Mathématiques · 1ère Année Bac — Sciences et Technologies Mécaniques

Calcul trigonométrique

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Cercle trigonométrique : Le cercle de centre $O$ et de rayon 1. Tout point $M$ est repéré par un angle $x$ en radians.
Relations fondamentales : $\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$ et $\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$ (pour $\cos(x) \neq 0$ ).
Angles associés :
- Opposés : $\cos(-x) = \cos(x)$ et $\sin(-x) = -\sin(x)$ .
- Supplémentaires : $\cos(\pi-x) = -\cos(x)$ et $\sin(\pi-x) = \sin(x)$ .
- Complémentaires : $\cos(\frac{\pi}{2}-x) = \sin(x)$ et $\sin(\frac{\pi}{2}-x) = \cos(x)$ .
Formules de duplication :
- $\cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x) = 2\cos^2(x) - 1 = 1 - 2\sin^2(x)$ .
- $\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$ .

Méthodes à maîtriser

Déterminer la mesure principale d'un angle : diviser par $2\pi$ et encadrer le reste dans $]-\pi, \pi]$ .
Simplifier des expressions trigonométriques en utilisant les angles associés.
Résoudre des équations du type $\cos(x) = a$ ou $\sin(x) = a$ .

Exemples corrigés

Exemple 1 : Calculer $\cos(\frac{5\pi}{6})$ . $\cos(\frac{5\pi}{6}) = \cos(\pi - \frac{\pi}{6}) = -\cos(\frac{\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ .
Exemple 2 : Simplifier $A = \cos^2(\frac{\pi}{8}) + \cos^2(\frac{3\pi}{8})$ . Comme $\frac{3\pi}{8} = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{8}$ , alors $\cos(\frac{3\pi}{8}) = \sin(\frac{\pi}{8})$ . $A = \cos^2(\frac{\pi}{8}) + \sin^2(\frac{\pi}{8}) = 1$ .

Erreurs fréquentes

Oublier le signe lors de l'utilisation des angles associés (ex: $\cos(\pi-x) = \cos(x)$ est faux).
Confondre le sens positif (trigonométrique) et le sens négatif.
Ne pas vérifier la condition $\cos(x) \neq 0$ pour la tangente.

L'essentiel du cours

Cercle trigonométrique : Le cercle de centre $O$ et de rayon 1. Tout point $M$ est repéré par un angle $x$ en radians.
Relations fondamentales : $\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$ et $\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$ (pour $\cos(x) \neq 0$).
Angles associés :
- Opposés : $\cos(-x) = \cos(x)$ et $\sin(-x) = -\sin(x)$.
- Supplémentaires : $\cos(\pi-x) = -\cos(x)$ et $\sin(\pi-x) = \sin(x)$.
- Complémentaires : $\cos(\frac{\pi}{2}-x) = \sin(x)$ et $\sin(\frac{\pi}{2}-x) = \cos(x)$.
Formules de duplication :
- $\cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x) = 2\cos^2(x) - 1 = 1 - 2\sin^2(x)$.
- $\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$.

Méthodes à maîtriser

Déterminer la mesure principale d'un angle : diviser par $2\pi$ et encadrer le reste dans $]-\pi, \pi]$.
Simplifier des expressions trigonométriques en utilisant les angles associés.
Résoudre des équations du type $\cos(x) = a$ ou $\sin(x) = a$.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Calculer $\cos(\frac{5\pi}{6})$. $\cos(\frac{5\pi}{6}) = \cos(\pi - \frac{\pi}{6}) = -\cos(\frac{\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Exemple 2 : Simplifier $A = \cos^2(\frac{\pi}{8}) + \cos^2(\frac{3\pi}{8})$. Comme $\frac{3\pi}{8} = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{8}$, alors $\cos(\frac{3\pi}{8}) = \sin(\frac{\pi}{8})$. $A = \cos^2(\frac{\pi}{8}) + \sin^2(\frac{\pi}{8}) = 1$.

