Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.
📘 Fiche de cours
L'essentiel du cours
Dérivabilité en un point : Soit $f: I \to \mathbb{R}$ et $a \in I$. $f$ est dérivable en $a$ si le taux d'accroissement $\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ admet une limite finie $L$ quand $x \to a$. On note $f'(a) = L$.
Interprétation géométrique : La courbe $C_f$ admet une tangente au point d'abscisse $a$ d'équation $y = f'(a)(x-a) + f(a)$.
Dérivabilité à gauche/droite : Utiliser les limites à gauche et à droite du taux d'accroissement. $f$ est dérivable en $a$ ssi $f'_g(a) = f'_d(a)$.
Opérations : Somme, produit, quotient et composée de fonctions dérivables.
Théorème de Rolle : Si $f$ est continue sur $[a, b]$, dérivable sur $]a, b[$ et $f(a)=f(b)$, alors $\exists c \in ]a, b[$ tel que $f'(c)=0$.
Accroissements finis (TAF) : Si $f$ est continue sur $[a, b]$ et dérivable sur $]a, b[$, alors $\exists c \in ]a, b[$ tel que $f(b)-f(a) = f'(c)(b-a)$.
Méthodes à maîtriser
Étude de la dérivabilité en un point de raccordement : Calculer séparément les limites à gauche et à droite du taux d'accroissement.
Application du TAF : Pour encadrer une fonction ou prouver une inégalité, on applique le TAF sur un intervalle $[x, y]$ ou $[0, x]$.
Dérivée d'une fonction réciproque : Si $f$ est bijective, dérivable en $a$ avec $f'(a) \neq 0$, alors $f^{-1}$ est dérivable en $f(a)$ et $(f^{-1})'(f(a)) = \frac{1}{f'(a)}$.
Exemples corrigés
Exemple 1 : Soit $f(x) = |x-1|$. En $x=1$, $\frac{f(x)-f(1)}{x-1} = \frac{|x-1|}{x-1}$. La limite à droite est $1$, à gauche est $-1$. $f$ n'est pas dérivable en $1$.
Exemple 2 : Soit $f(x) = x^2 \sin(1/x)$ pour $x \neq 0$ et $f(0)=0$. $\frac{f(x)-f(0)}{x-0} = x \sin(1/x)$. Par le théorème des gendarmes, la limite est $0$. $f$ est dérivable en $0$ et $f'(0)=0$.
Erreurs fréquentes
Confondre dérivabilité et continuité : une fonction peut être continue sans être dérivable (ex: $|x|$ en $0$).
Oublier de vérifier que $f'(c) \neq 0$ avant d'utiliser la formule de la dérivée de la réciproque.
Appliquer le TAF sur un intervalle où la fonction n'est pas dérivable.
🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR
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Soit $f(x) = |x-2|$. La fonction est-elle dérivable en $2$ ?
❓ Questions fréquentes
Est-ce qu'une fonction dérivable est toujours continue ?
Oui, c'est un théorème fondamental. Si $f$ est dérivable en $a$, alors elle est nécessairement continue en $a$.
On écrit $f(x) - f(a) = \frac{f(x)-f(a)}{x-a} \times (x-a)$.
Quand $x \to a$, le premier terme tend vers $f'(a)$ et le second vers $0$.
Le produit tend donc vers $0$, ce qui signifie que $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$.
💡 À retenir : Dérivabilité $\implies$ Continuité, mais la réciproque est fausse.
Kifach n3ref wach fonction dérivable f point de raccordement ?
Pour un point de raccordement $a$ :
Vérifie d'abord la continuité en $a$ (limite à gauche = limite à droite = $f(a)$).
Calcule la limite du taux d'accroissement à gauche : $\lim_{x \to a^-} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$.
Calcule la limite du taux d'accroissement à droite : $\lim_{x \to a^+} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$.
Si les deux limites sont égales et finies, la fonction est dérivable en $a$.
