Logique et Raisonnement · Prépa concours post-bac — ENSA & ENSAM

Analyse combinatoire et dénombrement

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Soit $E$ un ensemble fini de cardinal $n$ .

p-uplets : Le nombre de $p$ -uplets d'éléments de $E$ est $n^p$ .
Arrangements : Le nombre d'arrangements de $p$ éléments parmi $n$ est $A_n^p = \frac{n!}{(n-p)!}$ .
Permutations : Le nombre de permutations de $n$ éléments est $n!$ .
Combinaisons : Le nombre de parties à $p$ éléments de $E$ est $C_n^p = \binom{n}{p} = \frac{n!}{p!(n-p)!}$ .
Propriétés : $\binom{n}{p} = \binom{n}{n-p}$ et $\binom{n}{p} + \binom{n}{p+1} = \binom{n+1}{p+1}$ (formule de Pascal).

Méthodes à maîtriser

Tirages simultanés : Utiliser les combinaisons $C_n^p$ .
Tirages successifs sans remise : Utiliser les arrangements $A_n^p$ .
Tirages successifs avec remise : Utiliser les $p$ -uplets ( $n^p$ ).
Ordre important : Si l'ordre compte, privilégier les arrangements ou le principe multiplicatif.
Ordre non important : Privilégier les combinaisons.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Nombre de façons de choisir 3 élèves parmi 20 : $C_{20}^3 = \frac{20 \times 19 \times 18}{3 \times 2 \times 1} = 1140$ .
Exemple 2 : Nombre de mots de 4 lettres distinctes formés avec 26 lettres : $A_{26}^4 = 26 \times 25 \times 24 \times 23 = 358800$ .

Erreurs fréquentes

Confondre $A_n^p$ et $C_n^p$ : Rappelez-vous que $C_n^p$ est plus petit car il ne tient pas compte de l'ordre.
Oublier le cas "avec remise" : Si on remet l'objet, le nombre de choix reste constant à chaque étape.
Mauvaise lecture de l'énoncé : Toujours vérifier si l'ordre est important ou non avant de choisir la formule.

L'essentiel du cours

Soit $E$ un ensemble fini de cardinal $n$.

p-uplets : Le nombre de $p$-uplets d'éléments de $E$ est $n^p$.
Arrangements : Le nombre d'arrangements de $p$ éléments parmi $n$ est $A_n^p = \frac{n!}{(n-p)!}$.
Permutations : Le nombre de permutations de $n$ éléments est $n!$.
Combinaisons : Le nombre de parties à $p$ éléments de $E$ est $C_n^p = \binom{n}{p} = \frac{n!}{p!(n-p)!}$.
Propriétés : $\binom{n}{p} = \binom{n}{n-p}$ et $\binom{n}{p} + \binom{n}{p+1} = \binom{n+1}{p+1}$ (formule de Pascal).

Méthodes à maîtriser

Tirages simultanés : Utiliser les combinaisons $C_n^p$.
Tirages successifs sans remise : Utiliser les arrangements $A_n^p$.
Tirages successifs avec remise : Utiliser les $p$-uplets ($n^p$).
Ordre important : Si l'ordre compte, privilégier les arrangements ou le principe multiplicatif.
Ordre non important : Privilégier les combinaisons.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Nombre de façons de choisir 3 élèves parmi 20 : $C_{20}^3 = \frac{20 \times 19 \times 18}{3 \times 2 \times 1} = 1140$.
Exemple 2 : Nombre de mots de 4 lettres distinctes formés avec 26 lettres : $A_{26}^4 = 26 \times 25 \times 24 \times 23 = 358800$.

Erreurs fréquentes

Confondre $A_n^p$ et $C_n^p$ : Rappelez-vous que $C_n^p$ est plus petit car il ne tient pas compte de l'ordre.
Oublier le cas "avec remise" : Si on remet l'objet, le nombre de choix reste constant à chaque étape.
Mauvaise lecture de l'énoncé : Toujours vérifier si l'ordre est important ou non avant de choisir la formule.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

Tu as appris les sciences en arabe ? Touche un mot pour voir sa traduction et une explication en darija.

