Mathématiques · 1ère Année Bac — Sciences et Technologies Mécaniques

Logique mathématique

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Proposition : Une phrase mathématique qui est soit vraie (V), soit fausse (F).
Connecteurs logiques :
- $P \land Q$ (ET) : Vrai seulement si les deux sont vrais.
- $P \lor Q$ (OU) : Vrai si au moins l'un est vrai.
- $\neg P$ (Négation) : Inverse la valeur de vérité.
- $P \implies Q$ : Faux seulement si $P$ est vrai et $Q$ est faux.
- $P \iff Q$ : Vrai si $P$ et $Q$ ont la même valeur de vérité.
Quantificateurs : $\forall$ (pour tout) et $\exists$ (il existe).
Raisonnement :
- Par récurrence : Initialisation, Hérédité, Conclusion.
- Par l'absurde : Supposer le contraire et aboutir à une contradiction.
- Par contre-exemple : Pour prouver qu'une proposition $\forall x \in E, P(x)$ est fausse, il suffit de trouver un $x$ tel que $P(x)$ est faux.

Méthodes à maîtriser

Nier une proposition avec quantificateurs : $\neg(\forall x, P(x)) \iff \exists x, \neg P(x)$ et $\neg(\exists x, P(x)) \iff \forall x, \neg P(x)$ .
Démontrer une équivalence $P \iff Q$ en montrant $P \implies Q$ et $Q \implies P$ .
Utiliser la contraposée : $P \implies Q$ est équivalent à $\neg Q \implies \neg P$ .

Exemples corrigés

Négation : La négation de $(\forall x \in \mathbb{R}, x^2 > 0)$ est $(\exists x \in \mathbb{R}, x^2 \leq 0)$ .
Récurrence : Pour montrer $1+2+...+n = \frac{n(n+1)}{2}$ , on vérifie pour $n=1$ , puis on suppose vrai pour $n$ et on démontre pour $n+1$ .

Erreurs fréquentes

Confondre $\implies$ et $\iff$ .
Oublier de changer le quantificateur lors de la négation.
Dans la récurrence, oublier l'étape d'initialisation.

L'essentiel du cours

Proposition : Une phrase mathématique qui est soit vraie (V), soit fausse (F).
Connecteurs logiques :
- $P \land Q$ (ET) : Vrai seulement si les deux sont vrais.
- $P \lor Q$ (OU) : Vrai si au moins l'un est vrai.
- $\neg P$ (Négation) : Inverse la valeur de vérité.
- $P \implies Q$ : Faux seulement si $P$ est vrai et $Q$ est faux.
- $P \iff Q$ : Vrai si $P$ et $Q$ ont la même valeur de vérité.
Quantificateurs : $\forall$ (pour tout) et $\exists$ (il existe).
Raisonnement :
- Par récurrence : Initialisation, Hérédité, Conclusion.
- Par l'absurde : Supposer le contraire et aboutir à une contradiction.
- Par contre-exemple : Pour prouver qu'une proposition $\forall x \in E, P(x)$ est fausse, il suffit de trouver un $x$ tel que $P(x)$ est faux.

Méthodes à maîtriser

Nier une proposition avec quantificateurs : $\neg(\forall x, P(x)) \iff \exists x, \neg P(x)$ et $\neg(\exists x, P(x)) \iff \forall x, \neg P(x)$.
Démontrer une équivalence $P \iff Q$ en montrant $P \implies Q$ et $Q \implies P$.
Utiliser la contraposée : $P \implies Q$ est équivalent à $\neg Q \implies \neg P$.

Exemples corrigés

Négation : La négation de $(\forall x \in \mathbb{R}, x^2 > 0)$ est $(\exists x \in \mathbb{R}, x^2 \leq 0)$.
Récurrence : Pour montrer $1+2+...+n = \frac{n(n+1)}{2}$, on vérifie pour $n=1$, puis on suppose vrai pour $n$ et on démontre pour $n+1$.

Erreurs fréquentes

Confondre $\implies$ et $\iff$.
Oublier de changer le quantificateur lors de la négation.
Dans la récurrence, oublier l'étape d'initialisation.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Logique mathématique

1/4

Quelle est la négation de $\exists x \in \mathbb{R}, x^2 > 0$ ?

❓ Questions fréquentes

Comment prouver P iff Q ?

