Mathématiques · 1ère Année Bac — Sciences et Technologies Mécaniques

La dérivation

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

1. Nombre dérivé : Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ . Le nombre dérivé de $f$ en un point $a \in I$ est la limite : $f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$ Si cette limite est finie, on dit que $f$ est dérivable en $a$ .

2. Équation de la tangente : L'équation de la tangente $(T)$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $a$ est : $y = f'(a)(x - a) + f(a)$

3. Fonctions usuelles et leurs dérivées :

Si $f(x) = k$ (constante), alors $f'(x) = 0$ .
Si $f(x) = x$ , alors $f'(x) = 1$ .
Si $f(x) = x^n$ ( $n \in \mathbb{N}^*$ ), alors $f'(x) = nx^{n-1}$ .
Si $f(x) = \frac{1}{x}$ ( $x \neq 0$ ), alors $f'(x) = -\frac{1}{x^2}$ .
Si $f(x) = ax + b$ , alors $f'(x) = a$ .

4. Opérations sur les dérivées : Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables et $k$ un réel :

$(u + v)' = u' + v'$
$(k \cdot u)' = k \cdot u'$
$(u \cdot v)' = u'v + uv'$
$\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ (avec $v \neq 0$ )

Méthodes à maîtriser

Calculer la dérivée : Appliquer les formules de base et les règles d'opération (produit, quotient).
Étudier le sens de variation :
- Calculer $f'(x)$ .
- Étudier le signe de $f'(x)$ (résoudre $f'(x) > 0$ ou $f'(x) < 0$ ).
- En déduire le tableau de variations de $f$ .
Trouver l'équation d'une tangente : Calculer $f(a)$ et $f'(a)$ , puis appliquer la formule.
Déterminer les extremums : Chercher les points où $f'(x) = 0$ en changeant de signe.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Soit $f(x) = 3x^2 + 5x - 2$ . Calculer $f'(x)$ . Solution : $f'(x) = (3x^2)' + (5x)' - (2)'$ $f'(x) = 3(2x) + 5 - 0 = 6x + 5$ .

Exemple 2 : Soit $g(x) = \frac{2x}{x+1}$ . Calculer $g'(x)$ . Solution : On pose $u(x) = 2x \implies u'(x) = 2$ et $v(x) = x+1 \implies v'(x) = 1$ . $g'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{2(x+1) - 2x(1)}{(x+1)^2} = \frac{2x + 2 - 2x}{(x+1)^2} = \frac{2}{(x+1)^2}$ .

Erreurs fréquentes

Erreur de signe dans le quotient : Écrire $u'v + uv'$ au lieu de $u'v - uv'$ .
Oubli du carré au dénominateur : Oublier de mettre $v^2$ lors de la dérivation d'un quotient.
Confusion entre $f(a)$ et $f'(a)$ : Utiliser la valeur de la fonction au lieu de la valeur de la dérivée dans l'équation de la tangente.
Mauvaise gestion des parenthèses : Ne pas mettre de parenthèses lors de l'application de la formule $(uv)'$ .

L'essentiel du cours

1. Nombre dérivé : Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$. Le nombre dérivé de $f$ en un point $a \in I$ est la limite : $$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$$ Si cette limite est finie, on dit que $f$ est dérivable en $a$.

2. Équation de la tangente : L'équation de la tangente $(T)$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $a$ est : $$y = f'(a)(x - a) + f(a)$$

3. Fonctions usuelles et leurs dérivées :

Si $f(x) = k$ (constante), alors $f'(x) = 0$.
Si $f(x) = x$, alors $f'(x) = 1$.
Si $f(x) = x^n$ ($n \in \mathbb{N}^*$), alors $f'(x) = nx^{n-1}$.
Si $f(x) = \frac{1}{x}$ ($x \neq 0$), alors $f'(x) = -\frac{1}{x^2}$.
Si $f(x) = ax + b$, alors $f'(x) = a$.

