Mathématiques · 2ème Année Bac — Arts appliqués

دالة اللوغاريتم النبيري

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

La fonction logarithme népérien, notée $\ln$ , est la fonction définie sur $]0, +\infty[$ qui est la réciproque de la fonction exponentielle.

Propriétés algébriques : Pour tous $a, b \in ]0, +\infty[$ $a, b \in] 0, + \infty [$ :
- $\ln(a \times b) = \ln(a) + \ln(b)$
- $\ln(\frac{a}{b}) = \ln(a) - \ln(b)$
- $\ln(a^r) = r \ln(a)$ pour tout $r \in \mathbb{Q}$
- $\ln(1) = 0$ et $\ln(e) = 1$
Limites usuelles :
- $\lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty$
- $\lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty$
- $\lim_{x \to 0^+} x \ln(x) = 0$
Dérivée : La fonction $\ln$ est dérivable sur $]0, +\infty[$ et $(\ln(x))' = \frac{1}{x}$ . Pour une fonction $u(x) > 0$ , $(\ln(u(x)))' = \frac{u'(x)}{u(x)}$ .

Méthodes à maîtriser

Déterminer l'ensemble de définition : Pour une expression $\ln(u(x))$ , il faut résoudre l'inéquation $u(x) > 0$ .
Résoudre des équations : Utiliser $\ln(A) = \ln(B) \iff A = B$ (avec $A, B > 0$ ).
Étude de signe : $\ln(x) > 0 \iff x > 1$ et $\ln(x) < 0 \iff 0 < x < 1$ .

Exemples corrigés

Résoudre $\ln(x) = 2$ : On applique l'exponentielle : $e^{\ln(x)} = e^2 \implies x = e^2$ .
Calculer la dérivée de $f(x) = \ln(x^2 + 1)$ : $f'(x) = \frac{(x^2+1)'}{x^2+1} = \frac{2x}{x^2+1}$ .

Erreurs fréquentes

Confondre $\ln(a+b)$ avec $\ln(a) + \ln(b)$ (c'est faux !).
Oublier la condition $x > 0$ avant de résoudre une équation.
Penser que $\ln(x^2) = 2\ln(x)$ sans vérifier si $x$ est positif.

L'essentiel du cours

La fonction logarithme népérien, notée $\ln$, est la fonction définie sur $]0, +\infty[$ qui est la réciproque de la fonction exponentielle.

Propriétés algébriques : Pour tous $a, b \in ]0, +\infty[$ :
- $\ln(a \times b) = \ln(a) + \ln(b)$
- $\ln(\frac{a}{b}) = \ln(a) - \ln(b)$
- $\ln(a^r) = r \ln(a)$ pour tout $r \in \mathbb{Q}$
- $\ln(1) = 0$ et $\ln(e) = 1$
Limites usuelles :
- $\lim_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty$
- $\lim_{x \to +\infty} \ln(x) = +\infty$
- $\lim_{x \to 0^+} x \ln(x) = 0$
Dérivée : La fonction $\ln$ est dérivable sur $]0, +\infty[$ et $(\ln(x))' = \frac{1}{x}$. Pour une fonction $u(x) > 0$, $(\ln(u(x)))' = \frac{u'(x)}{u(x)}$.

Méthodes à maîtriser

Déterminer l'ensemble de définition : Pour une expression $\ln(u(x))$, il faut résoudre l'inéquation $u(x) > 0$.
Résoudre des équations : Utiliser $\ln(A) = \ln(B) \iff A = B$ (avec $A, B > 0$).
Étude de signe : $\ln(x) > 0 \iff x > 1$ et $\ln(x) < 0 \iff 0 < x < 1$.

Exemples corrigés

Résoudre $\ln(x) = 2$ : On applique l'exponentielle : $e^{\ln(x)} = e^2 \implies x = e^2$.
Calculer la dérivée de $f(x) = \ln(x^2 + 1)$ : $f'(x) = \frac{(x^2+1)'}{x^2+1} = \frac{2x}{x^2+1}$.