Il faut prouver deux choses :

$P \implies Q$
$Q \implies P$ Si les deux sont vraies, alors l'équivalence est vraie.

💡 À retenir : L'équivalence est un double sens.

Il faut prouver deux choses :

$P \implies Q$
$Q \implies P$ Si les deux sont vraies, alors l'équivalence est vraie.

💡 À retenir : L'équivalence est un double sens.

Est-ce que la négation de "ET" est "OU" ?

Oui, selon les lois de De Morgan :

$\neg(P \land Q) \iff (\neg P \lor \neg Q)$
$\neg(P \lor Q) \iff (\neg P \land \neg Q)$

💡 À retenir : Le "ET" devient "OU" et inversement lors de la négation.

Oui, selon les lois de De Morgan :

$\neg(P \land Q) \iff (\neg P \lor \neg Q)$
$\neg(P \lor Q) \iff (\neg P \land \neg Q)$

💡 À retenir : Le "ET" devient "OU" et inversement lors de la négation.

Est-ce que l'ordre des quantificateurs est important ?

Oui, c'est crucial ! $\forall x, \exists y, P(x,y)$ n'est pas la même chose que $\exists y, \forall x, P(x,y)$ . Le premier signifie que pour chaque $x$ , on peut trouver un $y$ (qui peut dépendre de $x$ ). Le second signifie qu'il existe un $y$ unique qui marche pour tous les $x$ .

💡 À retenir : Ne jamais inverser les quantificateurs.

Oui, c'est crucial ! $\forall x, \exists y, P(x,y)$ n'est pas la même chose que $\exists y, \forall x, P(x,y)$. Le premier signifie que pour chaque $x$, on peut trouver un $y$ (qui peut dépendre de $x$). Le second signifie qu'il existe un $y$ unique qui marche pour tous les $x$.

💡 À retenir : Ne jamais inverser les quantificateurs.

wach l'implication P implies Q katkon s7i7a ila kan P khata ?

Oui, en logique, si l'hypothèse $P$ est fausse, l'implication est considérée comme "vraie par défaut" (on dit qu'elle est trivialement vraie).

💡 À retenir : $F \implies V$ est Vrai, et $F \implies F$ est Vrai.

Oui, en logique, si l'hypothèse $P$ est fausse, l'implication est considérée comme "vraie par défaut" (on dit qu'elle est trivialement vraie).

💡 À retenir : $F \implies V$ est Vrai, et $F \implies F$ est Vrai.

Est-ce que P implies Q est la même chose que Q implies P ?

Non, ce n'est pas la même chose. $Q \implies P$ est appelée la réciproque de $P \implies Q$ . Elles n'ont pas forcément la même valeur de vérité. Par exemple, " $x=2 \implies x^2=4$ " est vraie, mais sa réciproque " $x^2=4 \implies x=2$ " est fausse car $x$ pourrait être $-2$ .

💡 À retenir : L'implication n'est pas symétrique.

Non, ce n'est pas la même chose. $Q \implies P$ est appelée la réciproque de $P \implies Q$. Elles n'ont pas forcément la même valeur de vérité. Par exemple, "$x=2 \implies x^2=4$" est vraie, mais sa réciproque "$x^2=4 \implies x=2$" est fausse car $x$ pourrait être $-2$.

💡 À retenir : L'implication n'est pas symétrique.

kifach n3ref wach nst3mel l'absurde wla l'recurrence ?

Utilise la récurrence si tu as une propriété qui dépend d'un entier naturel $n$ (ex: $u_n$ , somme, divisibilité).
Utilise l'absurde quand tu veux montrer qu'un nombre est irrationnel ou qu'une égalité est impossible, car supposer le contraire donne souvent une contradiction directe.

💡 À retenir : Récurrence pour $n \in \mathbb{N}$ , Absurde pour les impossibilités.

Utilise la récurrence si tu as une propriété qui dépend d'un entier naturel $n$ (ex: $u_n$, somme, divisibilité).
Utilise l'absurde quand tu veux montrer qu'un nombre est irrationnel ou qu'une égalité est impossible, car supposer le contraire donne souvent une contradiction directe.

💡 À retenir : Récurrence pour $n \in \mathbb{N}$, Absurde pour les impossibilités.

chno hiya l'contraposée ?

