Mathématiques · 1ère Année Bac — Arts appliqués

Limites des fonctions numériques

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

1. Limites usuelles

$\lim_{x \to +\infty} x^n = +\infty$ (pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ )
$\lim_{x \to -\infty} x^n = +\infty$ si $n$ est pair, et $-\infty$ si $n$ est impair.
$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{x^n} = 0$

2. Limites de fonctions polynômes et rationnelles

À l'infini : La limite d'un polynôme en $+\infty$ ou $-\infty$ est la limite de son terme de plus haut degré.
À l'infini : La limite d'une fonction rationnelle est la limite du rapport des termes de plus haut degré.
En un point $a$ : On remplace $x$ par $a$ . Si on obtient $\frac{0}{0}$ , c'est une forme indéterminée (F.I.).

3. Opérations sur les limites

$L + \infty = \infty$
$L \times \infty = \infty$ (attention au signe)
$\frac{L}{\infty} = 0$
$\frac{L}{0} = \infty$ (nécessite l'étude du signe du dénominateur)

4. Formes indéterminées (F.I.)

Les quatre formes à connaître sont : $+\infty - \infty$ ; $0 \times \infty$ ; $\frac{0}{0}$ ; $\frac{\infty}{\infty}$ .

5. Interprétation graphique

Si $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = b$ , alors la droite d'équation $y = b$ est une asymptote horizontale.
Si $\lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty$ , alors la droite d'équation $x = a$ est une asymptote verticale.

Méthodes à maîtriser

Lever une indétermination $\frac{0}{0}$ : Factoriser le numérateur et le dénominateur par $(x - a)$ , puis simplifier.
Lever une indétermination $\frac{\infty}{\infty}$ : Utiliser la règle du plus haut degré (pour les fonctions rationnelles).
Étudier le signe d'un dénominateur : Utiliser un tableau de signes pour déterminer si on a $0^+$ ou $0^-$ .

Exemples corrigés

$\lim_{x \to +\infty} (2x^2 - 3x + 1) = \lim_{x \to +\infty} 2x^2 = +\infty$ .
$\lim_{x \to -\infty} \frac{5x^3 - 2}{x^2 + 1} = \lim_{x \to -\infty} \frac{5x^3}{x^2} = \lim_{x \to -\infty} 5x = -\infty$ .
$\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = \lim_{x \to 2} (x+2) = 4$ .

Erreurs fréquentes

Écrire $\frac{L}{0} = 0$ au lieu de l'infini.
Appliquer la règle du plus haut degré en un point $a$ (elle ne s'applique qu'en $\pm\infty$ ).
Oublier de changer le signe lors du calcul de $\lim_{x \to -\infty} x^n$ quand $n$ est impair.
Confondre l'asymptote horizontale ( $y=b$ ) et verticale ( $x=a$ ).

L'essentiel du cours

1. Limites usuelles

$\lim_{x \to +\infty} x^n = +\infty$ (pour tout $n \in \mathbb{N}^*$)
$\lim_{x \to -\infty} x^n = +\infty$ si $n$ est pair, et $-\infty$ si $n$ est impair.
$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{x^n} = 0$

2. Limites de fonctions polynômes et rationnelles

À l'infini : La limite d'un polynôme en $+\infty$ ou $-\infty$ est la limite de son terme de plus haut degré.
À l'infini : La limite d'une fonction rationnelle est la limite du rapport des termes de plus haut degré.
En un point $a$ : On remplace $x$ par $a$. Si on obtient $\frac{0}{0}$, c'est une forme indéterminée (F.I.).

3. Opérations sur les limites

$L + \infty = \infty$
$L \times \infty = \infty$ (attention au signe)
$\frac{L}{\infty} = 0$
$\frac{L}{0} = \infty$ (nécessite l'étude du signe du dénominateur)

4. Formes indéterminées (F.I.)

Les quatre formes à connaître sont : $+\infty - \infty$ ; $0 \times \infty$ ; $\frac{0}{0}$ ; $\frac{\infty}{\infty}$.

5. Interprétation graphique

Si $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = b$, alors la droite d'équation $y = b$ est une asymptote horizontale.
Si $\lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty$, alors la droite d'équation $x = a$ est une asymptote verticale.

Méthodes à maîtriser

Lever une indétermination $\frac{0}{0}$ : Factoriser le numérateur et le dénominateur par $(x - a)$, puis simplifier.
Lever une indétermination $\frac{\infty}{\infty}$ : Utiliser la règle du plus haut degré (pour les fonctions rationnelles).
Étudier le signe d'un dénominateur : Utiliser un tableau de signes pour déterminer si on a $0^+$ ou $0^-$.

