Analyse — MPSI · MPSI

Suites numériques

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Définition : Une suite est une application $u : \mathbb{N} \to \mathbb{R}$ .
Monotonie : $(u_n)$ est croissante si $\forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1} - u_n \geq 0$ .
Bornes : $(u_n)$ est majorée s'il existe $M \in \mathbb{R}$ tel que $\forall n \in \mathbb{N}, u_n \leq M$ .
Convergence : $(u_n)$ converge vers $l \in \mathbb{R}$ si $\forall \varepsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}, \forall n \geq N, |u_n - l| < \varepsilon$ .
Théorèmes fondamentaux :
- Toute suite croissante et majorée est convergente.
- Théorème de la limite monotone (pour les suites monotones).
- Théorème des gendarmes et opérations sur les limites.
- Suites adjacentes : $(u_n)$ croissante, $(v_n)$ décroissante et $\lim (u_n - v_n) = 0 \implies$ convergence vers une limite commune.

Méthodes à maîtriser

Étude de monotonie : Étudier le signe de $u_{n+1} - u_n$ ou comparer $u_{n+1}/u_n$ à 1 (si $u_n > 0$ ).
Récurrence : Indispensable pour montrer qu'une suite est majorée/minorée ou pour établir une propriété.
Suites définies par $u_{n+1} = f(u_n)$ : Si $f$ est continue et $u_n \to l$ , alors $f(l) = l$ .
Utilisation des suites extraites : Si $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$ convergent vers la même limite $l$ , alors $(u_n)$ converge vers $l$ .

Exemples corrigés

Exemple 1 : Montrer que $u_n = \frac{1}{n}$ tend vers 0. Soit $\varepsilon > 0$ . On veut $\frac{1}{n} < \varepsilon \iff n > \frac{1}{\varepsilon}$ . En posant $N = \lfloor \frac{1}{\varepsilon} \rfloor + 1$ , on a bien $|u_n - 0| < \varepsilon$ pour $n \geq N$ .
Exemple 2 : Soit $u_{n+1} = \sqrt{u_n+2}$ avec $u_0=0$ . Par récurrence, $0 \leq u_n < 2$ . $u_{n+1}-u_n = \frac{-u_n^2+u_n+2}{\sqrt{u_n+2}+u_n} = \frac{-(u_n-2)(u_n+1)}{\dots} \geq 0$ . La suite est croissante et majorée, donc convergente vers $l$ tel que $l = \sqrt{l+2} \implies l=2$ .

Erreurs fréquentes

Confondre "suite bornée" et "suite convergente" (ex: $(-1)^n$ est bornée mais diverge).
Oublier de vérifier la continuité de $f$ avant de poser $f(l)=l$ .
Affirmer qu'une suite est croissante sans vérifier le signe de la différence.

L'essentiel du cours

Définition : Une suite est une application $u : \mathbb{N} \to \mathbb{R}$.
Monotonie : $(u_n)$ est croissante si $\forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1} - u_n \geq 0$.
Bornes : $(u_n)$ est majorée s'il existe $M \in \mathbb{R}$ tel que $\forall n \in \mathbb{N}, u_n \leq M$.
Convergence : $(u_n)$ converge vers $l \in \mathbb{R}$ si $\forall \varepsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}, \forall n \geq N, |u_n - l| < \varepsilon$.
Théorèmes fondamentaux :
- Toute suite croissante et majorée est convergente.
- Théorème de la limite monotone (pour les suites monotones).
- Théorème des gendarmes et opérations sur les limites.
- Suites adjacentes : $(u_n)$ croissante, $(v_n)$ décroissante et $\lim (u_n - v_n) = 0 \implies$ convergence vers une limite commune.

