Mathématiques · 2ème Année Bac — Arts appliqués

رالدالة الأسية النبيرية

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

1. Définition

La fonction exponentielle népérienne, notée $\exp$ ou $e^x$ , est la fonction réciproque de la fonction logarithme népérien ( $\ln$ ).

Son ensemble de définition est $D_f = \mathbb{R} = ]-\infty, +\infty[$ .
Pour tout $x \in \mathbb{R}$ , $e^x > 0$ .
$e^x = y \iff x = \ln(y)$ (avec $y > 0$ ).

2. Propriétés algébriques

Pour tous réels $a$ et $b$ :

$e^0 = 1$ et $e^1 = e \approx 2,71$
$e^{a+b} = e^a \times e^b$
$e^{a-b} = \frac{e^a}{e^b}$
$e^{-a} = \frac{1}{e^a}$
$(e^a)^n = e^{n \times a}$ (où $n \in \mathbb{Z}$ )

3. Limites usuelles

$\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty$
$\lim_{x \to -\infty} e^x = 0$
$\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x} = +\infty$ (Croissance comparée)
$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$

4. Dérivation et variations

La fonction $x \mapsto e^x$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $(e^x)' = e^x$ .
Comme $e^x > 0$ , la fonction exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ .
Si $u$ est une fonction dérivable, alors $(e^{u(x)})' = u'(x) \times e^{u(x)}$ .

Méthodes à maîtriser

Résoudre $e^{A(x)} = e^{B(x)}$ : Cela revient à résoudre $A(x) = B(x)$ .
Résoudre $e^{A(x)} = k$ :
- Si $k \leq 0$ , l'équation n'a pas de solution.
- Si $k > 0$ , on écrit $A(x) = \ln(k)$ .
Étudier le signe de $e^x - k$ : On cherche quand $e^x = k \implies x = \ln(k)$ . Si $x > \ln(k)$ , alors $e^x - k > 0$ .

Exemples corrigés

Calcul : Simplifier $A = \frac{e^3 \times e^{-1}}{e^2}$ . $A = \frac{e^{3-1}}{e^2} = \frac{e^2}{e^2} = 1$ .
Équation : Résoudre $e^{2x} = 1$ . $e^{2x} = e^0 \implies 2x = 0 \implies x = 0$ .
Dérivée : Calculer la dérivée de $f(x) = e^{3x+1}$ . $f'(x) = (3x+1)' \times e^{3x+1} = 3e^{3x+1}$ .

Erreurs fréquentes

Écrire que $e^x$ peut être négatif (C'est impossible, $e^x$ est toujours $> 0$ ).
Confondre $(e^x)^2$ avec $e^{(x^2)}$ . Rappel : $(e^x)^2 = e^{2x}$ .
Oublier de dériver l'exposant : la dérivée de $e^{5x}$ n'est pas $e^{5x}$ , mais $5e^{5x}$ .

L'essentiel du cours

1. Définition

La fonction exponentielle népérienne, notée $\exp$ ou $e^x$, est la fonction réciproque de la fonction logarithme népérien ($\ln$).

Son ensemble de définition est $D_f = \mathbb{R} = ]-\infty, +\infty[$.
Pour tout $x \in \mathbb{R}$, $e^x > 0$.
$e^x = y \iff x = \ln(y)$ (avec $y > 0$).

2. Propriétés algébriques

Pour tous réels $a$ et $b$ :

$e^0 = 1$ et $e^1 = e \approx 2,71$
$e^{a+b} = e^a \times e^b$
$e^{a-b} = \frac{e^a}{e^b}$
$e^{-a} = \frac{1}{e^a}$
$(e^a)^n = e^{n \times a}$ (où $n \in \mathbb{Z}$)

3. Limites usuelles

$\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty$
$\lim_{x \to -\infty} e^x = 0$
$\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x} = +\infty$ (Croissance comparée)
$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$

4. Dérivation et variations

La fonction $x \mapsto e^x$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $(e^x)' = e^x$.
Comme $e^x > 0$, la fonction exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
Si $u$ est une fonction dérivable, alors $(e^{u(x)})' = u'(x) \times e^{u(x)}$.

Méthodes à maîtriser

Résoudre $e^{A(x)} = e^{B(x)}$ : Cela revient à résoudre $A(x) = B(x)$.
Résoudre $e^{A(x)} = k$ :
- Si $k \leq 0$, l'équation n'a pas de solution.
- Si $k > 0$, on écrit $A(x) = \ln(k)$.
Étudier le signe de $e^x - k$ : On cherche quand $e^x = k \implies x = \ln(k)$. Si $x > \ln(k)$, alors $e^x - k > 0$.