Erreurs fréquentes

Confondre $\ln(a+b)$ avec $\ln(a) + \ln(b)$ (c'est faux !).
Oublier la condition $x > 0$ avant de résoudre une équation.
Penser que $\ln(x^2) = 2\ln(x)$ sans vérifier si $x$ est positif.

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1/4

Quel est l'ensemble de définition de $f(x) = \ln(2x-4)$ ?

❓ Questions fréquentes

Est-ce que ln(0) existe ?

Non, la fonction $\ln$ n'est définie que sur l'intervalle ouvert $]0, +\infty[$ . Si tu essaies de calculer $\ln(0)$ sur ta calculatrice, elle affichera une erreur. La courbe représentative de la fonction $\ln$ possède une asymptote verticale d'équation $x=0$ (l'axe des ordonnées) car la limite quand $x$ tend vers $0^+$ est $-\infty$ .

💡 À retenir : Le domaine de définition de $\ln(x)$ est strictement positif.

Non, la fonction $\ln$ n'est définie que sur l'intervalle ouvert $]0, +\infty[$. Si tu essaies de calculer $\ln(0)$ sur ta calculatrice, elle affichera une erreur. La courbe représentative de la fonction $\ln$ possède une asymptote verticale d'équation $x=0$ (l'axe des ordonnées) car la limite quand $x$ tend vers $0^+$ est $-\infty$.

💡 À retenir : Le domaine de définition de $\ln(x)$ est strictement positif.

Kifach n7seb domaine de définition dyal ln(x^2-1) ?

Pour trouver le domaine de définition de $f(x) = \ln(x^2-1)$ , il faut résoudre l'inéquation $x^2-1 > 0$ .

On résout $x^2-1 = 0$ , ce qui donne $x=1$ ou $x=-1$ .
On fait un tableau de signe pour $x^2-1$ .
Le polynôme est positif sur $]-\infty, -1[ \cup ]1, +\infty[$ . Donc $D_f = ]-\infty, -1[ \cup ]1, +\infty[$ .

💡 À retenir : L'intérieur du $\ln$ doit toujours être strictement positif.

Pour trouver le domaine de définition de $f(x) = \ln(x^2-1)$, il faut résoudre l'inéquation $x^2-1 > 0$.

On résout $x^2-1 = 0$, ce qui donne $x=1$ ou $x=-1$.
On fait un tableau de signe pour $x^2-1$.
Le polynôme est positif sur $]-\infty, -1[ \cup ]1, +\infty[$. Donc $D_f = ]-\infty, -1[ \cup ]1, +\infty[$.

💡 À retenir : L'intérieur du $\ln$ doit toujours être strictement positif.

Est-ce que ln(x^2) = 2ln(x) est toujours vrai ?

Non, ce n'est pas toujours vrai. La formule $\ln(x^n) = n\ln(x)$ est vraie seulement si $x > 0$ . Si $x$ est négatif, $x^2$ est positif, donc $\ln(x^2)$ existe, mais $\ln(x)$ n'existe pas. La formule correcte pour tout $x \neq 0$ est $\ln(x^2) = 2\ln(|x|)$ .

💡 À retenir : Vérifie toujours le domaine de définition avant d'appliquer les propriétés.

Non, ce n'est pas toujours vrai. La formule $\ln(x^n) = n\ln(x)$ est vraie seulement si $x > 0$. Si $x$ est négatif, $x^2$ est positif, donc $\ln(x^2)$ existe, mais $\ln(x)$ n'existe pas. La formule correcte pour tout $x \neq 0$ est $\ln(x^2) = 2\ln(|x|)$.

💡 À retenir : Vérifie toujours le domaine de définition avant d'appliquer les propriétés.

Kifach n3ref wach ln(x) positive awla négative ?

C'est très simple, il suffit de regarder la valeur de $x$ par rapport à 1 :

Si $x > 1$ , alors $\ln(x) > 0$ .
Si $x = 1$ , alors $\ln(x) = 0$ .
Si $0 < x < 1$ , alors $\ln(x) < 0$ .