💡 À retenir : La dérivabilité impose la continuité préalable.
Est-ce que la dérivée d'une fonction paire est impaire ?
Oui, si $f$ est dérivable sur un intervalle symétrique $I$ par rapport à $0$.
On a $f(-x) = f(x)$.
En dérivant par rapport à $x$ des deux côtés, on obtient : $-f'(-x) = f'(x)$.
Donc $f'(-x) = -f'(x)$, ce qui définit une fonction impaire.
💡 À retenir : La dérivée d'une fonction paire est impaire, et celle d'une impaire est paire.
Chno hiya l'utilité dyal théorème de Rolle f l'examen ?
Le théorème de Rolle sert principalement à prouver l'existence de racines pour la dérivée.
Si tu dois montrer que $f'(c) = 0$, cherche deux points $a$ et $b$ tels que $f(a) = f(b)$.
Vérifie les conditions : $f$ continue sur $[a, b]$ et dérivable sur $]a, b[$.
Conclus qu'il existe $c \in ]a, b[$ tel que $f'(c) = 0$.
💡 À retenir : Rolle est l'outil idéal pour localiser les zéros d'une dérivée.
Si f'(x) 0 sur I, est-ce que f est strictement croissante ?
Oui, si $f$ est dérivable sur un intervalle $I$ et que sa dérivée est strictement positive, alors $f$ est strictement croissante sur $I$. Attention, si $f'(x) \geq 0$ avec des points où $f'(x)=0$ de manière isolée, elle reste strictement croissante.
💡 À retenir : Le signe de la dérivée donne le sens de variation.
Kifach n7seb dérivée dyal f(x) = ln(u(x)) ?
C'est une composée de fonctions. La formule est :
$( \ln(u(x)) )' = \frac{u'(x)}{u(x)}$.
Il faut toujours préciser que $u(x) > 0$ pour que la fonction soit définie et dérivable.
💡 À retenir : La dérivée de $\ln(u)$ est le rapport de la dérivée de l'intérieur sur l'intérieur lui-même.
Peut-on appliquer le TAF sur un intervalle fermé ?
Le TAF s'énonce sur un intervalle fermé $[a, b]$ pour la continuité, mais la dérivabilité n'est requise que sur l'intervalle ouvert $]a, b[$.
💡 À retenir : Continuité sur $[a, b]$ et dérivabilité sur $]a, b[$ sont les conditions suffisantes.
Est-ce que la somme de deux fonctions non dérivables est toujours non dérivable ?
Non, pas forcément.
Exemple : $f(x) = |x|$ et $g(x) = -|x|$.
Aucune des deux n'est dérivable en $0$.
Pourtant, leur somme $f+g = 0$ est une fonction constante, donc dérivable partout.
💡 À retenir : La dérivabilité n'est pas stable par somme si les deux fonctions ne sont pas dérivables.
Pourquoi on étudie la dérivabilité à droite et à gauche ?
Parce que la définition de la dérivée est une limite. Si la fonction change de comportement en un point (comme une valeur absolue ou une fonction définie par morceaux), les limites à gauche et à droite du taux d'accroissement peuvent différer.
💡 À retenir : La dérivabilité en $a$ exige que la limite à gauche soit égale à la limite à droite.
Est-ce que f'(a) représente toujours la pente de la tangente ?
Oui, si $f$ est dérivable en $a$, $f'(a)$ est par définition le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse $a$.
💡 À retenir : $f'(a)$ est la pente de la droite tangente.
Est-ce que le TAF est utile pour les limites ?
Oui, le TAF est très utile pour encadrer des fonctions et calculer des limites complexes. Par exemple, pour montrer que $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$, on peut utiliser le TAF sur $\sin$ entre $0$ et $x$.
💡 À retenir : Le TAF permet de transformer une différence $f(b)-f(a)$ en un produit $f'(c)(b-a)$.
Wach momkin nst3mlou TAF bach nbinou inégalité ?