Exemples corrigés

$\lim_{x \to +\infty} (2x^2 - 3x + 1) = \lim_{x \to +\infty} 2x^2 = +\infty$.
$\lim_{x \to -\infty} \frac{5x^3 - 2}{x^2 + 1} = \lim_{x \to -\infty} \frac{5x^3}{x^2} = \lim_{x \to -\infty} 5x = -\infty$.
$\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = \lim_{x \to 2} (x+2) = 4$.

Erreurs fréquentes

Écrire $\frac{L}{0} = 0$ au lieu de l'infini.
Appliquer la règle du plus haut degré en un point $a$ (elle ne s'applique qu'en $\pm\infty$).
Oublier de changer le signe lors du calcul de $\lim_{x \to -\infty} x^n$ quand $n$ est impair.
Confondre l'asymptote horizontale ($y=b$) et verticale ($x=a$).

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

Tu as appris les sciences en arabe ? Touche un mot pour voir sa traduction et une explication en darija.

La question que tu n'oses pas poser en classe ? Pose-la à UstadZéro jugement, même en darija, même à minuit. Il t'explique pas à pas et corrige ta démarche. Gratuit.Commencer gratuitement

Défi flash : 4 questions

Sans compte

🎯 Limites des fonctions numériques

1/4

Quelle est la limite de $f(x) = -5$ quand $x \to +\infty$ ?

❓ Questions fréquentes

C'est quoi une limite en mathématiques ?

La limite d'une fonction $f$ en un point $a$ est la valeur vers laquelle les images $f(x)$ se rapprochent de plus en plus lorsque $x$ s'approche de $a$ . On note cela $\lim_{x \to a} f(x) = L$ . Cela permet de comprendre le comportement de la fonction même là où elle n'est pas définie (comme une division par zéro).

💡 À retenir : La limite décrit la tendance d'une fonction près d'un point ou à l'infini.

La limite d'une fonction $f$ en un point $a$ est la valeur vers laquelle les images $f(x)$ se rapprochent de plus en plus lorsque $x$ s'approche de $a$. On note cela $\lim_{x \to a} f(x) = L$. Cela permet de comprendre le comportement de la fonction même là où elle n'est pas définie (comme une division par zéro).

💡 À retenir : La limite décrit la tendance d'une fonction près d'un point ou à l'infini.

Chno hiya forme indéterminée (F.I.) ?

Hiya melli kat-hseb limite o kat-lqa natija li ma-imkench t-3refha b-tariqa moubachira, bhal $\frac{0}{0}$ aw $\frac{\infty}{\infty}$ . Hadchi machi m3nah l-limite ma-kaynach, walakin khassna n-bdlou l-ktaba dyal l-founction (factorisation aw simplification) bach n-lqaw l-jawab l-haqiqi.

💡 À retenir : Une F.I. est un signal qu'il faut simplifier l'expression avant de conclure.

Hiya melli kat-hseb limite o kat-lqa natija li ma-imkench t-3refha b-tariqa moubachira, bhal $\frac{0}{0}$ aw $\frac{\infty}{\infty}$. Hadchi machi m3nah l-limite ma-kaynach, walakin khassna n-bdlou l-ktaba dyal l-founction (factorisation aw simplification) bach n-lqaw l-jawab l-haqiqi.

💡 À retenir : Une F.I. est un signal qu'il faut simplifier l'expression avant de conclure.

Comment savoir si c'est +infty ou -infty pour un polynôme ?

On regarde uniquement le terme qui a la plus grande puissance de $x$ .
On applique la règle des signes en remplaçant $x$ par l'infini.
Si $x \to -\infty$ , attention : $(- \infty)^2 = +\infty$ (pair) et $(- \infty)^3 = -\infty$ (impair).

💡 À retenir : Le terme de plus haut degré dicte le comportement à l'infini.

On regarde uniquement le terme qui a la plus grande puissance de $x$.
On applique la règle des signes en remplaçant $x$ par l'infini.
Si $x \to -\infty$, attention : $(- \infty)^2 = +\infty$ (pair) et $(- \infty)^3 = -\infty$ (impair).

💡 À retenir : Le terme de plus haut degré dicte le comportement à l'infini.