💡 À retenir : Le signe de $\ln(x)$ change au point $x=1$ .

C'est très simple, il suffit de regarder la valeur de $x$ par rapport à 1 :

Si $x > 1$, alors $\ln(x) > 0$.
Si $x = 1$, alors $\ln(x) = 0$.
Si $0 < x < 1$, alors $\ln(x) < 0$.

💡 À retenir : Le signe de $\ln(x)$ change au point $x=1$.

Pourquoi ln(1) est égal à 0 ?

Par définition, $\ln(x)$ est la fonction réciproque de $e^x$ . Comme $e^0 = 1$ , alors par réciprocité, $\ln(1) = 0$ . C'est une valeur fondamentale à connaître par cœur pour résoudre les équations.

💡 À retenir : $\ln(1) = 0$ et $\ln(e) = 1$ .

Par définition, $\ln(x)$ est la fonction réciproque de $e^x$. Comme $e^0 = 1$, alors par réciprocité, $\ln(1) = 0$. C'est une valeur fondamentale à connaître par cœur pour résoudre les équations.

💡 À retenir : $\ln(1) = 0$ et $\ln(e) = 1$.

Wach momkin nkhdem b ln(a+b) = ln(a) + ln(b) ?

Non, surtout pas ! C'est l'erreur la plus grave. La règle est $\ln(a \times b) = \ln(a) + \ln(b)$ . Il n'existe aucune formule simplifiée pour $\ln(a+b)$ . Si tu vois $\ln(a+b)$ , tu dois le laisser tel quel.

💡 À retenir : Le logarithme transforme le produit en somme, pas la somme en somme.

Non, surtout pas ! C'est l'erreur la plus grave. La règle est $\ln(a \times b) = \ln(a) + \ln(b)$. Il n'existe aucune formule simplifiée pour $\ln(a+b)$. Si tu vois $\ln(a+b)$, tu dois le laisser tel quel.

💡 À retenir : Le logarithme transforme le produit en somme, pas la somme en somme.

Comment dériver une fonction avec ln ?

Utilise la formule $(\ln(u))' = \frac{u'}{u}$ .

Identifie la fonction $u(x)$ qui est à l'intérieur du $\ln$ .
Calcule sa dérivée $u'(x)$ .
Applique la formule en mettant $u'(x)$ au numérateur et $u(x)$ au dénominateur. Exemple : pour $\ln(3x+2)$ , $u=3x+2$ donc $u'=3$ . La dérivée est $\frac{3}{3x+2}$ .

💡 À retenir : La dérivée de $\ln(u)$ est le rapport de la dérivée de $u$ sur $u$ .

Utilise la formule $(\ln(u))' = \frac{u'}{u}$.

Identifie la fonction $u(x)$ qui est à l'intérieur du $\ln$.
Calcule sa dérivée $u'(x)$.
Applique la formule en mettant $u'(x)$ au numérateur et $u(x)$ au dénominateur. Exemple : pour $\ln(3x+2)$, $u=3x+2$ donc $u'=3$. La dérivée est $\frac{3}{3x+2}$.

💡 À retenir : La dérivée de $\ln(u)$ est le rapport de la dérivée de $u$ sur $u$.

Est-ce que ln(x) est croissante ou décroissante ?

La fonction $\ln$ est strictement croissante sur son domaine $]0, +\infty[$ . Cela signifie que si tu as deux nombres $a$ et $b$ tels que $a < b$ , alors $\ln(a) < \ln(b)$ . C'est pour cela qu'on peut appliquer $\ln$ des deux côtés d'une inégalité sans changer le sens.

💡 À retenir : $\ln$ conserve l'ordre.

La fonction $\ln$ est strictement croissante sur son domaine $]0, +\infty[$. Cela signifie que si tu as deux nombres $a$ et $b$ tels que $a < b$, alors $\ln(a) < \ln(b)$. C'est pour cela qu'on peut appliquer $\ln$ des deux côtés d'une inégalité sans changer le sens.