Erreurs fréquentes

Oublier le signe lors de l'utilisation des angles associés (ex: $\cos(\pi-x) = \cos(x)$ est faux).
Confondre le sens positif (trigonométrique) et le sens négatif.
Ne pas vérifier la condition $\cos(x) \neq 0$ pour la tangente.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Calcul trigonométrique

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Quelle est la valeur de $\cos(\pi)$ ?

❓ Questions fréquentes

Est-ce que cos^2(x) signifie cos(x^2) ?

Non, absolument pas. $\cos^2(x)$ est la notation abrégée de $(\cos(x))^2$ . C'est le carré du résultat du cosinus.

💡 À retenir : $\cos^2(x) = (\cos x)^2 \neq \cos(x^2)$ .

Non, absolument pas. $\cos^2(x)$ est la notation abrégée de $(\cos(x))^2$. C'est le carré du résultat du cosinus.

💡 À retenir : $\cos^2(x) = (\cos x)^2 \neq \cos(x^2)$.

C'est quoi la différence entre degré et radian ?

Le degré est une unité de mesure d'angle basée sur le partage du cercle en 360 parts. Le radian est une unité basée sur la longueur de l'arc : un angle de 1 radian intercepte un arc de longueur égale au rayon.

💡 À retenir : La conversion est $\pi \text{ rad} = 180^\circ$ .

💡 À retenir : La conversion est $\pi \text{ rad} = 180^\circ$.

Kifach n7seb l'abscisse curviligne principale ?

Pour trouver la mesure principale d'un angle $x$ :

Écris $x = k \cdot 2\pi + \alpha$ où $\alpha \in ]-\pi, \pi]$ .
Pour cela, divise $x$ par $2\pi$ et cherche l'entier $k$ le plus proche.

💡 À retenir : La mesure principale est toujours dans l'intervalle $]-\pi, \pi]$ .

Pour trouver la mesure principale d'un angle $x$ :

Écris $x = k \cdot 2\pi + \alpha$ où $\alpha \in ]-\pi, \pi]$.
Pour cela, divise $x$ par $2\pi$ et cherche l'entier $k$ le plus proche.

💡 À retenir : La mesure principale est toujours dans l'intervalle $]-\pi, \pi]$.

Chno hiya l'utilité dyal les formules de duplication ?

Elles servent à transformer des expressions avec $2x$ en expressions avec $x$ seulement. C'est très utile pour résoudre des équations ou simplifier des calculs complexes.

💡 À retenir : Elles permettent de "linéariser" ou de réduire le degré des fonctions trigonométriques.

Elles servent à transformer des expressions avec $2x$ en expressions avec $x$ seulement. C'est très utile pour résoudre des équations ou simplifier des calculs complexes.

💡 À retenir : Elles permettent de "linéariser" ou de réduire le degré des fonctions trigonométriques.

Pourquoi tan(x) n'est pas définie partout ?

La tangente est définie par $\frac{\sin(x)}{\cos(x)}$ . Comme on ne peut pas diviser par zéro, elle n'est pas définie là où $\cos(x) = 0$ .

💡 À retenir : $\tan(x)$ est indéfinie pour $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ .

La tangente est définie par $\frac{\sin(x)}{\cos(x)}$. Comme on ne peut pas diviser par zéro, elle n'est pas définie là où $\cos(x) = 0$.

💡 À retenir : $\tan(x)$ est indéfinie pour $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$.

Kifach n3ref wach l'angle positif wla négatif ?

Le sens positif (ou trigonométrique) est le sens inverse des aiguilles d'une montre. Si tu tournes dans le sens des aiguilles, l'angle est négatif.

💡 À retenir : Sens inverse aiguilles = positif (+), sens aiguilles = négatif (-).

Comment retenir les valeurs remarquables ?

Utilise le tableau des valeurs pour $0, \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}$ . Apprends par cœur la ligne du sinus : $\sqrt{0}/2, \sqrt{1}/2, \sqrt{2}/2, \sqrt{3}/2, \sqrt{4}/2$ .