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Défi flash : 4 questions

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🎯 Analyse combinatoire et dénombrement

1/4

Quel est le nombre de façons de choisir un président et un secrétaire parmi 10 personnes ?

❓ Questions fréquentes

Est-ce que l'ordre compte dans un tirage simultané ?

Non, dans un tirage simultané, l'ordre n'a aucune importance. On considère que tous les objets sont pris en même temps, donc on utilise systématiquement les combinaisons ( $C_n^p$ ).

💡 À retenir : Simultané = Combinaison = Pas d'ordre.

Non, dans un tirage simultané, l'ordre n'a aucune importance. On considère que tous les objets sont pris en même temps, donc on utilise systématiquement les combinaisons ($C_n^p$).

💡 À retenir : Simultané = Combinaison = Pas d'ordre.

Kifach n3ref wach nsta3mel An^p wla Cn^p ?

Chouf wach l'ordre mhoum (wach l'emplacement kayswi) : ila kan mhoum, sta3mel $A_n^p$ .
Ila kan l'ordre mamhoumch (ghir l'ensemble li mhoum), sta3mel $C_n^p$ .

💡 À retenir : L'ordre est la clé : "Arrangement" = "Ordre", "Combinaison" = "Choix".

Chouf wach l'ordre mhoum (wach l'emplacement kayswi) : ila kan mhoum, sta3mel $A_n^p$.
Ila kan l'ordre mamhoumch (ghir l'ensemble li mhoum), sta3mel $C_n^p$.

💡 À retenir : L'ordre est la clé : "Arrangement" = "Ordre", "Combinaison" = "Choix".

Pourquoi 0! = 1 ?

C'est une convention mathématique nécessaire pour que les formules comme $A_n^n = \frac{n!}{(n-n)!} = n!$ fonctionnent. Si $0!$ était égal à 0, la division serait impossible.

💡 À retenir : $0! = 1$ par définition pour la cohérence des formules.

C'est une convention mathématique nécessaire pour que les formules comme $A_n^n = \frac{n!}{(n-n)!} = n!$ fonctionnent. Si $0!$ était égal à 0, la division serait impossible.

💡 À retenir : $0! = 1$ par définition pour la cohérence des formules.

Chno hiya lfar9 bin tirage avec remise et sans remise ?

Avec remise : L'objet tiré est remis dans l'urne, donc le nombre total d'objets reste constant ( $n^p$ ).
Sans remise : L'objet tiré est mis de côté, donc le nombre total diminue à chaque tirage ( $A_n^p$ ).

💡 À retenir : Avec remise = puissance ; Sans remise = arrangement.

Avec remise : L'objet tiré est remis dans l'urne, donc le nombre total d'objets reste constant ($n^p$).
Sans remise : L'objet tiré est mis de côté, donc le nombre total diminue à chaque tirage ($A_n^p$).

💡 À retenir : Avec remise = puissance ; Sans remise = arrangement.

Comment calculer le nombre de sous-ensembles d'un ensemble à n éléments ?

Le nombre de sous-ensembles (parties) d'un ensemble à $n$ éléments est $2^n$ . Cela correspond à la somme $\sum_{k=0}^n C_n^k$ .

💡 À retenir : Le cardinal de $\mathcal{P}(E)$ est $2^{\text{card}(E)}$ .

Le nombre de sous-ensembles (parties) d'un ensemble à $n$ éléments est $2^n$. Cela correspond à la somme $\sum_{k=0}^n C_n^k$.

💡 À retenir : Le cardinal de $\mathcal{P}(E)$ est $2^{\text{card}(E)}$.

Kifach n7seb l3adad dyal l'anagrammes dyal chi kalima ?

7seb l3adad total dyal l7orouf $n$ .
7seb ch7al t3awdat kol 7arf (n1, n2...).
St3mel lformula : $\frac{n!}{n_1! \times n_2! \times ...}$ .

💡 À retenir : Permutation avec répétition = $\frac{n!}{\prod n_i!}$ .

