Logique et raisonnement · Prépa concours post-bac — ENA Architecture

Suites numériques et récurrence

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Une suite $(u_n)_{n \geq n_0}$ est une fonction définie sur une partie de $\mathbb{N}$ .

Suite arithmétique : $u_{n+1} = u_n + r$ . Terme général : $u_n = u_p + (n-p)r$ .
Suite géométrique : $u_{n+1} = q \cdot u_n$ . Terme général : $u_n = u_p \cdot q^{n-p}$ .
Raisonnement par récurrence : Pour prouver $P(n)$ $P (n)$ :
1. Initialisation : Vérifier $P(n_0)$ .
2. Hérédité : Supposer $P(n)$ vraie, montrer $P(n+1)$ .
3. Conclusion : $P(n)$ est vraie pour tout $n \geq n_0$ .

Méthodes à maîtriser

Étude de la monotonie : Étudier le signe de $u_{n+1} - u_n$ . Si $>0$ , croissante ; si $<0$ , décroissante.
Preuve de borne : Utiliser la récurrence pour montrer $a \leq u_n \leq b$ .
Limite : Si $u_n = f(n)$ , on utilise les limites de fonctions. Si $u_{n+1} = f(u_n)$ , on cherche le point fixe $f(l) = l$ .

Exemples corrigés

Récurrence : Soit $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}$ avec $u_0 = 0$ . Montrer $u_n < 2$ . Init : $u_0 = 0 < 2$ . Hérédité : $u_n < 2 \implies u_n+2 < 4 \implies \sqrt{u_n+2} < 2$ . Vrai.
Monotonie : $u_n = 3n + 5$ . $u_{n+1} - u_n = 3(n+1)+5 - (3n+5) = 3 > 0$ . Croissante.

Erreurs fréquentes

Oublier l'initialisation dans la récurrence.
Confondre $u_n$ et $u_{n+1}$ dans le calcul de la raison.
Croire qu'une suite qui n'est pas croissante est forcément décroissante (il existe des suites non monotones).

L'essentiel du cours

Une suite $(u_n)_{n \geq n_0}$ est une fonction définie sur une partie de $\mathbb{N}$.

Suite arithmétique : $u_{n+1} = u_n + r$. Terme général : $u_n = u_p + (n-p)r$.
Suite géométrique : $u_{n+1} = q \cdot u_n$. Terme général : $u_n = u_p \cdot q^{n-p}$.
Raisonnement par récurrence : Pour prouver $P(n)$ :
1. Initialisation : Vérifier $P(n_0)$.
2. Hérédité : Supposer $P(n)$ vraie, montrer $P(n+1)$.
3. Conclusion : $P(n)$ est vraie pour tout $n \geq n_0$.

Méthodes à maîtriser

Étude de la monotonie : Étudier le signe de $u_{n+1} - u_n$. Si $>0$, croissante ; si $<0$, décroissante.
Preuve de borne : Utiliser la récurrence pour montrer $a \leq u_n \leq b$.
Limite : Si $u_n = f(n)$, on utilise les limites de fonctions. Si $u_{n+1} = f(u_n)$, on cherche le point fixe $f(l) = l$.

Exemples corrigés

Récurrence : Soit $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}$ avec $u_0 = 0$. Montrer $u_n < 2$. Init : $u_0 = 0 < 2$. Hérédité : $u_n < 2 \implies u_n+2 < 4 \implies \sqrt{u_n+2} < 2$. Vrai.
Monotonie : $u_n = 3n + 5$. $u_{n+1} - u_n = 3(n+1)+5 - (3n+5) = 3 > 0$. Croissante.

Erreurs fréquentes

Oublier l'initialisation dans la récurrence.
Confondre $u_n$ et $u_{n+1}$ dans le calcul de la raison.
Croire qu'une suite qui n'est pas croissante est forcément décroissante (il existe des suites non monotones).

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

Tu as appris les sciences en arabe ? Touche un mot pour voir sa traduction et une explication en darija.

La question que tu n'oses pas poser en classe ? Pose-la à UstadZéro jugement, même en darija, même à minuit. Il t'explique pas à pas et corrige ta démarche. Gratuit.Commencer gratuitement

Défi flash : 4 questions

Sans compte

🎯 Suites numériques et récurrence

1/4

Quelle est la raison de la suite $u_n = 5 \cdot 3^n$ ?

❓ Questions fréquentes

Est-ce qu'on peut utiliser la récurrence pour tout type de suite ?

Oui, le raisonnement par récurrence est un outil universel pour démontrer des propriétés portant sur des entiers naturels $n$ . Que la suite soit arithmétique, géométrique ou définie par une relation de récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$ , la méthode reste la même.

