Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.
📘 Fiche de cours
L'essentiel du cours
Un développement limité (DL) d'ordre $n$ d'une fonction $f$ au voisinage de $a$ est une écriture de la forme :
$f(x) = a_0 + a_1(x-a) + a_2(x-a)^2 + \dots + a_n(x-a)^n + o((x-a)^n)$.
Unicité : Si elle existe, la partie polynomiale est unique.
Opérations : On peut additionner, multiplier et composer des DL (sous réserve que la limite de la fonction composée soit le point de développement).
Est-ce que le DL en a est le même que la série de Taylor ?
Le DL est la partie tronquée de la série de Taylor. Si la fonction est développable en série entière, le DL à l'ordre $n$ est exactement la somme partielle de la série de Taylor jusqu'au rang $n$.
💡 À retenir : Le DL est une approximation locale, la série est une représentation globale.
Est-ce qu'on peut faire un DL pour n'importe quelle fonction ?
Non. Pour qu'une fonction admette un DL d'ordre $n$ au voisinage de $a$, il faut qu'elle soit $n$ fois dérivable en $a$. Si la fonction n'est pas assez régulière (par exemple non dérivable), le DL n'existe pas.
💡 À retenir : La dérivabilité est une condition nécessaire pour l'existence d'un DL.
Kifach n3ref wach n7bes f'ordre 2 wla 3?
L'ordre dépend de ce que tu cherches.
Si tu calcules une limite, regarde le terme dominant du dénominateur.
Si tu cherches une tangente, l'ordre 1 suffit.
Si tu cherches la position de la courbe par rapport à la tangente, il faut aller jusqu'au premier terme non nul après l'ordre 1.
💡 À retenir : L'ordre doit être suffisant pour ne pas obtenir un résultat nul ou indéterminé.
Chno hiya l'utilité dyal "o(x^n)"?
Le symbole $o(x^n)$ représente les termes négligeables devant $x^n$ quand $x$ tend vers 0. Il sert à "nettoyer" le calcul en éliminant tout ce qui est de degré supérieur à $n$, car cela n'apporte plus d'information précise sur la valeur de la fonction.
💡 À retenir : $o(x^n)$ permet de garder la rigueur mathématique tout en simplifiant les calculs.
Puis-je utiliser le DL pour calculer une limite avec une forme indéterminée ?
Oui, c'est l'outil le plus puissant pour les formes $0/0$. En remplaçant les fonctions par leurs DL, les termes dominants se simplifient et la limite devient évidente.
💡 À retenir : Le DL est souvent plus rapide que la règle de L'Hôpital.
Wach momkin nst3ml DL f' voisinage dyal infty?
Oui, mais il faut faire un changement de variable. Si $x \to \infty$, pose $u = 1/x$. Alors $u \to 0$ et tu peux utiliser les DL usuels en 0.
💡 À retenir : Toujours ramener le voisinage à 0 par un changement de variable.
Pourquoi on ne peut pas composer des DL n'importe comment ?
La composition $f(g(x))$ nécessite que $g(x)$ tende vers le point où $f$ est développée. Si $g(x)$ ne tend pas vers ce point, le DL de $f$ en ce point n'est pas valide pour la composition.
💡 À retenir : Vérifie toujours la limite de la fonction intérieure.
Comment savoir si je dois utiliser le DL de cos(x) ou sin(x) ?
Cela dépend de la fonction globale. Si tu as un produit ou un quotient, développe les deux et multiplie/divise. Si tu as une soustraction (ex: $1-\cos x$), le DL est indispensable pour éviter les erreurs de signe.
💡 À retenir : Le DL transforme les fonctions transcendantes en polynômes.
Est-ce que le reste o(x^n) change si je multiplie par x ?
Oui. Si tu as $x \cdot o(x^n)$, cela devient $o(x^{n+1})$. C'est une règle de calcul fondamentale pour maintenir la précision.
💡 À retenir : $x^p \cdot o(x^n) = o(x^{n+p})$.
Comment gérer les DL avec des puissances fractionnaires ?
On utilise le DL de $(1+u)^\alpha$ avec $\alpha$ non entier. Attention, le domaine de définition doit être respecté (généralement $u > -1$).
💡 À retenir : La formule du binôme généralisée fonctionne pour tout $\alpha \in \mathbb{R}$.
Est-ce que le DL est utile pour étudier la convexité ?
Oui, le DL à l'ordre 2 permet de voir le signe de $f(x) - (f(a) + f'(a)(x-a))$. Si le terme en $(x-a)^2$ est positif, la courbe est au-dessus de la tangente (convexe).
💡 À retenir : Le terme de degré 2 donne la courbure.
Est-ce que je peux utiliser le DL pour calculer une dérivée ?
Oui, le coefficient $a_n$ du DL est égal à $\frac{f^{(n)}(a)}{n!}$. Donc $f^{(n)}(a) = n! \cdot a_n$. C'est très utile pour les dérivées d'ordre élevé.