4. Opérations sur les dérivées : Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables et $k$ un réel :

$(u + v)' = u' + v'$
$(k \cdot u)' = k \cdot u'$
$(u \cdot v)' = u'v + uv'$
$\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ (avec $v \neq 0$)

Méthodes à maîtriser

Calculer la dérivée : Appliquer les formules de base et les règles d'opération (produit, quotient).
Étudier le sens de variation :
- Calculer $f'(x)$.
- Étudier le signe de $f'(x)$ (résoudre $f'(x) > 0$ ou $f'(x) < 0$).
- En déduire le tableau de variations de $f$.
Trouver l'équation d'une tangente : Calculer $f(a)$ et $f'(a)$, puis appliquer la formule.
Déterminer les extremums : Chercher les points où $f'(x) = 0$ en changeant de signe.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Soit $f(x) = 3x^2 + 5x - 2$. Calculer $f'(x)$. Solution : $f'(x) = (3x^2)' + (5x)' - (2)'$ $f'(x) = 3(2x) + 5 - 0 = 6x + 5$.

Exemple 2 : Soit $g(x) = \frac{2x}{x+1}$. Calculer $g'(x)$. Solution : On pose $u(x) = 2x \implies u'(x) = 2$ et $v(x) = x+1 \implies v'(x) = 1$. $g'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{2(x+1) - 2x(1)}{(x+1)^2} = \frac{2x + 2 - 2x}{(x+1)^2} = \frac{2}{(x+1)^2}$.

Erreurs fréquentes

Erreur de signe dans le quotient : Écrire $u'v + uv'$ au lieu de $u'v - uv'$.
Oubli du carré au dénominateur : Oublier de mettre $v^2$ lors de la dérivation d'un quotient.
Confusion entre $f(a)$ et $f'(a)$ : Utiliser la valeur de la fonction au lieu de la valeur de la dérivée dans l'équation de la tangente.
Mauvaise gestion des parenthèses : Ne pas mettre de parenthèses lors de l'application de la formule $(uv)'$.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Défi flash : 4 questions

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🎯 La dérivation

1/4

Quelle est la dérivée de $f(x) = 7$ ?

Quelle est la dérivée de $f(x) = 7$?

❓ Questions fréquentes

Que signifie une dérivée négative ?

Cela signifie que la fonction est strictement décroissante sur l'intervalle considéré.

💡 À retenir : $f'(x) < 0 \implies$ la courbe "descend".

Cela signifie que la fonction est strictement décroissante sur l'intervalle considéré.

💡 À retenir : $f'(x) < 0 \implies$ la courbe "descend".

Comment calculer la dérivée de frac{1}{x} ?

La formule est : $f(x) = \frac{1}{x} \implies f'(x) = -\frac{1}{x^2}$

💡 À retenir : N'oublie jamais le signe "moins".

La formule est : $$f(x) = \frac{1}{x} \implies f'(x) = -\frac{1}{x^2}$$

💡 À retenir : N'oublie jamais le signe "moins".

Chno hiya l-farq bin f(a) w f'(a)?

$f(a)$ hiya l-qima dyal l-fonction f l-noqta $a$ (l-ordonnée dyal l-noqta).
$f'(a)$ hiya l-valeur dyal l-dérivée f l-noqta $a$ (hiya l-coefficient directeur dyal l-moumass).

💡 À retenir : $f(a)$ kat3tina l-blassa, $f'(a)$ kat3tina l-milly (l-inclinaison).

$f(a)$ hiya l-qima dyal l-fonction f l-noqta $a$ (l-ordonnée dyal l-noqta).
$f'(a)$ hiya l-valeur dyal l-dérivée f l-noqta $a$ (hiya l-coefficient directeur dyal l-moumass).

💡 À retenir : $f(a)$ kat3tina l-blassa, $f'(a)$ kat3tina l-milly (l-inclinaison).

Kifach n3ref wach l-fonction tal3a wla habta?

Khassek t-calculi l-dérivée $f'(x)$ hiya l-lowla.
Dir l-dirassa dyal l-ichara (signe) dyal $f'(x)$ $f^{'} (x)$ :
- Ila kant $f'(x) > 0$ , l-fonction tal3a (croissante).
- Ila kant $f'(x) < 0$ , l-fonction habta (décroissante).