La contraposée de $P \implies Q$ est $\neg Q \implies \neg P$ . Elle est logiquement équivalente à l'implication initiale. C'est très utile quand il est plus facile de manipuler les négations que les affirmations.

💡 À retenir : $P \implies Q \equiv \neg Q \implies \neg P$ .

La contraposée de $P \implies Q$ est $\neg Q \implies \neg P$. Elle est logiquement équivalente à l'implication initiale. C'est très utile quand il est plus facile de manipuler les négations que les affirmations.

💡 À retenir : $P \implies Q \equiv \neg Q \implies \neg P$.

wach l'negation dial "x 0" hiya "x < 0" ?

Non, c'est une erreur classique. La négation de $x > 0$ est $x \leq 0$ . Il faut toujours inclure le cas de l'égalité.

💡 À retenir : La négation de $>$ est $\leq$ , et celle de $\geq$ est $<$ .

Non, c'est une erreur classique. La négation de $x > 0$ est $x \leq 0$. Il faut toujours inclure le cas de l'égalité.

💡 À retenir : La négation de $>$ est $\leq$, et celle de $\geq$ est $<$.

kifach nnegat forall x in mathbb{R}, x^2 geq 0 ?

Pour nier une proposition avec $\forall$ , tu changes $\forall$ en $\exists$ et tu nies la condition :

$\forall$ devient $\exists$ .
$x^2 \geq 0$ devient $x^2 < 0$ . La négation est donc : $\exists x \in \mathbb{R}, x^2 < 0$ .

💡 À retenir : $\neg(\forall x, P) \iff \exists x, \neg P$ .

Pour nier une proposition avec $\forall$, tu changes $\forall$ en $\exists$ et tu nies la condition :

$\forall$ devient $\exists$.
$x^2 \geq 0$ devient $x^2 < 0$. La négation est donc : $\exists x \in \mathbb{R}, x^2 < 0$.

💡 À retenir : $\neg(\forall x, P) \iff \exists x, \neg P$.

Est-ce qu'on peut utiliser un contre-exemple pour prouver qu'une proposition est vraie ?

Non, jamais ! Le contre-exemple sert uniquement à prouver qu'une proposition est fausse. Pour prouver qu'elle est vraie, il faut faire une démonstration générale (pour tout $x$ ).

💡 À retenir : Un exemple ne suffit pas pour généraliser, mais un seul contre-exemple suffit pour invalider.

Non, jamais ! Le contre-exemple sert uniquement à prouver qu'une proposition est fausse. Pour prouver qu'elle est vraie, il faut faire une démonstration générale (pour tout $x$).

💡 À retenir : Un exemple ne suffit pas pour généraliser, mais un seul contre-exemple suffit pour invalider.

C'est quoi la différence entre "condition nécessaire" et "suffisante" ?

Dans $P \implies Q$ :

$P$ est une condition suffisante pour $Q$ (si $P$ est vrai, $Q$ l'est forcément).
$Q$ est une condition nécessaire pour $P$ (si $Q$ est faux, $P$ ne peut pas être vrai).

💡 À retenir : $P$ suffit à $Q$ , $Q$ est nécessaire à $P$ .

Dans $P \implies Q$ :

$P$ est une condition suffisante pour $Q$ (si $P$ est vrai, $Q$ l'est forcément).
$Q$ est une condition nécessaire pour $P$ (si $Q$ est faux, $P$ ne peut pas être vrai).

💡 À retenir : $P$ suffit à $Q$, $Q$ est nécessaire à $P$.

Est-ce que exists x in mathbb{R}, x^2 = -1 est une proposition ?

Oui, c'est une proposition. Elle est fausse, mais c'est bien une proposition car on peut lui attribuer une valeur de vérité (ici : Faux).

💡 À retenir : Une proposition n'est pas forcément vraie, elle doit juste être "évaluable".

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Montrer par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ , $1+3+5+...+(2n-1) = n^2$ .

Exercice 1

Montrer par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $1+3+5+...+(2n-1) = n^2$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Montrer par l'absurde que $\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$ .

Exercice 2

Montrer par l'absurde que $\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Donner la négation de la proposition : $P : \forall x \in \mathbb{R}, (x^2 = 1 \implies x = 1 \text{ ou } x = -1)$ .

Exercice 3

Donner la négation de la proposition : $P : \forall x \in \mathbb{R}, (x^2 = 1 \implies x = 1 \text{ ou } x = -1)$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

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