💡 À retenir : La récurrence est indispensable dès qu'une propriété dépend de l'entier $n$ .

Oui, le raisonnement par récurrence est un outil universel pour démontrer des propriétés portant sur des entiers naturels $n$. Que la suite soit arithmétique, géométrique ou définie par une relation de récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$, la méthode reste la même.

💡 À retenir : La récurrence est indispensable dès qu'une propriété dépend de l'entier $n$.

Kifach n-3ref wach s-silsila m-kboura wla la ?

Bach t-3ref wach m-kboura, khass t-lqa chi 3adad $M$ t-koun $u_n \leq M$ l ga3 $n$ .

Jarreb t-7seb l-7oudoud l-oula.
Ila ban lik l-7oudoud k-y-zido, 7awel t-bini b t-tarajou3 (récurrence) belli $u_n \leq M$ .
Ila kant $u_n$ t-n-qas, rah m-kboura b $u_0$ .

💡 À retenir : La récurrence est l'outil principal pour majorer une suite définie par $u_{n+1} = f(u_n)$ .

Bach t-3ref wach m-kboura, khass t-lqa chi 3adad $M$ t-koun $u_n \leq M$ l ga3 $n$.

Jarreb t-7seb l-7oudoud l-oula.
Ila ban lik l-7oudoud k-y-zido, 7awel t-bini b t-tarajou3 (récurrence) belli $u_n \leq M$.
Ila kant $u_n$ t-n-qas, rah m-kboura b $u_0$.

💡 À retenir : La récurrence est l'outil principal pour majorer une suite définie par $u_{n+1} = f(u_n)$.

Si un est croissante, est-ce qu'elle est forcément convergente ?

Non. Une suite croissante peut tendre vers $+\infty$ (ex: $u_n = n$ ). Pour qu'elle soit convergente, il faut qu'elle soit croissante ET majorée.

💡 À retenir : Théorème de la convergence monotone : toute suite croissante et majorée est convergente.

Non. Une suite croissante peut tendre vers $+\infty$ (ex: $u_n = n$). Pour qu'elle soit convergente, il faut qu'elle soit croissante ET majorée.

💡 À retenir : Théorème de la convergence monotone : toute suite croissante et majorée est convergente.

Chno hiya l-farq bin suite arithmétique o géométrique ?

Arithmétique : k-n-zido nafs l-3adad ( $r$ ) bach n-wslou l-7ad l-jay ( $u_{n+1} = u_n + r$ ).
Géométrique : k-n-drbo f nafs l-3adad ( $q$ ) bach n-wslou l-7ad l-jay ( $u_{n+1} = q \cdot u_n$ ).

💡 À retenir : Addition pour arithmétique, multiplication pour géométrique.

Arithmétique : k-n-zido nafs l-3adad ($r$) bach n-wslou l-7ad l-jay ($u_{n+1} = u_n + r$).
Géométrique : k-n-drbo f nafs l-3adad ($q$) bach n-wslou l-7ad l-jay ($u_{n+1} = q \cdot u_n$).

💡 À retenir : Addition pour arithmétique, multiplication pour géométrique.

Comment calculer la limite d'une suite définie par u{n+1} = f(un) ?

Si la suite converge vers $l$ et que $f$ est continue :

On résout l'équation $f(l) = l$ .
On choisit la valeur cohérente avec l'intervalle où se trouve la suite.

💡 À retenir : La limite est un point fixe de la fonction $f$ .

Si la suite converge vers $l$ et que $f$ est continue :

On résout l'équation $f(l) = l$.
On choisit la valeur cohérente avec l'intervalle où se trouve la suite.

💡 À retenir : La limite est un point fixe de la fonction $f$.

Wach momkin n-bda t-tarajou3 mn n=1 ?

Oui, tout dépend de l'énoncé. Si la propriété est définie pour $n \geq 1$ , alors l'initialisation se fait à $n=1$ .

💡 À retenir : L'initialisation doit toujours correspondre au premier terme défini dans l'énoncé.

Oui, tout dépend de l'énoncé. Si la propriété est définie pour $n \geq 1$, alors l'initialisation se fait à $n=1$.

💡 À retenir : L'initialisation doit toujours correspondre au premier terme défini dans l'énoncé.

Pourquoi on étudie le signe de u{n+1} - un ?

Parce que par définition, si $u_{n+1} - u_n > 0$ , alors $u_{n+1} > u_n$ , ce qui signifie que la suite augmente.

💡 À retenir : Le signe de la différence donne le sens de variation.

