Généralités sur les fonctions

1. L'image est le résultat du calcul $f(x)$. Si tu remplaces $x$ par un nombre, le résultat est l'image.
2. L'antécédent est la valeur de $x$ qui permet d'obtenir un résultat donné. C'est la solution de l'équation $f(x) = y$.

💡 À retenir : L'image est le "y", l'antécédent est le "x".

1. Vérifie d'abord si $D_f$ est symétrique par rapport à 0 (si $x \in D_f$ alors $-x \in D_f$).
2. Calcule $f(-x)$.
3. Si $f(-x) = f(x)$, elle est paire.
4. Si $f(-x) = -f(x)$, elle est impaire.

💡 À retenir : Si $f(-x)$ n'est ni égal à $f(x)$ ni à $-f(x)$, elle n'est ni paire ni impaire.

Le taux de variation sert à déterminer si la fonction monte (croissante) ou descend (décroissante) sur un intervalle.

1. Tu choisis deux nombres $x_1$ et $x_2$ dans l'intervalle.
2. Tu calcules $T = \frac{f(x_1) - f(x_2)}{x_1 - x_2}$.
3. Si $T > 0$, la fonction est croissante.
4. Si $T < 0$, la fonction est décroissante.

💡 À retenir : Le signe de $T$ donne le sens de variation.

1. La règle dit que le dénominateur ne doit jamais être nul.
2. Ici, le dénominateur est $x$.
3. Donc, il faut $x \neq 0$.
4. L'ensemble de définition est $D_f = \mathbb{R} \setminus {0}$ ou $]-\infty, 0[ \cup ]0, +\infty[$.

💡 À retenir : Dénominateur $\neq 0$.

Oui, une seule fonction : la fonction nulle $f(x) = 0$.

1. $f(-x) = 0$ et $f(x) = 0$, donc $f(-x) = f(x)$ (paire).
2. $-f(x) = -0 = 0$, donc $f(-x) = -f(x)$ (impaire).

💡 À retenir : Pour toute autre fonction, c'est impossible.

1. Tu étudies la fonction sur la partie positive de l'axe des abscisses ($x \geq 0$).
2. Tu traces la courbe sur cette partie.
3. Tu fais une symétrie axiale par rapport à l'axe des ordonnées (l'axe vertical) pour obtenir la partie négative.

💡 À retenir : Symétrie par rapport à l'axe $(Oy)$.

Parce que pour comparer $f(x)$ et $f(-x)$, il faut que les deux points $x$ et $-x$ existent dans le domaine. Si $-x$ n'est pas dans le domaine, on ne peut pas calculer $f(-x)$.

💡 À retenir : Pas de symétrie du domaine = pas de parité.

1. Cherche la valeur la plus haute atteinte par la courbe.
2. Si tu as l'expression, cherche $a$ tel que $f(x) \leq f(a)$ pour tout $x$.
3. $f(a)$ est alors le maximum.

💡 À retenir : Le maximum est une valeur de $y$.

Non, le signe du taux de variation est constant sur un intervalle où la fonction est monotone (toujours croissante ou toujours décroissante).

💡 À retenir : Le taux donne la tendance globale sur l'intervalle.

1. Croissante : $x_1 < x_2 \implies f(x_1) \leq f(x_2)$. La fonction peut être constante sur un petit bout.
2. Strictement croissante : $x_1 < x_2 \implies f(x_1) < f(x_2)$. Elle monte tout le temps.

💡 À retenir : "Strictement" interdit les paliers horizontaux.

Un point $M(a, b)$ appartient à la courbe de $f$ si et seulement si $f(a) = b$.

1. Tu calcules l'image de l'abscisse $a$.
2. Si le résultat est égal à l'ordonnée $b$, alors le point est sur la courbe.

💡 À retenir : $f(x_A) = y_A$.

Oui, par exemple la fonction $f(x) = x$ sur $\mathbb{R}$. Elle monte à l'infini et descend à moins l'infini. Elle n'a pas de borne.

💡 À retenir : Les fonctions bornées ont des extremums, les autres pas forcément.