💡 À retenir : Le cosinus est l'inverse du sinus.

Utilise le tableau des valeurs pour $0, \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}$. Apprends par cœur la ligne du sinus : $\sqrt{0}/2, \sqrt{1}/2, \sqrt{2}/2, \sqrt{3}/2, \sqrt{4}/2$.

💡 À retenir : Le cosinus est l'inverse du sinus.

Est-ce que sin(x+y) = sin(x) + sin(y) ?

C'est une erreur très grave ! La fonction sinus n'est pas linéaire. $\sin(x+y)$ est égal à $\sin(x)\cos(y) + \cos(x)\sin(y)$ .

💡 À retenir : Ne jamais distribuer le sinus sur une somme.

C'est une erreur très grave ! La fonction sinus n'est pas linéaire. $\sin(x+y)$ est égal à $\sin(x)\cos(y) + \cos(x)\sin(y)$.

💡 À retenir : Ne jamais distribuer le sinus sur une somme.

Peut-on avoir cos(x) = 2 ?

Non, le cosinus et le sinus sont toujours compris entre -1 et 1. Si tu trouves un résultat en dehors, c'est qu'il y a une erreur de calcul.

💡 À retenir : $\forall x \in \mathbb{R}, -1 \leq \cos(x) \leq 1$ .

Non, le cosinus et le sinus sont toujours compris entre -1 et 1. Si tu trouves un résultat en dehors, c'est qu'il y a une erreur de calcul.

💡 À retenir : $\forall x \in \mathbb{R}, -1 \leq \cos(x) \leq 1$.

Pourquoi on utilise le cercle trigonométrique ?

Il permet de visualiser graphiquement les valeurs du cosinus et du sinus et de retrouver facilement les angles associés sans apprendre des dizaines de formules.

💡 À retenir : Le cercle est ton meilleur outil de vérification.

C'est quoi un angle orienté ?

C'est un angle défini par un couple de vecteurs $(\vec{u}, \vec{v})$ . Il possède une mesure en radians et un sens.

💡 À retenir : L'ordre des vecteurs change le signe de l'angle.

C'est un angle défini par un couple de vecteurs $(\vec{u}, \vec{v})$. Il possède une mesure en radians et un sens.

💡 À retenir : L'ordre des vecteurs change le signe de l'angle.

Comment résoudre cos(x) = cos(a) ?

Les solutions sont $x = a + 2k\pi$ ou $x = -a + 2k\pi$ avec $k \in \mathbb{Z}$ .

💡 À retenir : Il y a toujours deux familles de solutions pour le cosinus.

Les solutions sont $x = a + 2k\pi$ ou $x = -a + 2k\pi$ avec $k \in \mathbb{Z}$.

💡 À retenir : Il y a toujours deux familles de solutions pour le cosinus.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Déterminer la mesure principale de $\frac{17\pi}{3}$ .
Calculer $A = \cos(\frac{\pi}{3}) + \sin(\frac{\pi}{6}) - \tan(\frac{\pi}{4})$ .

Exercice 1

Déterminer la mesure principale de $\frac{17\pi}{3}$.
Calculer $A = \cos(\frac{\pi}{3}) + \sin(\frac{\pi}{6}) - \tan(\frac{\pi}{4})$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Résoudre dans $]-\pi, \pi]$ l'équation $\cos(x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Exercice 2

Résoudre dans $]-\pi, \pi]$ l'équation $\cos(x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

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Exercice 3

Simplifier l'expression $B = \cos^2(x) + \cos^2(\frac{\pi}{2}-x) + \sin^2(x) + \sin^2(\frac{\pi}{2}-x)$ .

Exercice 3

Simplifier l'expression $B = \cos^2(x) + \cos^2(\frac{\pi}{2}-x) + \sin^2(x) + \sin^2(\frac{\pi}{2}-x)$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

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