Mathématiques · 1ère Année Bac — Arts appliqués

Homothétie

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Soient $\Omega$ un point du plan et $k$ un réel non nul. L'homothétie $h$ de centre $\Omega$ et de rapport $k$ est l'application qui, à tout point $M$ , associe le point $M'$ tel que : $\overrightarrow{\Omega M'} = k \overrightarrow{\Omega M}$

Si $k=1$ , $h$ est l'identité du plan.
Si $k=-1$ , $h$ est la symétrie centrale de centre $\Omega$ .
Propriétés : L'homothétie conserve l'alignement, le parallélisme et les rapports de distances. Elle multiplie les longueurs par $|k|$ et les aires par $k^2$ .

Méthodes à maîtriser

Construire l'image d'un point : Utiliser la relation vectorielle $\overrightarrow{\Omega M'} = k \overrightarrow{\Omega M}$ .
Déterminer l'image d'une droite : L'image d'une droite $(D)$ par une homothétie est une droite $(D')$ parallèle à $(D)$ .
Utiliser les coordonnées : Si $\Omega(x_0, y_0)$ , $M(x, y)$ et $M'(x', y')$ , alors : $x' - x_0 = k(x - x_0)$ et $y' - y_0 = k(y - y_0)$ .

Exemples corrigés

Exemple 1 : Soit $h(\Omega, 2)$ . Si $\overrightarrow{\Omega M} = 3\vec{u}$ , alors $\overrightarrow{\Omega M'} = 2(3\vec{u}) = 6\vec{u}$ . Exemple 2 : Soit $A(1, 2)$ et $h$ de centre $\Omega(0, 0)$ et rapport $k=-2$ . $x_A' = -2(1) = -2$ et $y_A' = -2(2) = -4$ . Donc $A'(-2, -4)$ .

Erreurs fréquentes

Oublier que $k$ peut être négatif.
Confondre le centre de l'homothétie avec l'origine du repère.
Penser que l'homothétie modifie les angles (elle les conserve).
Appliquer le rapport $k$ à l'aire au lieu de $k^2$ .

L'essentiel du cours

Soient $\Omega$ un point du plan et $k$ un réel non nul. L'homothétie $h$ de centre $\Omega$ et de rapport $k$ est l'application qui, à tout point $M$, associe le point $M'$ tel que : $$\overrightarrow{\Omega M'} = k \overrightarrow{\Omega M}$$

Si $k=1$, $h$ est l'identité du plan.
Si $k=-1$, $h$ est la symétrie centrale de centre $\Omega$.
Propriétés : L'homothétie conserve l'alignement, le parallélisme et les rapports de distances. Elle multiplie les longueurs par $|k|$ et les aires par $k^2$.

Méthodes à maîtriser

Construire l'image d'un point : Utiliser la relation vectorielle $\overrightarrow{\Omega M'} = k \overrightarrow{\Omega M}$.
Déterminer l'image d'une droite : L'image d'une droite $(D)$ par une homothétie est une droite $(D')$ parallèle à $(D)$.
Utiliser les coordonnées : Si $\Omega(x_0, y_0)$, $M(x, y)$ et $M'(x', y')$, alors : $x' - x_0 = k(x - x_0)$ et $y' - y_0 = k(y - y_0)$.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Soit $h(\Omega, 2)$. Si $\overrightarrow{\Omega M} = 3\vec{u}$, alors $\overrightarrow{\Omega M'} = 2(3\vec{u}) = 6\vec{u}$. Exemple 2 : Soit $A(1, 2)$ et $h$ de centre $\Omega(0, 0)$ et rapport $k=-2$. $x_A' = -2(1) = -2$ et $y_A' = -2(2) = -4$. Donc $A'(-2, -4)$.

Erreurs fréquentes

Oublier que $k$ peut être négatif.
Confondre le centre de l'homothétie avec l'origine du repère.
Penser que l'homothétie modifie les angles (elle les conserve).
Appliquer le rapport $k$ à l'aire au lieu de $k^2$.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Homothétie

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L'image d'une droite par une homothétie est :

❓ Questions fréquentes

L'homothétie est-elle une isométrie ?

Non, sauf si $|k| = 1$ . Une isométrie conserve les distances ( $|k|=1$ ), alors que l'homothétie modifie les distances si $|k| \neq 1$ .

💡 À retenir : L'homothétie est une similitude, pas une isométrie (sauf cas particulier).