Parce que par définition, si $u_{n+1} - u_n > 0$, alors $u_{n+1} > u_n$, ce qui signifie que la suite augmente.

💡 À retenir : Le signe de la différence donne le sens de variation.

Est-ce qu'une suite bornée est toujours convergente ?

Non. Exemple : $u_n = (-1)^n$ . Elle est bornée entre -1 et 1, mais elle oscille et ne converge pas.

💡 À retenir : Être bornée est une condition nécessaire mais pas suffisante pour la convergence.

Non. Exemple : $u_n = (-1)^n$. Elle est bornée entre -1 et 1, mais elle oscille et ne converge pas.

💡 À retenir : Être bornée est une condition nécessaire mais pas suffisante pour la convergence.

Comment montrer qu'une suite est géométrique ?

Il faut calculer le rapport $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ et montrer qu'il est égal à une constante $q$ indépendante de $n$ .

💡 À retenir : Si $\frac{u_{n+1}}{u_n} = q$ , alors la suite est géométrique de raison $q$ .

Il faut calculer le rapport $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ et montrer qu'il est égal à une constante $q$ indépendante de $n$.

💡 À retenir : Si $\frac{u_{n+1}}{u_n} = q$, alors la suite est géométrique de raison $q$.

Est-ce que le raisonnement par récurrence est obligatoire pour les suites arithmétiques ?

Non, pour les suites arithmétiques, on utilise directement la formule du terme général $u_n = u_p + (n-p)r$ . La récurrence est utile pour des suites plus complexes.

💡 À retenir : Utilise les formules directes quand elles sont disponibles.

Non, pour les suites arithmétiques, on utilise directement la formule du terme général $u_n = u_p + (n-p)r$. La récurrence est utile pour des suites plus complexes.

💡 À retenir : Utilise les formules directes quand elles sont disponibles.

Comment savoir si une suite est divergente ?

Une suite est divergente si elle n'admet pas de limite finie (elle tend vers $+\infty$ , $-\infty$ ou n'a pas de limite du tout).

💡 À retenir : Si $\lim u_n = \pm \infty$ , la suite diverge.

Une suite est divergente si elle n'admet pas de limite finie (elle tend vers $+\infty$, $-\infty$ ou n'a pas de limite du tout).

💡 À retenir : Si $\lim u_n = \pm \infty$, la suite diverge.

Est-ce que un = 2^n est une suite géométrique ?

Oui, car $u_{n+1} = 2^{n+1} = 2 \cdot 2^n = 2 \cdot u_n$ . C'est une suite géométrique de raison $q=2$ .

💡 À retenir : Toute suite de la forme $a \cdot b^n$ est géométrique.

Oui, car $u_{n+1} = 2^{n+1} = 2 \cdot 2^n = 2 \cdot u_n$. C'est une suite géométrique de raison $q=2$.

💡 À retenir : Toute suite de la forme $a \cdot b^n$ est géométrique.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \frac{1}{2}u_n + 1$ .

Montrer par récurrence que $u_n < 2$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ .
Étudier la monotonie de la suite $(u_n)$ .

Exercice 1

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \frac{1}{2}u_n + 1$.

Montrer par récurrence que $u_n < 2$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.
Étudier la monotonie de la suite $(u_n)$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Soit $(u_n)$ une suite arithmétique telle que $u_3 = 7$ et $u_8 = 22$ .

Calculer la raison $r$ et le premier terme $u_0$ .
Exprimer $u_n$ en fonction de $n$ .

Exercice 2

Soit $(u_n)$ une suite arithmétique telle que $u_3 = 7$ et $u_8 = 22$.

Calculer la raison $r$ et le premier terme $u_0$.
Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Soit $u_n = \frac{2n+1}{n+1}$ . Montrer que la suite est majorée par 2.

Exercice 3

Soit $u_n = \frac{2n+1}{n+1}$. Montrer que la suite est majorée par 2.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Un prof de Logique et raisonnement pour aller plus loin

Les cours du soir avec des profs vérifiés arrivent : inscris-toi pour être prévenu(e) en premier.

Être prévenu(e) gratuitement

Autres chapitres de Logique et raisonnement

Logique élémentaire et connecteurs logiques Quantificateurs et raisonnements mathématiques Ensembles et opérations sur les ensembles Applications et fonctions Relations d'équivalence et relations d'ordre Analyse combinatoire et dénombrement Probabilités discrètes Géométrie analytique et vecteurs dans le plan et l'espace Transformations géométriques et symétries Visualisation spatiale et projections Tests d'aptitude logique et suites graphiques