Oui, c'est l'usage le plus courant.
Pour montrer $f(x) \leq g(x)$, on étudie $h(x) = f(x) - g(x)$.
On utilise le TAF sur $h$ pour montrer que $h(x)$ reste positif.
💡 À retenir : Le TAF est l'outil principal pour démontrer des inégalités entre fonctions.
✍️ Exercices type examen national
Exercice 1
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2 e^{-x}$. Montrer que pour tout $x \in [0, 1]$, on a $0 \leq f(x) \leq 1$.
Soit $f(x) = \sqrt{x}$ pour $x \geq 0$. En utilisant le TAF, montrer que pour tout $x > 0$, $\frac{1}{2\sqrt{x+1}} < \sqrt{x+1} - \sqrt{x} < \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
Dérivabilité en un point : Soit f:I→R et a∈I. f est dérivable en a si le taux d'accroissement x−af(x)−f(a) admet une limite finie L quand x→a. On note f′(a)=L.
Interprétation géométrique : La courbe Cf admet une tangente au point d'abscisse a d'équation y=f′(a)(x−a)+f(a).
Dérivabilité à gauche/droite : Utiliser les limites à gauche et à droite du taux d'accroissement. f est dérivable en a ssi fg′(a)=fd′(a).
Opérations : Somme, produit, quotient et composée de fonctions dérivables.
Théorème de Rolle : Si f est continue sur [a,b], dérivable sur ]a,b[ et f(a)=f(b), alors ∃c∈]a,b[ tel que f′(c)=0.
Accroissements finis (TAF) : Si f est continue sur [a,b] et dérivable sur ]a,b[, alors ∃c∈]a,b[ tel que f(b)−f(a)=f′(c)(b−a).
Méthodes à maîtriser
Étude de la dérivabilité en un point de raccordement : Calculer séparément les limites à gauche et à droite du taux d'accroissement.
Application du TAF : Pour encadrer une fonction ou prouver une inégalité, on applique le TAF sur un intervalle [x,y] ou [0,x].
Dérivée d'une fonction réciproque : Si f est bijective, dérivable en a avec f′(a)=0, alors f−1 est dérivable en f(a) et (f−1)′(f(a))=f′(a)1.
Exemples corrigés
Exemple 1 : Soit f(x)=∣x−1∣. En x=1, x−1f(x)−f(1)=x−1∣x−1∣. La limite à droite est 1, à gauche est −1. f n'est pas dérivable en 1.
Exemple 2 : Soit f(x)=x2sin(1/x) pour x=0 et f(0)=0. x−0f(x)−f(0)=xsin(1/x). Par le théorème des gendarmes, la limite est 0. f est dérivable en 0 et f′(0)=0.
Erreurs fréquentes
Confondre dérivabilité et continuité : une fonction peut être continue sans être dérivable (ex: ∣x∣ en 0).
Oublier de vérifier que f′(c)=0 avant d'utiliser la formule de la dérivée de la réciproque.
Appliquer le TAF sur un intervalle où la fonction n'est pas dérivable.
Soit f(x)=∣x−2∣. La fonction est-elle dérivable en 2 ?
Oui, f′(2)=0
Oui, f′(2)=1
Oui, f′(2)=−1
Oui, c'est un théorème fondamental. Si f est dérivable en a, alors elle est nécessairement continue en a.
On écrit f(x)−f(a)=x−af(x)−f(a)×(x−a).
Quand x→a, le premier terme tend vers f′(a) et le second vers 0.
Le produit tend donc vers 0, ce qui signifie que limx→af(x)=f(a).
💡 À retenir : Dérivabilité ⟹ Continuité, mais la réciproque est fausse.
Pour un point de raccordement a :
Vérifie d'abord la continuité en a (limite à gauche = limite à droite = f(a)).
Calcule la limite du taux d'accroissement à gauche : limx→a−x−af(x)−f(a).