Non, sauf si $|k| = 1$. Une isométrie conserve les distances ($|k|=1$), alors que l'homothétie modifie les distances si $|k| \neq 1$.

💡 À retenir : L'homothétie est une similitude, pas une isométrie (sauf cas particulier).

Est-ce que l'homothétie change la forme d'une figure ?

Non, l'homothétie est une transformation qui conserve la forme des figures. On dit qu'il s'agit d'une similitude : les angles sont conservés et les rapports de longueurs restent identiques.

💡 À retenir : L'homothétie agrandit ou réduit la taille, mais ne déforme pas l'objet.

Kifach n-lqa l-markaz dyal l-homothétie ila 3tani l-point o s-sora dyalha ?

Pour trouver le centre $\Omega$ connaissant $M$ et $M'$ ainsi que le rapport $k$ :

On utilise la relation $\overrightarrow{\Omega M'} = k \overrightarrow{\Omega M}$ .
On développe : $\overrightarrow{\Omega M'} = k \overrightarrow{\Omega M} \iff \overrightarrow{\Omega M'} = k(\overrightarrow{\Omega O} + \overrightarrow{OM})$ .
On isole $\Omega$ pour trouver ses coordonnées.

💡 À retenir : Le centre $\Omega$ est toujours aligné avec $M$ et $M'$ .

Pour trouver le centre $\Omega$ connaissant $M$ et $M'$ ainsi que le rapport $k$ :

On utilise la relation $\overrightarrow{\Omega M'} = k \overrightarrow{\Omega M}$.
On développe : $\overrightarrow{\Omega M'} = k \overrightarrow{\Omega M} \iff \overrightarrow{\Omega M'} = k(\overrightarrow{\Omega O} + \overrightarrow{OM})$.
On isole $\Omega$ pour trouver ses coordonnées.

💡 À retenir : Le centre $\Omega$ est toujours aligné avec $M$ et $M'$.

Si le rapport k est égal à 0, qu'est-ce qui se passe ?

Par définition, le rapport $k$ d'une homothétie doit être non nul ( $k \neq 0$ ). Si $k=0$ , tous les points seraient envoyés sur le centre $\Omega$ , ce qui ne constitue pas une transformation géométrique réversible.

💡 À retenir : $k$ est toujours un réel non nul.

Par définition, le rapport $k$ d'une homothétie doit être non nul ($k \neq 0$). Si $k=0$, tous les points seraient envoyés sur le centre $\Omega$, ce qui ne constitue pas une transformation géométrique réversible.

💡 À retenir : $k$ est toujours un réel non nul.

Chno hiya l-farq bin l-homothétie o t-tmathol l-markazi ?

La symétrie centrale est un cas particulier de l'homothétie.

La symétrie centrale est une homothétie de rapport $k = -1$ .
L'homothétie peut avoir n'importe quel rapport $k \neq 0$ (agrandissement ou réduction).

💡 À retenir : Toute symétrie centrale est une homothétie, mais l'inverse n'est pas vrai.

La symétrie centrale est un cas particulier de l'homothétie.

La symétrie centrale est une homothétie de rapport $k = -1$.
L'homothétie peut avoir n'importe quel rapport $k \neq 0$ (agrandissement ou réduction).

💡 À retenir : Toute symétrie centrale est une homothétie, mais l'inverse n'est pas vrai.

Wach l-homothétie kat-ghayer l-mosa7a dyal l-mo-tala-t ?

Oui, si le rapport de l'homothétie est $k$ , alors l'aire de la figure image est multipliée par $k^2$ .

💡 À retenir : Si $k=3$ , l'aire est multipliée par $3^2 = 9$ .

Oui, si le rapport de l'homothétie est $k$, alors l'aire de la figure image est multipliée par $k^2$.

💡 À retenir : Si $k=3$, l'aire est multipliée par $3^2 = 9$.

Comment trouver l'image d'un cercle par une homothétie ?

Pour trouver l'image d'un cercle de centre $C$ et de rayon $R$ par une homothétie de centre $\Omega$ et rapport $k$ :

Le centre du nouveau cercle est l'image de $C$ par $h$ .
Le nouveau rayon est $R' = |k| \times R$ .

💡 À retenir : L'image d'un cercle est toujours un cercle.