💡 À retenir : L-ichara dyal l-dérivée hiya li kat-hded l-itijah dyal l-fonction.

Khassek t-calculi l-dérivée $f'(x)$ hiya l-lowla.
Dir l-dirassa dyal l-ichara (signe) dyal $f'(x)$:
- Ila kant $f'(x) > 0$, l-fonction tal3a (croissante).
- Ila kant $f'(x) < 0$, l-fonction habta (décroissante).

💡 À retenir : L-ichara dyal l-dérivée hiya li kat-hded l-itijah dyal l-fonction.

Chno hiya l-formule dyal l-moumass?

L-moumass (la tangente) f l-noqta $a$ l-équation dyalha hiya: $y = f'(a)(x - a) + f(a)$ Khassek t-calculi $f(a)$ w $f'(a)$ bach t-kml l-équation.

💡 À retenir : Mat-nsach l-qawsat $(x-a)$ f l-formule.

L-moumass (la tangente) f l-noqta $a$ l-équation dyalha hiya: $$y = f'(a)(x - a) + f(a)$$ Khassek t-calculi $f(a)$ w $f'(a)$ bach t-kml l-équation.

💡 À retenir : Mat-nsach l-qawsat $(x-a)$ f l-formule.

Comment calculer la dérivée d'un produit u times v ?

On utilise la règle suivante :

Identifier $u(x)$ et $v(x)$ .
Calculer leurs dérivées respectives $u'(x)$ et $v'(x)$ .
Appliquer la formule : $f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$ .

💡 À retenir : C'est un "plus" ( $+$ ) et non un "moins" ( $-$ ).

On utilise la règle suivante :

Identifier $u(x)$ et $v(x)$.
Calculer leurs dérivées respectives $u'(x)$ et $v'(x)$.
Appliquer la formule : $f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$.

💡 À retenir : C'est un "plus" ($+$) et non un "moins" ($-$).

Comment calculer la dérivée d'un quotient frac{u}{v} ?

Identifier $u(x)$ et $v(x)$ .
Calculer $u'(x)$ et $v'(x)$ .
Appliquer la formule : $f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{(v(x))^2}$ .

💡 À retenir : Attention au signe "moins" ( $-$ ) entre les deux termes du numérateur.

Identifier $u(x)$ et $v(x)$.
Calculer $u'(x)$ et $v'(x)$.
Appliquer la formule : $f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{(v(x))^2}$.

💡 À retenir : Attention au signe "moins" ($-$) entre les deux termes du numérateur.

Est-ce que f'(x) = 0 signifie qu'il y a un extremum ?

Pas forcément, mais c'est une condition nécessaire :

Si $f'(x) = 0$ et que la dérivée change de signe en passant par ce point, alors c'est un extremum (maximum ou minimum).
Si $f'(x) = 0$ mais ne change pas de signe, ce n'est pas un extremum (ex: $x^3$ en $0$ ).

💡 À retenir : Vérifie toujours le changement de signe.

Pas forcément, mais c'est une condition nécessaire :

Si $f'(x) = 0$ et que la dérivée change de signe en passant par ce point, alors c'est un extremum (maximum ou minimum).
Si $f'(x) = 0$ mais ne change pas de signe, ce n'est pas un extremum (ex: $x^3$ en $0$).

💡 À retenir : Vérifie toujours le changement de signe.

Quelle est la dérivée de x^n ?

Pour tout entier $n \geq 1$ : $f(x) = x^n \implies f'(x) = n x^{n-1}$ Exemple : $(x^5)' = 5x^4$ .

💡 À retenir : On descend l'exposant devant et on réduit l'exposant de 1.

Pour tout entier $n \geq 1$ : $$f(x) = x^n \implies f'(x) = n x^{n-1}$$ Exemple : $(x^5)' = 5x^4$.

💡 À retenir : On descend l'exposant devant et on réduit l'exposant de 1.

Comment trouver l'équation de la tangente si on ne connaît que la pente ?

Si on connaît la pente $m$ (qui est $f'(a)$ ) et un point $(a, f(a))$ , on utilise la forme : $y - f(a) = m(x - a)$ Ce qui revient à la même formule.

