(x_1)) = g(f(x_2))$ .
Comme $g$ est injective, alors $f(x_1) = f(x_2)$ .
Comme $f$ est injective, alors $x_1 = x_2$ .

💡 À retenir : La composée de deux injections est une injection.

Oui. Soient $f: E \to F$ et $g: F \to G$ deux applications injectives.

Supposons $(g \circ f)(x_1) = (g \circ f)(x_2)$.
Donc $g(f(x_1)) = g(f(x_2))$.
Comme $g$ est injective, alors $f(x_1) = f(x_2)$.
Comme $f$ est injective, alors $x_1 = x_2$.

💡 À retenir : La composée de deux injections est une injection.

Chno hiya l'application réciproque exactement ?

Hiya l'application li katrej3ek l'asl. Ila kant $f(x) = y$ , l'application réciproque $f^{-1}(y) = x$ . Bach tkoun 3ndna $f^{-1}$ , khass $f$ tkoun bijective (injectif + surjectif).

💡 À retenir : $f^{-1}$ existe ssi $f$ est bijective.

Hiya l'application li katrej3ek l'asl. Ila kant $f(x) = y$, l'application réciproque $f^{-1}(y) = x$. Bach tkoun 3ndna $f^{-1}$, khass $f$ tkoun bijective (injectif + surjectif).

💡 À retenir : $f^{-1}$ existe ssi $f$ est bijective.

Si f est surjective, est-ce que f(f^{-1}(B)) = B ?

Oui, si $f$ est surjective, alors pour tout sous-ensemble $B$ de l'ensemble d'arrivée, on a $f(f^{-1}(B)) = B$ . Si elle n'est pas surjective, on a seulement $f(f^{-1}(B)) \subset B$ .

💡 À retenir : La surjectivité garantit que chaque élément de $B$ est atteint.

Oui, si $f$ est surjective, alors pour tout sous-ensemble $B$ de l'ensemble d'arrivée, on a $f(f^{-1}(B)) = B$. Si elle n'est pas surjective, on a seulement $f(f^{-1}(B)) \subset B$.

💡 À retenir : La surjectivité garantit que chaque élément de $B$ est atteint.

Kifach n7seb l'application réciproque f^{-1} ?

T2ekked bli $f$ bijective.
7el l'équation $f(x) = y$ b7it $x$ ykoun f $E$ .
L'expression li ghadi tkhrej lik $x = \dots$ (bdelala dyal $y$ ) hiya l'expression dyal $f^{-1}(y)$ .
Bdel $y$ b $x$ f lakher.

💡 À retenir : $f(x)=y \iff f^{-1}(y)=x$ .

T2ekked bli $f$ bijective.
7el l'équation $f(x) = y$ b7it $x$ ykoun f $E$.
L'expression li ghadi tkhrej lik $x = \dots$ (bdelala dyal $y$) hiya l'expression dyal $f^{-1}(y)$.
Bdel $y$ b $x$ f lakher.

💡 À retenir : $f(x)=y \iff f^{-1}(y)=x$.

Est-ce qu'une fonction peut être injective sans être monotone ?

Oui, sur des ensembles discrets. Par exemple, une application d'un ensemble fini vers un autre peut être injective sans être monotone. Mais sur un intervalle de $\mathbb{R}$ , une fonction continue injective est nécessairement strictement monotone.

💡 À retenir : Continuité + Injectivité sur un intervalle $\implies$ Monotonie stricte.

Oui, sur des ensembles discrets. Par exemple, une application d'un ensemble fini vers un autre peut être injective sans être monotone. Mais sur un intervalle de $\mathbb{R}$, une fonction continue injective est nécessairement strictement monotone.

💡 À retenir : Continuité + Injectivité sur un intervalle $\implies$ Monotonie stricte.

Est-ce que l'identité est toujours bijective ?

Oui, l'application identité $Id_E: E \to E$ définie par $Id_E(x) = x$ est toujours bijective. Son application réciproque est elle-même ( $Id_E^{-1} = Id_E$ ).

💡 À retenir : L'identité est la bijection la plus simple.

Oui, l'application identité $Id_E: E \to E$ définie par $Id_E(x) = x$ est toujours bijective. Son application réciproque est elle-même ($Id_E^{-1} = Id_E$).

💡 À retenir : L'identité est la bijection la plus simple.

Comment montrer qu'une application n'est pas injective ?

Il suffit de trouver un contre-exemple : deux éléments distincts $x_1 \neq x_2$ tels que $f(x_1) = f(x_2)$ .

💡 À retenir : Pour prouver la non-injectivité, un seul contre-exemple suffit.

Il suffit de trouver un contre-exemple : deux éléments distincts $x_1 \neq x_2$ tels que $f(x_1) = f(x_2)$.

💡 À retenir : Pour prouver la non-injectivité, un seul contre-exemple suffit.

Comment montrer qu'une application n'est pas surjective ?

Il suffit de trouver un élément $y$ dans l'ensemble d'arrivée qui n'a aucun antécédent dans l'ensemble de départ (c'est-à-dire que l'équation $f(x) = y$ n'a pas de solution).

💡 À retenir : Pour prouver la non-surjectivité, un seul élément sans antécédent suffit.

Il suffit de trouver un élément $y$ dans l'ensemble d'arrivée qui n'a aucun antécédent dans l'ensemble de départ (c'est-à-dire que l'équation $f(x) = y$ n'a pas de solution).

💡 À retenir : Pour prouver la non-surjectivité, un seul élément sans antécédent suffit.

Est-ce que f circ g = g circ f toujours ?

Non, la composition des applications n'est pas commutative en général. $f \circ g$ peut exister alors que $g \circ f$ n'est pas définie, ou elles peuvent être définies mais donner des résultats différents.

💡 À retenir : $f \circ g \neq g \circ f$ en général.

Est-ce qu'on peut dire qu'une application est bijective si elle est strictement monotone ?

Non, il faut aussi que l'ensemble d'arrivée soit égal à l'image de l'ensemble de départ. Par exemple, $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, x \mapsto e^x$ est strictement croissante (donc injective), mais elle n'est pas surjective vers $\mathbb{R}$ car elle ne prend que des valeurs positives.