💡 À retenir : $\ln$ conserve l'ordre.

Comment calculer la limite de ln(x)/x en +infty ?

C'est une limite usuelle du cours. Quand $x$ tend vers $+\infty$ , la fonction $x$ croît beaucoup plus vite que $\ln(x)$ . Donc, $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0$ .

💡 À retenir : La croissance comparée montre que $x$ l'emporte sur $\ln(x)$ .

C'est une limite usuelle du cours. Quand $x$ tend vers $+\infty$, la fonction $x$ croît beaucoup plus vite que $\ln(x)$. Donc, $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0$.

💡 À retenir : La croissance comparée montre que $x$ l'emporte sur $\ln(x)$.

Est-ce que (ln(x))^2 est la même chose que ln(x^2) ?

Non, ce sont deux choses différentes. $(\ln(x))^2$ signifie $\ln(x) \times \ln(x)$ , alors que $\ln(x^2)$ signifie $\ln(x \times x)$ , ce qui est égal à $2\ln(x)$ (pour $x>0$ ).

💡 À retenir : L'exposant sur le $\ln$ ne se déplace pas devant.

Non, ce sont deux choses différentes. $(\ln(x))^2$ signifie $\ln(x) \times \ln(x)$, alors que $\ln(x^2)$ signifie $\ln(x \times x)$, ce qui est égal à $2\ln(x)$ (pour $x>0$).

💡 À retenir : L'exposant sur le $\ln$ ne se déplace pas devant.

Comment résoudre ln(x) < 1 ?

On applique l'exponentielle des deux côtés : $e^{\ln(x)} < e^1$ .
Cela donne $x < e$ .
Comme on est dans le domaine de définition de $\ln$ , on ajoute la condition $x > 0$ .
La solution est $S = ]0, e[$ .

💡 À retenir : N'oublie jamais la condition $x > 0$ dans tes solutions.

On applique l'exponentielle des deux côtés : $e^{\ln(x)} < e^1$.
Cela donne $x < e$.
Comme on est dans le domaine de définition de $\ln$, on ajoute la condition $x > 0$.
La solution est $S = ]0, e[$.

💡 À retenir : N'oublie jamais la condition $x > 0$ dans tes solutions.

Est-ce que ln(x) peut être négatif ?

Oui, tout à fait. Comme on l'a vu, pour tout $x$ compris entre $0$ et $1$ (exclu), $\ln(x)$ est strictement négatif. Par exemple, $\ln(0,5) \approx -0,69$ .

💡 À retenir : $\ln(x) < 0$ pour $x \in ]0, 1[$ .

Oui, tout à fait. Comme on l'a vu, pour tout $x$ compris entre $0$ et $1$ (exclu), $\ln(x)$ est strictement négatif. Par exemple, $\ln(0,5) \approx -0,69$.

💡 À retenir : $\ln(x) < 0$ pour $x \in ]0, 1[$.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $f$ la fonction définie sur $]0, +\infty[$ par $f(x) = \ln(x) - x + 1$ .

Calculer $\lim_{x \to 0^+} f(x)$ et $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ .
Calculer $f'(x)$ pour tout $x \in ]0, +\infty[$ .
Dresser le tableau de variations de $f$ .

Exercice 1

Soit $f$ la fonction définie sur $]0, +\infty[$ par $f(x) = \ln(x) - x + 1$.

Calculer $\lim_{x \to 0^+} f(x)$ et $\lim_{x \to +\infty} f(x)$.
Calculer $f'(x)$ pour tout $x \in ]0, +\infty[$.
Dresser le tableau de variations de $f$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation suivante : $\ln(x+1) + \ln(x-1) = \ln(3)$ .

Exercice 2

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation suivante : $\ln(x+1) + \ln(x-1) = \ln(3)$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de $f(x) = \ln(x)$ au point d'abscisse $a=1$ .

Exercice 3

Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de $f(x) = \ln(x)$ au point d'abscisse $a=1$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

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