Pour trouver l'image d'un cercle de centre $C$ et de rayon $R$ par une homothétie de centre $\Omega$ et rapport $k$ :

Le centre du nouveau cercle est l'image de $C$ par $h$.
Le nouveau rayon est $R' = |k| \times R$.

💡 À retenir : L'image d'un cercle est toujours un cercle.

Est-ce que l'homothétie conserve le milieu d'un segment ?

Oui, l'homothétie conserve les milieux. Si $I$ est le milieu de $[AB]$ , alors $I'$ (image de $I$ ) est le milieu de $[A'B']$ (images de $A$ et $B$ ).

💡 À retenir : L'homothétie préserve toutes les propriétés barycentriques.

Oui, l'homothétie conserve les milieux. Si $I$ est le milieu de $[AB]$, alors $I'$ (image de $I$) est le milieu de $[A'B']$ (images de $A$ et $B$).

💡 À retenir : L'homothétie préserve toutes les propriétés barycentriques.

Kifach n-3ref wach l-image kat-kon f nafs l-jiha aw la ?

Il suffit de regarder le signe de $k$ :

Si $k > 0$ : $M'$ est du même côté que $M$ par rapport à $\Omega$ .
Si $k < 0$ : $M'$ est du côté opposé à $M$ par rapport à $\Omega$ .

💡 À retenir : Le signe de $k$ donne l'orientation.

Il suffit de regarder le signe de $k$ :

Si $k > 0$ : $M'$ est du même côté que $M$ par rapport à $\Omega$.
Si $k < 0$ : $M'$ est du côté opposé à $M$ par rapport à $\Omega$.

💡 À retenir : Le signe de $k$ donne l'orientation.

Est-ce que l'image d'une droite passant par le centre est la droite elle-même ?

Oui. Si une droite $(D)$ passe par le centre $\Omega$ , alors pour tout point $M \in (D)$ , son image $M'$ appartient aussi à la droite $(D)$ .

💡 À retenir : La droite est globalement invariante.

Oui. Si une droite $(D)$ passe par le centre $\Omega$, alors pour tout point $M \in (D)$, son image $M'$ appartient aussi à la droite $(D)$.

💡 À retenir : La droite est globalement invariante.

Peut-on composer deux homothéties ?

Oui, la composée de deux homothéties est soit une homothétie, soit une translation.

💡 À retenir : C'est une propriété avancée, utile pour les exercices complexes.

Si k est très grand, que devient la figure ?

La figure devient très grande et s'éloigne du centre $\Omega$ . Plus $|k|$ est grand, plus l'image est éloignée et agrandie.

💡 À retenir : $|k|$ mesure le facteur d'agrandissement.

La figure devient très grande et s'éloigne du centre $\Omega$. Plus $|k|$ est grand, plus l'image est éloignée et agrandie.

💡 À retenir : $|k|$ mesure le facteur d'agrandissement.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $A(2, 1)$ et $B(4, 3)$ . Soit $h$ l'homothétie de centre $\Omega(1, 1)$ et de rapport $k=3$ . Déterminer les coordonnées de $A'$ et $B'$ , images respectives de $A$ et $B$ .

Exercice 1

Soit $A(2, 1)$ et $B(4, 3)$. Soit $h$ l'homothétie de centre $\Omega(1, 1)$ et de rapport $k=3$. Déterminer les coordonnées de $A'$ et $B'$, images respectives de $A$ et $B$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Soit un triangle $ABC$ . Soit $h$ l'homothétie de centre $A$ et de rapport $k = 1/2$ .

Construire les images $B'$ et $C'$ de $B$ et $C$ .
Montrer que $(B'C') // (BC)$ .

Exercice 2

Soit un triangle $ABC$. Soit $h$ l'homothétie de centre $A$ et de rapport $k = 1/2$.

Construire les images $B'$ et $C'$ de $B$ et $C$.
Montrer que $(B'C') // (BC)$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Soit $\Omega(0, 0)$ . On considère le cercle $(C)$ d'équation $x^2 + y^2 = 4$ . Déterminer l'équation du cercle $(C')$ image de $(C)$ par l'homothétie de centre $\Omega$ et de rapport $k = -3$ .

Exercice 3

Soit $\Omega(0, 0)$. On considère le cercle $(C)$ d'équation $x^2 + y^2 = 4$. Déterminer l'équation du cercle $(C')$ image de $(C)$ par l'homothétie de centre $\Omega$ et de rapport $k = -3$.

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