Mathématiques · 2ème Année Bac — Arts appliqués

الاشتقاق و دراسة الدوال الجذرية للثانية باك آداب وعلوم إنسانية

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Dérivabilité : Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ . $f$ est dérivable en $a \in I$ si la limite $\lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ existe et est finie. Cette limite est notée $f'(a)$ .
Fonctions rationnelles : Une fonction rationnelle est le quotient de deux polynômes. Elle est dérivable sur tout intervalle inclus dans son ensemble de définition.
Opérations : $(u+v)' = u'+v'$ , $(uv)' = u'v+uv'$ , $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v-uv'}{v^2}$ .
Sens de variation : Si $f'(x) > 0$ sur $I$ , alors $f$ est strictement croissante. Si $f'(x) < 0$ , elle est strictement décroissante.
Extremums : Si $f'$ s'annule en changeant de signe en $a$ , alors $f(a)$ est un extremum local.

Méthodes à maîtriser

Calculer la dérivée : Identifier la forme (somme, produit, quotient) et appliquer les formules usuelles.
Étudier le signe de la dérivée : Résoudre $f'(x) = 0$ puis dresser le tableau de signes.
Dresser le tableau de variations : Utiliser le signe de $f'$ pour déterminer les flèches de variation.
Déterminer l'équation de la tangente : Utiliser la formule $y = f'(a)(x-a) + f(a)$ .

Exemples corrigés

Exemple 1 : Soit $f(x) = \frac{2x+1}{x-3}$ . $f'(x) = \frac{(2)(x-3) - (1)(2x+1)}{(x-3)^2} = \frac{2x-6-2x-1}{(x-3)^2} = \frac{-7}{(x-3)^2}$ . Comme $(x-3)^2 > 0$ , $f'(x) < 0$ , donc $f$ est décroissante sur $]3, +\infty[$ .
Exemple 2 : Tangente à $f(x) = x^2$ au point d'abscisse $a=1$ . $f(1)=1$ , $f'(x)=2x$ , $f'(1)=2$ . $y = 2(x-1) + 1 \implies y = 2x - 1$ .

Erreurs fréquentes

Oublier de préciser l'ensemble de définition avant de dériver.
Erreur de signe lors de la dérivation d'un quotient.
Confondre le signe de $f'(x)$ avec le signe de $f(x)$ .
Ne pas justifier la dérivabilité (somme/quotient de fonctions dérivables).

L'essentiel du cours

Dérivabilité : Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$. $f$ est dérivable en $a \in I$ si la limite $\lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ existe et est finie. Cette limite est notée $f'(a)$.
Fonctions rationnelles : Une fonction rationnelle est le quotient de deux polynômes. Elle est dérivable sur tout intervalle inclus dans son ensemble de définition.
Opérations : $(u+v)' = u'+v'$, $(uv)' = u'v+uv'$, $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v-uv'}{v^2}$.
Sens de variation : Si $f'(x) > 0$ sur $I$, alors $f$ est strictement croissante. Si $f'(x) < 0$, elle est strictement décroissante.
Extremums : Si $f'$ s'annule en changeant de signe en $a$, alors $f(a)$ est un extremum local.

Méthodes à maîtriser

Calculer la dérivée : Identifier la forme (somme, produit, quotient) et appliquer les formules usuelles.
Étudier le signe de la dérivée : Résoudre $f'(x) = 0$ puis dresser le tableau de signes.
Dresser le tableau de variations : Utiliser le signe de $f'$ pour déterminer les flèches de variation.
Déterminer l'équation de la tangente : Utiliser la formule $y = f'(a)(x-a) + f(a)$.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Soit $f(x) = \frac{2x+1}{x-3}$. $f'(x) = \frac{(2)(x-3) - (1)(2x+1)}{(x-3)^2} = \frac{2x-6-2x-1}{(x-3)^2} = \frac{-7}{(x-3)^2}$. Comme $(x-3)^2 > 0$, $f'(x) < 0$, donc $f$ est décroissante sur $]3, +\infty[$.
Exemple 2 : Tangente à $f(x) = x^2$ au point d'abscisse $a=1$. $f(1)=1$, $f'(x)=2x$, $f'(1)=2$. $y = 2(x-1) + 1 \implies y = 2x - 1$.