Calcule la limite du taux d'accroissement à droite : limx→a+x−af(x)−f(a).
Si les deux limites sont égales et finies, la fonction est dérivable en a.
💡 À retenir : La dérivabilité impose la continuité préalable.
Oui, si f est dérivable sur un intervalle symétrique I par rapport à 0.
On a f(−x)=f(x).
En dérivant par rapport à x des deux côtés, on obtient : −f′(−x)=f′(x).
Donc f′(−x)=−f′(x), ce qui définit une fonction impaire.
💡 À retenir : La dérivée d'une fonction paire est impaire, et celle d'une impaire est paire.
Le théorème de Rolle sert principalement à prouver l'existence de racines pour la dérivée.
Si tu dois montrer que f′(c)=0, cherche deux points a et b tels que f(a)=f(b).
Vérifie les conditions : f continue sur [a,b] et dérivable sur ]a,b[.
Conclus qu'il existe c∈]a,b[ tel que f′(c)=0.
💡 À retenir : Rolle est l'outil idéal pour localiser les zéros d'une dérivée.
Oui, si f est dérivable sur un intervalle I et que sa dérivée est strictement positive, alors f est strictement croissante sur I. Attention, si f′(x)≥0 avec des points où f′(x)=0 de manière isolée, elle reste strictement croissante.
💡 À retenir : Le signe de la dérivée donne le sens de variation.
C'est une composée de fonctions. La formule est :
(ln(u(x)))′=u(x)u′(x).
Il faut toujours préciser que u(x)>0 pour que la fonction soit définie et dérivable.
💡 À retenir : La dérivée de ln(u) est le rapport de la dérivée de l'intérieur sur l'intérieur lui-même.
Le TAF s'énonce sur un intervalle fermé [a,b] pour la continuité, mais la dérivabilité n'est requise que sur l'intervalle ouvert ]a,b[.
💡 À retenir : Continuité sur [a,b] et dérivabilité sur ]a,b[ sont les conditions suffisantes.
Non, pas forcément.
Exemple : f(x)=∣x∣ et g(x)=−∣x∣.
Aucune des deux n'est dérivable en 0.
Pourtant, leur somme f+g=0 est une fonction constante, donc dérivable partout.
💡 À retenir : La dérivabilité n'est pas stable par somme si les deux fonctions ne sont pas dérivables.
Parce que la définition de la dérivée est une limite. Si la fonction change de comportement en un point (comme une valeur absolue ou une fonction définie par morceaux), les limites à gauche et à droite du taux d'accroissement peuvent différer.
💡 À retenir : La dérivabilité en a exige que la limite à gauche soit égale à la limite à droite.
Oui, si f est dérivable en a, f′(a) est par définition le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse a.
💡 À retenir : f′(a) est la pente de la droite tangente.
Oui, le TAF est très utile pour encadrer des fonctions et calculer des limites complexes. Par exemple, pour montrer que limx→0xsinx=1, on peut utiliser le TAF sur sin entre 0 et x.
💡 À retenir : Le TAF permet de transformer une différence f(b)−f(a) en un produit f′(c)(b−a).
Oui, c'est l'usage le plus courant.
Pour montrer f(x)≤g(x), on étudie h(x)=f(x)−g(x).
On utilise le TAF sur h pour montrer que h(x) reste positif.
💡 À retenir : Le TAF est l'outil principal pour démontrer des inégalités entre fonctions.
Exercice 1
Soit f la fonction définie sur R par f(x)=x2e−x. Montrer que pour tout x∈[0,1], on a 0≤f(x)≤1.
Exercice 2
Soit f(x)=x pour x≥0. En utilisant le TAF, montrer que pour tout x>0, 2x+11<x+1−x<2x1.
Exercice 3
Soit f une fonction dérivable sur [0,1] telle que f(0)=0 et f(1)=1. Montrer qu'il existe c∈]0,1[ tel que f′(c)=1.