Méthodes à maîtriser

Étude de monotonie : Étudier le signe de $u_{n+1} - u_n$ ou comparer $u_{n+1}/u_n$ à 1 (si $u_n > 0$).
Récurrence : Indispensable pour montrer qu'une suite est majorée/minorée ou pour établir une propriété.
Suites définies par $u_{n+1} = f(u_n)$ : Si $f$ est continue et $u_n \to l$, alors $f(l) = l$.
Utilisation des suites extraites : Si $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$ convergent vers la même limite $l$, alors $(u_n)$ converge vers $l$.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Montrer que $u_n = \frac{1}{n}$ tend vers 0. Soit $\varepsilon > 0$. On veut $\frac{1}{n} < \varepsilon \iff n > \frac{1}{\varepsilon}$. En posant $N = \lfloor \frac{1}{\varepsilon} \rfloor + 1$, on a bien $|u_n - 0| < \varepsilon$ pour $n \geq N$.
Exemple 2 : Soit $u_{n+1} = \sqrt{u_n+2}$ avec $u_0=0$. Par récurrence, $0 \leq u_n < 2$. $u_{n+1}-u_n = \frac{-u_n^2+u_n+2}{\sqrt{u_n+2}+u_n} = \frac{-(u_n-2)(u_n+1)}{\dots} \geq 0$. La suite est croissante et majorée, donc convergente vers $l$ tel que $l = \sqrt{l+2} \implies l=2$.

Erreurs fréquentes

Confondre "suite bornée" et "suite convergente" (ex: $(-1)^n$ est bornée mais diverge).
Oublier de vérifier la continuité de $f$ avant de poser $f(l)=l$.
Affirmer qu'une suite est croissante sans vérifier le signe de la différence.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Suites numériques

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Soit $u_n$ une suite croissante. Laquelle de ces propositions est vraie ?

❓ Questions fréquentes

Est-ce que toute suite bornée est convergente ?

Non. Exemple : $u_n = (-1)^n$ . Elle est bornée par 1, mais elle ne converge pas car elle oscille entre -1 et 1.

💡 À retenir : Bornée est une condition nécessaire mais pas suffisante pour la convergence.

Non. Exemple : $u_n = (-1)^n$. Elle est bornée par 1, mais elle ne converge pas car elle oscille entre -1 et 1.

💡 À retenir : Bornée est une condition nécessaire mais pas suffisante pour la convergence.

Comment prouver qu'une suite est adjacente ?

Montrer que $(u_n)$ est croissante.
Montrer que $(v_n)$ est décroissante.
Montrer que $\lim (u_n - v_n) = 0$ .

💡 À retenir : Si ces trois conditions sont réunies, alors les deux suites convergent vers la même limite.

Montrer que $(u_n)$ est croissante.
Montrer que $(v_n)$ est décroissante.
Montrer que $\lim (u_n - v_n) = 0$.

💡 À retenir : Si ces trois conditions sont réunies, alors les deux suites convergent vers la même limite.

Kifach n7seb la limite dyal suite u{n+1} = f(un) ila ma3reftch wach convergente ?

Il faut d'abord prouver la convergence.
Montre que la suite est monotone (croissante ou décroissante).
Montre qu'elle est bornée (par récurrence).
Une fois la convergence assurée, tu peux résoudre $f(l) = l$ .

💡 À retenir : On ne peut pas calculer la limite par $f(l)=l$ sans avoir démontré au préalable que la suite converge.

Il faut d'abord prouver la convergence.
Montre que la suite est monotone (croissante ou décroissante).
Montre qu'elle est bornée (par récurrence).
Une fois la convergence assurée, tu peux résoudre $f(l) = l$.

💡 À retenir : On ne peut pas calculer la limite par $f(l)=l$ sans avoir démontré au préalable que la suite converge.

Est-ce qu'une suite qui n'est pas monotone peut converger ?

Oui, absolument. Le théorème de la limite monotone est une condition suffisante, mais pas nécessaire.

Exemple : $u_n = \frac{(-1)^n}{n}$ .
Cette suite oscille autour de 0, elle n'est ni croissante ni décroissante.
Pourtant, $|u_n| = \frac{1}{n} \to 0$ , donc $u_n \to 0$ .

💡 À retenir : La monotonie facilite l'étude, mais la convergence peut être prouvée par encadrement ou par la définition avec $\varepsilon$ .

Oui, absolument. Le théorème de la limite monotone est une condition suffisante, mais pas nécessaire.