7seb l3adad total dyal l7orouf $n$.
7seb ch7al t3awdat kol 7arf (n1, n2...).
St3mel lformula : $\frac{n!}{n_1! \times n_2! \times ...}$.

💡 À retenir : Permutation avec répétition = $\frac{n!}{\prod n_i!}$.

La formule de Pascal est-elle toujours vraie ?

Oui, elle est vraie pour tout $n \geq 1$ et $0 \leq p < n$ . Elle est très utile pour simplifier des sommes de combinaisons ou pour construire le triangle de Pascal.

💡 À retenir : $\binom{n}{p} + \binom{n}{p+1} = \binom{n+1}{p+1}$ .

Oui, elle est vraie pour tout $n \geq 1$ et $0 \leq p < n$. Elle est très utile pour simplifier des sommes de combinaisons ou pour construire le triangle de Pascal.

💡 À retenir : $\binom{n}{p} + \binom{n}{p+1} = \binom{n+1}{p+1}$.

Peut-on avoir p n dans Cn^p ?

Non, par convention, si $p > n$ , alors $C_n^p = 0$ . Il est impossible de choisir plus d'objets qu'il n'y en a dans l'ensemble.

💡 À retenir : $C_n^p = 0$ si $p > n$ .

Non, par convention, si $p > n$, alors $C_n^p = 0$. Il est impossible de choisir plus d'objets qu'il n'y en a dans l'ensemble.

💡 À retenir : $C_n^p = 0$ si $p > n$.

Est-ce que le principe multiplicatif s'applique partout ?

Oui, il s'applique dès que l'expérience se décompose en étapes indépendantes. Si l'étape 1 a $a$ choix et l'étape 2 a $b$ choix, alors il y a $a \times b$ choix au total.

💡 À retenir : Étape 1 ET Étape 2 = Multiplication.

Oui, il s'applique dès que l'expérience se décompose en étapes indépendantes. Si l'étape 1 a $a$ choix et l'étape 2 a $b$ choix, alors il y a $a \times b$ choix au total.

💡 À retenir : Étape 1 ET Étape 2 = Multiplication.

Comment dénombrer les fonctions injectives ?

Pour une fonction de $E$ (card $n$ ) vers $F$ (card $m$ ), le nombre d'injections est $A_m^n$ (avec $m \geq n$ ).

💡 À retenir : Injection = Arrangement.

Pour une fonction de $E$ (card $n$) vers $F$ (card $m$), le nombre d'injections est $A_m^n$ (avec $m \geq n$).

💡 À retenir : Injection = Arrangement.

Pourquoi on utilise souvent le complémentaire ?

Parfois, il est plus facile de compter ce qu'on ne veut pas et de soustraire ce résultat du total. C'est la méthode du "cas contraire".

💡 À retenir : $Card(A) = Card(Total) - Card(\bar{A})$ .

Parfois, il est plus facile de compter ce qu'on ne veut pas et de soustraire ce résultat du total. C'est la méthode du "cas contraire".

💡 À retenir : $Card(A) = Card(Total) - Card(\bar{A})$.

Est-ce que Cn^p est toujours un entier ?

Oui, le résultat d'une combinaison est toujours un nombre entier naturel, car il représente un nombre de possibilités (un cardinal).

💡 À retenir : $C_n^p \in \mathbb{N}$ .

Oui, le résultat d'une combinaison est toujours un nombre entier naturel, car il représente un nombre de possibilités (un cardinal).

💡 À retenir : $C_n^p \in \mathbb{N}$.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Un sac contient 5 boules rouges et 3 boules bleues. On tire simultanément 3 boules.

Combien y a-t-il de tirages possibles ?
Combien y a-t-il de tirages contenant exactement 2 boules rouges ?

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Exercice 2

Combien de mots de 5 lettres peut-on former avec les lettres du mot "MATHS" (sans répétition) ?

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Exercice 3

Un QCM comporte 10 questions. Chaque question propose 4 réponses possibles, dont une seule est correcte. Combien y a-t-il de façons de remplir la feuille de réponse ?

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