Erreurs fréquentes

Oublier de préciser l'ensemble de définition avant de dériver.
Erreur de signe lors de la dérivation d'un quotient.
Confondre le signe de $f'(x)$ avec le signe de $f(x)$.
Ne pas justifier la dérivabilité (somme/quotient de fonctions dérivables).

La question que tu n'oses pas poser en classe ? Pose-la à UstadZéro jugement, même en darija, même à minuit. Il t'explique pas à pas et corrige ta démarche. Gratuit.Commencer gratuitement

Défi flash : 4 questions

Sans compte

🎯 الاشتقاق و دراسة الدوال الجذرية للثانية باك آداب وعلوم إنسانية

1/4

Quelle est la dérivée de $f(x) = 5x - 3$ ?

❓ Questions fréquentes

C'est quoi la différence entre la dérivée et la fonction elle-même ?

La fonction $f(x)$ donne l'image d'un nombre (la hauteur de la courbe).
La dérivée $f'(x)$ donne le coefficient directeur de la tangente (la pente de la courbe).

💡 À retenir : $f(x)$ indique "où est le point", $f'(x)$ indique "comment la courbe monte ou descend".

La fonction $f(x)$ donne l'image d'un nombre (la hauteur de la courbe).
La dérivée $f'(x)$ donne le coefficient directeur de la tangente (la pente de la courbe).

💡 À retenir : $f(x)$ indique "où est le point", $f'(x)$ indique "comment la courbe monte ou descend".

Kifach n7seb l'équation de la tangente f'un point a ?

Calcule $f(a)$ en remplaçant $x$ par $a$ dans la fonction.
Calcule $f'(x)$ puis remplace $x$ par $a$ pour trouver $f'(a)$ .
Applique la formule : $y = f'(a)(x - a) + f(a)$ .

💡 À retenir : Il faut toujours deux nombres : $f(a)$ et $f'(a)$ .

Calcule $f(a)$ en remplaçant $x$ par $a$ dans la fonction.
Calcule $f'(x)$ puis remplace $x$ par $a$ pour trouver $f'(a)$.
Applique la formule : $y = f'(a)(x - a) + f(a)$.

💡 À retenir : Il faut toujours deux nombres : $f(a)$ et $f'(a)$.

Est-ce que la dérivée d'une constante est toujours zéro ?

Oui, absolument. Si $f(x) = k$ (où $k$ est un nombre réel), alors $f'(x) = 0$ . Cela s'explique par le fait qu'une constante ne varie jamais, sa pente est donc nulle.

💡 À retenir : La dérivée d'un nombre seul est toujours 0.

Oui, absolument. Si $f(x) = k$ (où $k$ est un nombre réel), alors $f'(x) = 0$. Cela s'explique par le fait qu'une constante ne varie jamais, sa pente est donc nulle.

💡 À retenir : La dérivée d'un nombre seul est toujours 0.

Chno hiya l'utilité dyal tableau de variations ?

Le tableau de variations sert à résumer le comportement de la fonction :

Où la fonction monte (croissante).
Où elle descend (décroissante).
Où elle atteint ses points les plus hauts ou les plus bas (extremums).

💡 À retenir : C'est la "carte d'identité" graphique de ta fonction.

Si f'(x) est négative, est-ce que la fonction est décroissante ?

Oui, tout à fait. Si $f'(x) < 0$ sur un intervalle, alors la fonction $f$ est strictement décroissante sur cet intervalle.

💡 À retenir : Signe moins = descente.

Oui, tout à fait. Si $f'(x) < 0$ sur un intervalle, alors la fonction $f$ est strictement décroissante sur cet intervalle.

💡 À retenir : Signe moins = descente.

Wach n9der nkhrej l'équation de la tangente bla ma n7seb f'(a) ?

Non, c'est impossible. Le coefficient directeur de la tangente est par définition $f'(a)$ . Sans la dérivée, tu ne peux pas connaître l'inclinaison de la droite.

💡 À retenir : $f'(a)$ est indispensable pour la tangente.

Non, c'est impossible. Le coefficient directeur de la tangente est par définition $f'(a)$. Sans la dérivée, tu ne peux pas connaître l'inclinaison de la droite.

💡 À retenir : $f'(a)$ est indispensable pour la tangente.

Comment savoir si une fonction rationnelle est dérivable ?

Une fonction rationnelle est dérivable sur tout intervalle où son dénominateur ne s'annule pas.

Cherche les valeurs qui annulent le dénominateur.
Exclus ces valeurs de ton ensemble de définition.