Exemple : $u_n = \frac{(-1)^n}{n}$.
Cette suite oscille autour de 0, elle n'est ni croissante ni décroissante.
Pourtant, $|u_n| = \frac{1}{n} \to 0$, donc $u_n \to 0$.

💡 À retenir : La monotonie facilite l'étude, mais la convergence peut être prouvée par encadrement ou par la définition avec $\varepsilon$.

Wach ila kan un leq vn o un to l, vn khasha tkon katconverger l l ?

Non, pas forcément.

Prends $u_n = 0$ (qui tend vers 0) et $v_n = \frac{1}{n}$ . On a $0 \leq \frac{1}{n}$ , donc $v_n \to 0$ . Ça marche.
Mais prends $u_n = 0$ et $v_n = 1$ . On a $0 \leq 1$ , mais $v_n$ ne tend pas vers 0.

💡 À retenir : Si $u_n \leq v_n$ , on peut seulement dire que si les deux convergent, alors $\lim u_n \leq \lim v_n$ .

Non, pas forcément.

Prends $u_n = 0$ (qui tend vers 0) et $v_n = \frac{1}{n}$. On a $0 \leq \frac{1}{n}$, donc $v_n \to 0$. Ça marche.
Mais prends $u_n = 0$ et $v_n = 1$. On a $0 \leq 1$, mais $v_n$ ne tend pas vers 0.

💡 À retenir : Si $u_n \leq v_n$, on peut seulement dire que si les deux convergent, alors $\lim u_n \leq \lim v_n$.

Comment montrer qu'une suite est divergente ?

Montrer qu'elle n'est pas bornée (elle tend vers $+\infty$ ou $-\infty$ ).
Montrer qu'elle possède deux sous-suites qui convergent vers des limites différentes (ex: $u_{2n} \to 1$ et $u_{2n+1} \to -1$ ).
Montrer qu'elle n'est pas de Cauchy (à vérifier par le professeur si au programme, sinon utiliser la définition de la limite).

💡 À retenir : La méthode des sous-suites est la plus efficace pour les suites oscillantes.

Montrer qu'elle n'est pas bornée (elle tend vers $+\infty$ ou $-\infty$).
Montrer qu'elle possède deux sous-suites qui convergent vers des limites différentes (ex: $u_{2n} \to 1$ et $u_{2n+1} \to -1$).
Montrer qu'elle n'est pas de Cauchy (à vérifier par le professeur si au programme, sinon utiliser la définition de la limite).

💡 À retenir : La méthode des sous-suites est la plus efficace pour les suites oscillantes.

Chno hiya la différence bin suite majorée et suite qui tend vers +infty ?

Une suite majorée est une suite dont tous les termes sont inférieurs à un nombre fixe $M$ . Elle ne peut pas dépasser ce plafond.
Une suite qui tend vers $+\infty$ est une suite qui finit par dépasser n'importe quel nombre $A$ , aussi grand soit-il.
Donc, une suite qui tend vers $+\infty$ n'est jamais majorée.

💡 À retenir : Majorée = "plafonnée", $+\infty$ = "non plafonnée et croissante vers l'infini".

Une suite majorée est une suite dont tous les termes sont inférieurs à un nombre fixe $M$. Elle ne peut pas dépasser ce plafond.
Une suite qui tend vers $+\infty$ est une suite qui finit par dépasser n'importe quel nombre $A$, aussi grand soit-il.
Donc, une suite qui tend vers $+\infty$ n'est jamais majorée.

💡 À retenir : Majorée = "plafonnée", $+\infty$ = "non plafonnée et croissante vers l'infini".

Est-ce qu'une suite de Cauchy est toujours convergente dans mathbb{R} ?

Oui, dans $\mathbb{R}$ , toute suite de Cauchy est convergente. C'est la propriété de complétude de $\mathbb{R}$ .

💡 À retenir : C'est un résultat fondamental du chapitre sur les nombres réels.

Oui, dans $\mathbb{R}$, toute suite de Cauchy est convergente. C'est la propriété de complétude de $\mathbb{R}$.

💡 À retenir : C'est un résultat fondamental du chapitre sur les nombres réels.