Exemples corrigés

Calcul : Simplifier $A = \frac{e^3 \times e^{-1}}{e^2}$. $A = \frac{e^{3-1}}{e^2} = \frac{e^2}{e^2} = 1$.
Équation : Résoudre $e^{2x} = 1$. $e^{2x} = e^0 \implies 2x = 0 \implies x = 0$.
Dérivée : Calculer la dérivée de $f(x) = e^{3x+1}$. $f'(x) = (3x+1)' \times e^{3x+1} = 3e^{3x+1}$.

Erreurs fréquentes

Écrire que $e^x$ peut être négatif (C'est impossible, $e^x$ est toujours $> 0$).
Confondre $(e^x)^2$ avec $e^{(x^2)}$. Rappel : $(e^x)^2 = e^{2x}$.
Oublier de dériver l'exposant : la dérivée de $e^{5x}$ n'est pas $e^{5x}$, mais $5e^{5x}$.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 رالدالة الأسية النبيرية

1/4

Quelle est la valeur exacte de $e^0$ ?

❓ Questions fréquentes

Est-ce que e^x peut être égal à un nombre négatif ?

Non, c'est impossible. Par définition, la fonction exponentielle est strictement positive sur tout son ensemble de définition $\mathbb{R}$ . Quel que soit le nombre réel $x$ que vous choisissez (positif, négatif ou nul), $e^x$ sera toujours supérieur à zéro.

Si $x > 0$ , $e^x > 1$ .
Si $x = 0$ , $e^0 = 1$ .
Si $x < 0$ , $0 < e^x < 1$ .

💡 À retenir : L'équation $e^x = -5$ n'a aucune solution dans $\mathbb{R}$ .

Non, c'est impossible. Par définition, la fonction exponentielle est strictement positive sur tout son ensemble de définition $\mathbb{R}$. Quel que soit le nombre réel $x$ que vous choisissez (positif, négatif ou nul), $e^x$ sera toujours supérieur à zéro.

Si $x > 0$, $e^x > 1$.
Si $x = 0$, $e^0 = 1$.
Si $x < 0$, $0 < e^x < 1$.

💡 À retenir : L'équation $e^x = -5$ n'a aucune solution dans $\mathbb{R}$.

Kifach n7seb l'mouchtaqa (dérivée) dyal e^{2x+3} ?

Pour dériver une fonction de la forme $e^{u(x)}$ , on utilise la règle : $(e^u)' = u' \times e^u$ .

Identifie $u(x)$ : ici $u(x) = 2x + 3$ .
Calcule la dérivée de $u(x)$ : $u'(x) = 2$ .
Applique la formule : la dérivée est $2 \times e^{2x+3}$ .

💡 À retenir : On fait descendre la dérivée de ce qui est "en haut" devant l'exponentielle.

Pour dériver une fonction de la forme $e^{u(x)}$, on utilise la règle : $(e^u)' = u' \times e^u$.

Identifie $u(x)$ : ici $u(x) = 2x + 3$.
Calcule la dérivée de $u(x)$ : $u'(x) = 2$.
Applique la formule : la dérivée est $2 \times e^{2x+3}$.

💡 À retenir : On fait descendre la dérivée de ce qui est "en haut" devant l'exponentielle.

Comment résoudre l'équation e^x = 7 ?

Pour "annuler" l'exponentielle et trouver $x$ , on utilise sa fonction réciproque, le logarithme népérien ( $\ln$ ).

On applique $\ln$ des deux côtés : $\ln(e^x) = \ln(7)$ .
On sait que $\ln(e^x) = x$ .
Donc $x = \ln(7)$ .

💡 À retenir : L'exponentielle et le logarithme se "suppriment" entre eux : $\ln(e^A) = A$ .

Pour "annuler" l'exponentielle et trouver $x$, on utilise sa fonction réciproque, le logarithme népérien ($\ln$).

On applique $\ln$ des deux côtés : $\ln(e^x) = \ln(7)$.
On sait que $\ln(e^x) = x$.
Donc $x = \ln(7)$.

💡 À retenir : L'exponentielle et le logarithme se "suppriment" entre eux : $\ln(e^A) = A$.

Chno hiya l'limite dyal e^x fach x kaimchi l -infty ?

La limite de $e^x$ quand $x$ tend vers $-\infty$ est égale à $0$ . Graphiquement, cela signifie que la courbe de la fonction s'approche de l'axe des abscisses (l'axe horizontal) sans jamais le toucher quand on part très loin vers la gauche.

💡 À retenir : $\lim_{x \to -\infty} e^x = 0$ .

La limite de $e^x$ quand $x$ tend vers $-\infty$ est égale à $0$. Graphiquement, cela signifie que la courbe de la fonction s'approche de l'axe des abscisses (l'axe horizontal) sans jamais le toucher quand on part très loin vers la gauche.