💡 À retenir : La pente est toujours égale à la dérivée.

Si on connaît la pente $m$ (qui est $f'(a)$) et un point $(a, f(a))$, on utilise la forme : $$y - f(a) = m(x - a)$$ Ce qui revient à la même formule.

💡 À retenir : La pente est toujours égale à la dérivée.

La dérivée d'une constante est-elle toujours nulle ?

Oui, si $f(x) = c$ (où $c$ est un nombre réel), alors $f'(x) = 0$ pour tout $x$ .

💡 À retenir : Une fonction constante ne varie pas, donc sa dérivée est nulle.

Oui, si $f(x) = c$ (où $c$ est un nombre réel), alors $f'(x) = 0$ pour tout $x$.

💡 À retenir : Une fonction constante ne varie pas, donc sa dérivée est nulle.

Que signifie une dérivée positive ?

Cela signifie que la fonction est strictement croissante sur l'intervalle considéré.

💡 À retenir : $f'(x) > 0 \implies$ la courbe "monte".

Cela signifie que la fonction est strictement croissante sur l'intervalle considéré.

💡 À retenir : $f'(x) > 0 \implies$ la courbe "monte".

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Exercice 1 (Niveau Facile) : Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = x^3 - 3x + 2$ .

Calculer la dérivée $f'(x)$ .
Étudier le signe de $f'(x)$ .
Dresser le tableau de variations de $f$ .
Déterminer l'équation de la tangente $(T)$ à la courbe au point d'abscisse $x = 0$ .

Exercice 1

Exercice 1 (Niveau Facile) : Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = x^3 - 3x + 2$.

Calculer la dérivée $f'(x)$.
Étudier le signe de $f'(x)$.
Dresser le tableau de variations de $f$.
Déterminer l'équation de la tangente $(T)$ à la courbe au point d'abscisse $x = 0$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Exercice 2 (Niveau Moyen) : Soit la fonction $g$ définie sur $D_g = \mathbb{R} \setminus \{1\}$ par : $g(x) = \frac{2x + 1}{x - 1}$ .

Calculer la dérivée $g'(x)$ .
Étudier le signe de $g'(x)$ et en déduire les variations de $g$ .
Calculer l'équation de la tangente $(T)$ au point d'abscisse $x = 0$ .

Exercice 2

Exercice 2 (Niveau Moyen) : Soit la fonction $g$ définie sur $D_g = \mathbb{R} \setminus {1}$ par : $g(x) = \frac{2x + 1}{x - 1}$.

Calculer la dérivée $g'(x)$.
Étudier le signe de $g'(x)$ et en déduire les variations de $g$.
Calculer l'équation de la tangente $(T)$ au point d'abscisse $x = 0$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Exercice 3 (Niveau Difficile) : Soit la fonction $h$ définie sur $]0, +\infty[$ par : $h(x) = x^2 - 4x + \frac{1}{x}$ .

Calculer la dérivée $h'(x)$ .
Montrer que $h'(x) = \frac{x^3 - 4x^2 + 1}{x^2}$ (Attention : l'énoncé contient une petite erreur de simplification classique, recalculons proprement). Correction de l'énoncé pour cohérence : Soit $h(x) = x^2 - 4x + \frac{4}{x}$ .
Calculer $h'(x)$ .
Étudier le signe de $h'(x)$ sur $]0, +\infty[$ .
En déduire le minimum de la fonction $h$ .

Exercice 3

Exercice 3 (Niveau Difficile) : Soit la fonction $h$ définie sur $]0, +\infty[$ par : $h(x) = x^2 - 4x + \frac{1}{x}$.

Calculer la dérivée $h'(x)$.
Montrer que $h'(x) = \frac{x^3 - 4x^2 + 1}{x^2}$ (Attention : l'énoncé contient une petite erreur de simplification classique, recalculons proprement). Correction de l'énoncé pour cohérence : Soit $h(x) = x^2 - 4x + \frac{4}{x}$.
Calculer $h'(x)$.
Étudier le signe de $h'(x)$ sur $]0, +\infty[$.
En déduire le minimum de la fonction $h$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

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