Comment utiliser le théorème des gendarmes ?

Tu dois encadrer ton terme $u_n$ par deux suites $v_n$ et $w_n$ telles que $v_n \leq u_n \leq w_n$ .
Tu dois prouver que $\lim v_n = l$ et $\lim w_n = l$ .
Alors, par le théorème des gendarmes, $\lim u_n = l$ .

💡 À retenir : Il faut que les deux "gendarmes" convergent vers la même limite.

Tu dois encadrer ton terme $u_n$ par deux suites $v_n$ et $w_n$ telles que $v_n \leq u_n \leq w_n$.
Tu dois prouver que $\lim v_n = l$ et $\lim w_n = l$.
Alors, par le théorème des gendarmes, $\lim u_n = l$.

💡 À retenir : Il faut que les deux "gendarmes" convergent vers la même limite.

Wach momkin nst3ml récurrence bach nebyn monotonie ?

Oui, c'est même la méthode standard.

Pour montrer $u_{n+1} \geq u_n$ , tu calcules $u_{n+1} - u_n$ .
Si le signe dépend de $u_n$ , tu utilises l'hypothèse de récurrence pour montrer que $u_n$ est dans un intervalle où le signe est constant.

💡 À retenir : La récurrence est l'outil principal pour manipuler les suites définies par récurrence.

Oui, c'est même la méthode standard.

Pour montrer $u_{n+1} \geq u_n$, tu calcules $u_{n+1} - u_n$.
Si le signe dépend de $u_n$, tu utilises l'hypothèse de récurrence pour montrer que $u_n$ est dans un intervalle où le signe est constant.

💡 À retenir : La récurrence est l'outil principal pour manipuler les suites définies par récurrence.

Si un to l, est-ce que u{n+1} to l ?

Oui, car $(u_{n+1})$ est une sous-suite de $(u_n)$ (c'est la suite décalée). Si une suite converge, toutes ses sous-suites convergent vers la même limite.

💡 À retenir : La limite d'une suite ne dépend pas des premiers termes.

Oui, car $(u_{n+1})$ est une sous-suite de $(u_n)$ (c'est la suite décalée). Si une suite converge, toutes ses sous-suites convergent vers la même limite.

💡 À retenir : La limite d'une suite ne dépend pas des premiers termes.

Pourquoi on étudie souvent u{n+1}/un pour la monotonie ?

On l'utilise quand tous les termes $u_n$ sont strictement positifs.
Si $u_{n+1}/u_n \geq 1$ , alors $u_{n+1} \geq u_n$ (croissante).
C'est très pratique pour les suites géométriques ou les factorielles.

💡 À retenir : Attention, si $u_n < 0$ , le sens de l'inégalité s'inverse !

On l'utilise quand tous les termes $u_n$ sont strictement positifs.
Si $u_{n+1}/u_n \geq 1$, alors $u_{n+1} \geq u_n$ (croissante).
C'est très pratique pour les suites géométriques ou les factorielles.

💡 À retenir : Attention, si $u_n < 0$, le sens de l'inégalité s'inverse !

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \frac{1}{2}(u_n + \frac{2}{u_n})$ .

Montrer que $\forall n \in \mathbb{N}, u_n \geq \sqrt{2}$ .
Étudier la monotonie de $(u_n)$ .
En déduire que $(u_n)$ converge et calculer sa limite.

Exercice 1

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \frac{1}{2}(u_n + \frac{2}{u_n})$.

Montrer que $\forall n \in \mathbb{N}, u_n \geq \sqrt{2}$.
Étudier la monotonie de $(u_n)$.
En déduire que $(u_n)$ converge et calculer sa limite.

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Exercice 2

Soient $u_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2}$ et $v_n = u_n + \frac{1}{n}$ . Montrer que $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes.

Exercice 2

Soient $u_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2}$ et $v_n = u_n + \frac{1}{n}$. Montrer que $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Soit $u_n = \sin(n)$ . Étudier la convergence de $(u_n)$ .

Exercice 3

Soit $u_n = \sin(n)$. Étudier la convergence de $(u_n)$.

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