Kifach n-7seb limite f l-infini dyal l-kassr (fonction rationnelle) ?

F l-malanihaya ( $+\infty$ aw $-\infty$ ), l-qa3ida sahla : khoud akbar daraja l-fouq o akbar daraja l-teht. Men ba3d, khtazel x o chouf chno bqa lik. Matalan : $\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2}{x} = \lim_{x \to \infty} 3x$ .

💡 À retenir : À l'infini, on garde uniquement le rapport des termes de plus haut degré.

F l-malanihaya ($+\infty$ aw $-\infty$), l-qa3ida sahla : khoud akbar daraja l-fouq o akbar daraja l-teht. Men ba3d, khtazel x o chouf chno bqa lik. Matalan : $\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2}{x} = \lim_{x \to \infty} 3x$.

💡 À retenir : À l'infini, on garde uniquement le rapport des termes de plus haut degré.

Pourquoi on étudie la limite à gauche et à droite ?

On le fait souvent quand le dénominateur s'annule en un point $a$ . La fonction peut tendre vers $+\infty$ d'un côté et $-\infty$ de l'autre. Si les deux limites sont différentes, la fonction n'a pas de limite unique en ce point.

💡 À retenir : On sépare gauche ( $x < a$ ) et droite ( $x > a$ ) quand le signe du dénominateur change.

On le fait souvent quand le dénominateur s'annule en un point $a$. La fonction peut tendre vers $+\infty$ d'un côté et $-\infty$ de l'autre. Si les deux limites sont différentes, la fonction n'a pas de limite unique en ce point.

💡 À retenir : On sépare gauche ($x < a$) et droite ($x > a$) quand le signe du dénominateur change.

Chno l-farq bin asymptote verticale o horizontale ?

Asymptote horizontale : Kat-koun melli $x \to \infty$ o l-natija 3adad ( $y=b$ ). L-mounhana kay-welli ghadi f-jenb l-khatt l-ofouqi.
Asymptote verticale : Kat-koun melli $x \to a$ (3adad) o l-natija $\infty$ ( $x=a$ ). L-mounhana kay-tla3 aw yahbet f-jenb l-khatt l-3amoudi.

💡 À retenir : Horizontale $\to$ limite à l'infini. Verticale $\to$ limite infinie en un point.

Asymptote horizontale : Kat-koun melli $x \to \infty$ o l-natija 3adad ($y=b$). L-mounhana kay-welli ghadi f-jenb l-khatt l-ofouqi.
Asymptote verticale : Kat-koun melli $x \to a$ (3adad) o l-natija $\infty$ ($x=a$). L-mounhana kay-tla3 aw yahbet f-jenb l-khatt l-3amoudi.

💡 À retenir : Horizontale $\to$ limite à l'infini. Verticale $\to$ limite infinie en un point.

Est-ce que frac{0}{5} est une forme indéterminée ?

Non. $\frac{0}{5} = 0$ . Seule la forme $\frac{0}{0}$ est indéterminée. Si le zéro est en haut, le résultat est 0 (si le bas n'est pas 0). Si le zéro est en bas, le résultat est l'infini (si le haut n'est pas 0).

💡 À retenir : Zéro divisé par n'importe quel nombre non nul donne toujours zéro.

Non. $\frac{0}{5} = 0$. Seule la forme $\frac{0}{0}$ est indéterminée. Si le zéro est en haut, le résultat est 0 (si le bas n'est pas 0). Si le zéro est en bas, le résultat est l'infini (si le haut n'est pas 0).

💡 À retenir : Zéro divisé par n'importe quel nombre non nul donne toujours zéro.

Comment factoriser pour enlever frac{0}{0} ?

Si $\lim_{x \to a} f(x)$ donne $\frac{0}{0}$ , cela signifie que $(x-a)$ est un facteur commun.

Utilise l'identité remarquable (ex: $x^2-a^2 = (x-a)(x+a)$ ).
Ou factorise par $x$ .
Simplifie par $(x-a)$ en haut et en bas.

💡 À retenir : La simplification par $(x-a)$ est la clé pour lever l'indétermination $\frac{0}{0}$ .

Si $\lim_{x \to a} f(x)$ donne $\frac{0}{0}$, cela signifie que $(x-a)$ est un facteur commun.

Utilise l'identité remarquable (ex: $x^2-a^2 = (x-a)(x+a)$).
Ou factorise par $x$.
Simplifie par $(x-a)$ en haut et en bas.