💡 À retenir : Le dénominateur ne doit jamais être nul.

Est-ce que la dérivée de x^2 est 2x ?

Oui, c'est exact. De manière générale, la dérivée de $x^n$ est $nx^{n-1}$ . Pour $x^2$ , on a $2x^{2-1} = 2x^1 = 2x$ .

💡 À retenir : La puissance "descend" devant et on diminue l'exposant de 1.

Oui, c'est exact. De manière générale, la dérivée de $x^n$ est $nx^{n-1}$. Pour $x^2$, on a $2x^{2-1} = 2x^1 = 2x$.

💡 À retenir : La puissance "descend" devant et on diminue l'exposant de 1.

Pourquoi on met le carré au dénominateur dans la formule du quotient ?

La formule est $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ . Le $v^2$ est au dénominateur car il provient de la règle de dérivation des fonctions composées et garantit que la dérivée est définie là où $v(x) \neq 0$ .

💡 À retenir : Ne jamais oublier le carré sur le dénominateur !

La formule est $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. Le $v^2$ est au dénominateur car il provient de la règle de dérivation des fonctions composées et garantit que la dérivée est définie là où $v(x) \neq 0$.

💡 À retenir : Ne jamais oublier le carré sur le dénominateur !

Est-ce que je dois toujours calculer les limites aux bornes pour le tableau ?

Oui, c'est obligatoire pour compléter le tableau de variations. Les limites aux bornes de l'ensemble de définition permettent de savoir d'où vient la courbe et où elle va.

💡 À retenir : Limites et dérivées sont les deux piliers de l'étude de fonction.

Est-ce que f'(x) peut être égale à 0 ?

Oui. Quand $f'(x) = 0$ , cela signifie que la tangente est horizontale. C'est souvent le cas au sommet d'une bosse ou au fond d'un creux (extremums).

💡 À retenir : $f'(x)=0$ est le point critique pour trouver les extremums.

Oui. Quand $f'(x) = 0$, cela signifie que la tangente est horizontale. C'est souvent le cas au sommet d'une bosse ou au fond d'un creux (extremums).

💡 À retenir : $f'(x)=0$ est le point critique pour trouver les extremums.

Est-ce que la dérivée d'une somme est la somme des dérivées ?

Oui, $(u+v)' = u' + v'$ . C'est une règle très pratique qui permet de dériver chaque terme séparément.

💡 À retenir : On dérive chaque morceau tranquillement.

Oui, $(u+v)' = u' + v'$. C'est une règle très pratique qui permet de dériver chaque terme séparément.

💡 À retenir : On dérive chaque morceau tranquillement.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = \frac{x+1}{x-2}$ .

Déterminer $D_f$ .
Calculer $f'(x)$ pour tout $x \in D_f$ .
Dresser le tableau de variations de $f$ .

Exercice 1

Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = \frac{x+1}{x-2}$.

Déterminer $D_f$.
Calculer $f'(x)$ pour tout $x \in D_f$.
Dresser le tableau de variations de $f$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Soit $g(x) = x^2 - 4x + 3$ .

Calculer $g'(x)$ .
Déterminer le point où la tangente est horizontale.
Donner l'équation de la tangente au point d'abscisse $x=0$ .

Exercice 2

Soit $g(x) = x^2 - 4x + 3$.

Calculer $g'(x)$.
Déterminer le point où la tangente est horizontale.
Donner l'équation de la tangente au point d'abscisse $x=0$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Étudier les variations de $h(x) = \frac{x^2}{x+1}$ sur $]-1, +\infty[$ .

Exercice 3

Étudier les variations de $h(x) = \frac{x^2}{x+1}$ sur $]-1, +\infty[$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Un prof de Mathématiques pour aller plus loin

Les cours du soir avec des profs vérifiés arrivent : inscris-toi pour être prévenu(e) en premier.

Être prévenu(e) gratuitement

Autres chapitres de Mathématiques

المتتالية الترجعية نهاية متتالية التعداد مادة الرياضيات للسنة الثانية باكالوريا آداب وعلوم انسانية الاحتمالات مادة الرياضيات ثانية باكالوريا آداب وعلوم انسانية دراسة الدوال العددية للسنة الثانية باكالوريا دالة اللوغاريتم النبيري رالدالة الأسية النبيرية حساب التكامل النهايات والاتصال الدوال الأصلية