💡 À retenir : Le DL est une autre façon de calculer les dérivées successives.
✍️ Exercices type examen national
Exercice 1
Calculer la limite suivante : $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x) - x + \frac{x^2}{2}}{x^3}$.
Un développement limité (DL) d'ordre n d'une fonction f au voisinage de a est une écriture de la forme :
f(x)=a0+a1(x−a)+a2(x−a)2+⋯+an(x−a)n+o((x−a)n).
Unicité : Si elle existe, la partie polynomiale est unique.
Opérations : On peut additionner, multiplier et composer des DL (sous réserve que la limite de la fonction composée soit le point de développement).
Changement de variable : Pour un DL au voisinage de a=0, poser h=x−a et chercher le DL en 0.
Composition : Pour f(g(x)), si g(x)→0 quand x→0, on injecte le DL de g dans celui de f.
Division selon les puissances croissantes : Pour le DL d'un quotient P(x)/Q(x).
Intégration/Dérivation : On peut dériver ou intégrer un DL (en respectant la constante).
Exemples corrigés
DL de tan(x) à l'ordre 3 en 0 :
tan(x)=cosxsinx=(x−6x3+o(x3))(1−2x2+o(x3))−1.
En utilisant (1−u)−1=1+u+u2+..., on obtient x+3x3+o(x3).
Erreurs fréquentes
Oublier le reste o(xn) à chaque étape.
Ne pas vérifier la limite de la fonction composée avant de substituer.
Confondre l'ordre du DL avec la puissance du reste.
Ne pas mettre les parenthèses lors des multiplications.
Quel est le DL à l'ordre 2 de cos(x) en 0 ?
1+x2
1−x2
1−2x2
1+2x2
Le DL est la partie tronquée de la série de Taylor. Si la fonction est développable en série entière, le DL à l'ordre n est exactement la somme partielle de la série de Taylor jusqu'au rang n.
💡 À retenir : Le DL est une approximation locale, la série est une représentation globale.
Non. Pour qu'une fonction admette un DL d'ordre n au voisinage de a, il faut qu'elle soit n fois dérivable en a. Si la fonction n'est pas assez régulière (par exemple non dérivable), le DL n'existe pas.
💡 À retenir : La dérivabilité est une condition nécessaire pour l'existence d'un DL.
Le symbole o(xn) représente les termes négligeables devant xn quand x tend vers 0. Il sert à "nettoyer" le calcul en éliminant tout ce qui est de degré supérieur à n, car cela n'apporte plus d'information précise sur la valeur de la fonction.
💡 À retenir : o(xn) permet de garder la rigueur mathématique tout en simplifiant les calculs.
Oui, c'est l'outil le plus puissant pour les formes 0/0. En remplaçant les fonctions par leurs DL, les termes dominants se simplifient et la limite devient évidente.
💡 À retenir : Le DL est souvent plus rapide que la règle de L'Hôpital.
Oui, mais il faut faire un changement de variable. Si x→∞, pose u=1/x. Alors u→0 et tu peux utiliser les DL usuels en 0.
💡 À retenir : Toujours ramener le voisinage à 0 par un changement de variable.
La composition f(g(x)) nécessite que g(x) tende vers le point où f est développée. Si g(x) ne tend pas vers ce point, le DL de f en ce point n'est pas valide pour la composition.
💡 À retenir : Vérifie toujours la limite de la fonction intérieure.
Cela dépend de la fonction globale. Si tu as un produit ou un quotient, développe les deux et multiplie/divise. Si tu as une soustraction (ex: 1−cosx), le DL est indispensable pour éviter les erreurs de signe.
💡 À retenir : Le DL transforme les fonctions transcendantes en polynômes.
Oui. Si tu as x⋅o(xn), cela devient o(xn+1). C'est une règle de calcul fondamentale pour maintenir la précision.
💡 À retenir : xp⋅o(xn)=o(xn+p).
On utilise le DL de (1+u)α avec α non entier. Attention, le domaine de définition doit être respecté (généralement u>−1).
💡 À retenir : La formule du binôme généralisée fonctionne pour tout α∈R.
Oui, le DL à l'ordre 2 permet de voir le signe de f(x)−(f(a)+f′(a)(x−a)). Si le terme en (x−a)2 est positif, la courbe est au-dessus de la tangente (convexe).
💡 À retenir : Le terme de degré 2 donne la courbure.
Oui, le coefficient an du DL est égal à n!f(n)(a). Donc f(n)(a)=n!⋅an. C'est très utile pour les dérivées d'ordre élevé.
💡 À retenir : Le DL est une autre façon de calculer les dérivées successives.
Exercice 1
Calculer la limite suivante : limx→0x3ln(1+x)−x+2x2.
Exercice 2
Donner le DL à l'ordre 2 en 0 de f(x)=excos(x).
Exercice 3
Déterminer le DL à l'ordre 3 en 0 de f(x)=1+xsin(x).