💡 À retenir : La simplification par $(x-a)$ est la clé pour lever l'indétermination $\frac{0}{0}$.

Que signifie lim{x to 0^+} frac{1}{x} = +infty ?

Cela signifie que si tu divises 1 par un nombre positif très très petit (proche de 0), tu obtiens un nombre géant. Par exemple $1 / 0,0001 = 10000$ . Plus $x$ est petit, plus le résultat est grand.

💡 À retenir : Diviser par un "petit" positif donne un "grand" positif.

Peut-on avoir une limite finie en +infty ?

Oui, absolument. Par exemple $\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0$ . Graphiquement, cela signifie que la courbe de la fonction s'approche de l'axe des abscisses ( $y=0$ ) sans jamais le toucher.

💡 À retenir : Une limite finie à l'infini indique une asymptote horizontale.

Oui, absolument. Par exemple $\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0$. Graphiquement, cela signifie que la courbe de la fonction s'approche de l'axe des abscisses ($y=0$) sans jamais le toucher.

💡 À retenir : Une limite finie à l'infini indique une asymptote horizontale.

Comment calculer la limite d'une constante ?

La limite d'un nombre réel $k$ est toujours ce même nombre $k$ , peu importe vers quoi tend $x$ . Par exemple, $\lim_{x \to +\infty} 5 = 5$ .

💡 À retenir : Une constante ne dépend pas de $x$ , donc elle ne change pas.

La limite d'un nombre réel $k$ est toujours ce même nombre $k$, peu importe vers quoi tend $x$. Par exemple, $\lim_{x \to +\infty} 5 = 5$.

💡 À retenir : Une constante ne dépend pas de $x$, donc elle ne change pas.

C'est quoi la règle des signes pour frac{L}{0} ?

Si tu as $\frac{L}{0}$ , le résultat est $\infty$ . Pour savoir si c'est $+$ ou $-$ , tu multiplies le signe de $L$ par le signe du $0$ (est-ce un $0^+$ ou un $0^-$ ?). On utilise un tableau de signes pour le dénominateur.

💡 À retenir : Signe du numérateur $\times$ signe du dénominateur = signe de l'infini.

Si tu as $\frac{L}{0}$, le résultat est $\infty$. Pour savoir si c'est $+$ ou $-$, tu multiplies le signe de $L$ par le signe du $0$ (est-ce un $0^+$ ou un $0^-$ ?). On utilise un tableau de signes pour le dénominateur.

💡 À retenir : Signe du numérateur $\times$ signe du dénominateur = signe de l'infini.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit la fonction $f$ définie par : $f(x) = 3x^3 - 5x^2 + 2$ .

Calculer $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ .
Calculer $\lim_{x \to -\infty} f(x)$ .

Exercice 1

Soit la fonction $f$ définie par : $f(x) = 3x^3 - 5x^2 + 2$.

Calculer $\lim_{x \to +\infty} f(x)$.
Calculer $\lim_{x \to -\infty} f(x)$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Calculer les limites suivantes :

$\lim_{x \to +\infty} \frac{2x^2 - 4}{x^2 + 3x}$
$\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1}$

Exercice 2

Calculer les limites suivantes :

$\lim_{x \to +\infty} \frac{2x^2 - 4}{x^2 + 3x}$
$\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1}$

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Soit la fonction $g$ définie par $g(x) = \frac{2x + 1}{x - 3}$ .

Déterminer le domaine de définition $D_g$ .
Calculer $\lim_{x \to +\infty} g(x)$ et interpréter graphiquement.
Calculer $\lim_{x \to 3^+} g(x)$ et $\lim_{x \to 3^-} g(x)$ , puis interpréter graphiquement.

Exercice 3

Soit la fonction $g$ définie par $g(x) = \frac{2x + 1}{x - 3}$.

Déterminer le domaine de définition $D_g$.
Calculer $\lim_{x \to +\infty} g(x)$ et interpréter graphiquement.
Calculer $\lim_{x \to 3^+} g(x)$ et $\lim_{x \to 3^-} g(x)$, puis interpréter graphiquement.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Un prof de Mathématiques pour aller plus loin

Les cours du soir avec des profs vérifiés arrivent : inscris-toi pour être prévenu(e) en premier.

Être prévenu(e) gratuitement

Autres chapitres de Mathématiques

Généralités sur les fonctions Barycentre dans le plan Produit scalaire dans le plan Homothétie Rotation Suites numériques Dérivabilité Étude de fonctions Dénombrement Probabilités