💡 À retenir : $\lim_{x \to -\infty} e^x = 0$.

Quelle est la différence entre e^x et ln(x) ?

Ce sont des fonctions réciproques l'une de l'autre :

$e^x$ accepte n'importe quel nombre réel $x$ , mais donne toujours un résultat positif.
$\ln(x)$ n'accepte que des nombres strictement positifs ( $x > 0$ ), et son résultat peut être négatif ou positif.
Leurs courbes sont symétriques par rapport à la droite $y = x$ .

💡 À retenir : $e^{\ln(x)} = x$ et $\ln(e^x) = x$ .

Ce sont des fonctions réciproques l'une de l'autre :

$e^x$ accepte n'importe quel nombre réel $x$, mais donne toujours un résultat positif.
$\ln(x)$ n'accepte que des nombres strictement positifs ($x > 0$), et son résultat peut être négatif ou positif.
Leurs courbes sont symétriques par rapport à la droite $y = x$.

💡 À retenir : $e^{\ln(x)} = x$ et $\ln(e^x) = x$.

Kifach n3ref l'ichara (signe) dyal e^x - 1 ?

Pour trouver le signe, on résout d'abord l'équation $e^x - 1 = 0$ .

$e^x = 1 \implies e^x = e^0 \implies x = 0$ .
Si $x > 0$ , alors $e^x > e^0$ , donc $e^x - 1$ est positif (+).
Si $x < 0$ , alors $e^x < e^0$ , donc $e^x - 1$ est négatif (-).

💡 À retenir : $e^x - 1$ change de signe en $x=0$ .

Pour trouver le signe, on résout d'abord l'équation $e^x - 1 = 0$.

$e^x = 1 \implies e^x = e^0 \implies x = 0$.
Si $x > 0$, alors $e^x > e^0$, donc $e^x - 1$ est positif (+).
Si $x < 0$, alors $e^x < e^0$, donc $e^x - 1$ est négatif (-).

💡 À retenir : $e^x - 1$ change de signe en $x=0$.

Pourquoi dit-on que la fonction exponentielle est strictement croissante ?

Une fonction est croissante si sa dérivée est positive.

La dérivée de $e^x$ est $e^x$ .
On sait que $e^x$ est toujours strictement positif ( $> 0$ ).
Puisque la dérivée est toujours positive, la fonction ne fait que monter.

💡 À retenir : Si $a < b$ , alors $e^a < e^b$ .

Une fonction est croissante si sa dérivée est positive.

La dérivée de $e^x$ est $e^x$.
On sait que $e^x$ est toujours strictement positif ($> 0$).
Puisque la dérivée est toujours positive, la fonction ne fait que monter.

💡 À retenir : Si $a < b$, alors $e^a < e^b$.

Comment simplifier l'expression (e^x)^3 times e^{-2x} ?

On utilise les règles des puissances :

$(e^x)^3 = e^{3x}$ (on multiplie les exposants).
$e^{3x} \times e^{-2x} = e^{3x + (-2x)}$ (on additionne les exposants).
$3x - 2x = x$ , donc le résultat est $e^x$ .

💡 À retenir : Les règles des exposants classiques s'appliquent à $e$ .

On utilise les règles des puissances :

$(e^x)^3 = e^{3x}$ (on multiplie les exposants).
$e^{3x} \times e^{-2x} = e^{3x + (-2x)}$ (on additionne les exposants).
$3x - 2x = x$, donc le résultat est $e^x$.

💡 À retenir : Les règles des exposants classiques s'appliquent à $e$.

C'est quoi le nombre e exactement ?

Le nombre $e$ est une constante mathématique irrationnelle, appelée base des logarithmes népériens ou nombre d'Euler.

Sa valeur approchée est $2,71828...$
C'est l'unique nombre tel que $\ln(e) = 1$ .
C'est aussi l'image de 1 par la fonction exponentielle : $e^1 = e$ .

💡 À retenir : $e \approx 2,71$ .

Le nombre $e$ est une constante mathématique irrationnelle, appelée base des logarithmes népériens ou nombre d'Euler.

Sa valeur approchée est $2,71828...$
C'est l'unique nombre tel que $\ln(e) = 1$.
C'est aussi l'image de 1 par la fonction exponentielle : $e^1 = e$.

💡 À retenir : $e \approx 2,71$.

Comment calculer la limite lim{x to +infty} (e^x - x) ?

C'est une forme indéterminée " $\infty - \infty$ ". On doit factoriser par le terme le plus fort ( $e^x$ ).

$e^x - x = e^x (1 - \frac{x}{e^x})$ .
On sait que $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x} = +\infty$ , donc son inverse $\lim_{x \to +\infty} \frac{x}{e^x} = 0$ .
La parenthèse tend vers $(1 - 0) = 1$ .
Comme $e^x \to +\infty$ , le produit tend vers $+\infty$ .

💡 À retenir : L'exponentielle "l'emporte" toujours sur $x$ à l'infini.

C'est une forme indéterminée "$\infty - \infty$". On doit factoriser par le terme le plus fort ($e^x$).

$e^x - x = e^x (1 - \frac{x}{e^x})$.
On sait que $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x} = +\infty$, donc son inverse $\lim_{x \to +\infty} \frac{x}{e^x} = 0$.
La parenthèse tend vers $(1 - 0) = 1$.
Comme $e^x \to +\infty$, le produit tend vers $+\infty$.

💡 À retenir : L'exponentielle "l'emporte" toujours sur $x$ à l'infini.

Quelle est l'équation de la tangente à la courbe de e^x au point d'abscisse 0 ?

La formule de la tangente est $y = f'(a)(x-a) + f(a)$ . Ici $a=0$ et $f(x)=e^x$ .

$f(0) = e^0 = 1$ .
$f'(x) = e^x$ , donc $f'(0) = e^0 = 1$ .
$y = 1(x-0) + 1 \implies y = x + 1$ .

💡 À retenir : La droite $y = x + 1$ est la tangente en 0.

La formule de la tangente est $y = f'(a)(x-a) + f(a)$. Ici $a=0$ et $f(x)=e^x$.

$f(0) = e^0 = 1$.
$f'(x) = e^x$, donc $f'(0) = e^0 = 1$.
$y = 1(x-0) + 1 \implies y = x + 1$.

💡 À retenir : La droite $y = x + 1$ est la tangente en 0.

Est-ce que frac{1}{e^x} est la même chose que e^{-x} ?

Oui, absolument. C'est une propriété fondamentale de l'exponentielle.

Par exemple, $\frac{1}{e^2} = e^{-2}$ .
Cela permet souvent de simplifier des calculs ou des dérivées complexes en transformant une fraction en une puissance négative.

💡 À retenir : $\frac{1}{e^A} = e^{-A}$ .

Oui, absolument. C'est une propriété fondamentale de l'exponentielle.

Par exemple, $\frac{1}{e^2} = e^{-2}$.
Cela permet souvent de simplifier des calculs ou des dérivées complexes en transformant une fraction en une puissance négative.

💡 À retenir : $\frac{1}{e^A} = e^{-A}$.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Exercice 1 : Équations et simplifications (4 points)

Simplifier l'expression suivante : $A = \frac{(e^x)^2 \times e^3}{e^{2x+1}}$ .
Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes : a) $e^{x+5} = e^{2x-1}$ b) $e^{2x} - 3e^x = 0$

Exercice 1

Exercice 1 : Équations et simplifications (4 points)

Simplifier l'expression suivante : $A = \frac{(e^x)^2 \times e^3}{e^{2x+1}}$.
Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes : a) $e^{x+5} = e^{2x-1}$ b) $e^{2x} - 3e^x = 0$

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Exercice 2 : Étude de fonction (8 points) Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = e^x - x$ .

Calculer $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ (Indication : factoriser par $x$ ).
Calculer $\lim_{x \to -\infty} f(x)$ .
Calculer la dérivée $f'(x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ .
Étudier le signe de $f'(x)$ et dresser le tableau de variations de $f$ .
En déduire que pour tout $x \in \mathbb{R}$ , $e^x > x$ .

Exercice 2

Exercice 2 : Étude de fonction (8 points) Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = e^x - x$.

Calculer $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ (Indication : factoriser par $x$).
Calculer $\lim_{x \to -\infty} f(x)$.
Calculer la dérivée $f'(x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.
Étudier le signe de $f'(x)$ et dresser le tableau de variations de $f$.
En déduire que pour tout $x \in \mathbb{R}$, $e^x > x$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Exercice 3 : Problème (8 points) Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = (x-1)e^x + 1$ .

Montrer que $g'(x) = x e^x$ .
Étudier le signe de $g'(x)$ sur $\mathbb{R}$ .
Dresser le tableau de variations de $g$ (sans les limites).
Calculer $g(0)$ . En déduire le signe de $g(x)$ sur $\mathbb{R}$ .

Exercice 3

Exercice 3 : Problème (8 points) Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = (x-1)e^x + 1$.

Montrer que $g'(x) = x e^x$.
Étudier le signe de $g'(x)$ sur $\mathbb{R}$.
Dresser le tableau de variations de $g$ (sans les limites).
Calculer $g(0)$. En déduire le signe de $g(x)$ sur $\mathbb{R}$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

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