Logique et raisonnement · Prépa concours post-bac — ENA Architecture

Applications et fonctions

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Une application $f: E \to F$ associe à tout élément $x \in E$ un unique élément $y \in F$ , noté $f(x)$ .

Injection : $\forall x_1, x_2 \in E, f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = x_2$ .
Surjection : $\forall y \in F, \exists x \in E, f(x) = y$ .
Bijection : $f$ est à la fois injective et surjective.
Composée : $(g \circ f)(x) = g(f(x))$ .

Méthodes à maîtriser

Montrer l'injectivité : On suppose $f(x_1) = f(x_2)$ et on montre que $x_1 = x_2$ .
Montrer la surjectivité : On prend $y \in F$ et on cherche $x \in E$ tel que $f(x) = y$ .
Montrer la bijection : On résout l'équation $f(x) = y$ d'inconnue $x$ . Si elle admet une unique solution, $f$ est bijective.

Exemples corrigés

Soit $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, x \mapsto 2x+1$ $f : R \to R, x \mapsto 2 x + 1$ .
- Injection : $2x_1+1 = 2x_2+1 \implies 2x_1 = 2x_2 \implies x_1 = x_2$ . (Vrai)
- Surjection : $2x+1 = y \implies x = \frac{y-1}{2}$ . Pour tout $y$ , il existe $x$ . (Vrai)
- Donc $f$ est bijective.

Erreurs fréquentes

Confondre l'ensemble de départ et d'arrivée.
Oublier de vérifier l'existence de l'antécédent pour la surjectivité.
Penser qu'une fonction est injective juste parce qu'elle est strictement monotone (il faut aussi qu'elle soit continue sur un intervalle).

L'essentiel du cours

Une application $f: E \to F$ associe à tout élément $x \in E$ un unique élément $y \in F$, noté $f(x)$.

Injection : $\forall x_1, x_2 \in E, f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = x_2$.
Surjection : $\forall y \in F, \exists x \in E, f(x) = y$.
Bijection : $f$ est à la fois injective et surjective.
Composée : $(g \circ f)(x) = g(f(x))$.

Méthodes à maîtriser

Montrer l'injectivité : On suppose $f(x_1) = f(x_2)$ et on montre que $x_1 = x_2$.
Montrer la surjectivité : On prend $y \in F$ et on cherche $x \in E$ tel que $f(x) = y$.
Montrer la bijection : On résout l'équation $f(x) = y$ d'inconnue $x$. Si elle admet une unique solution, $f$ est bijective.

Exemples corrigés

Soit $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, x \mapsto 2x+1$.
- Injection : $2x_1+1 = 2x_2+1 \implies 2x_1 = 2x_2 \implies x_1 = x_2$. (Vrai)
- Surjection : $2x+1 = y \implies x = \frac{y-1}{2}$. Pour tout $y$, il existe $x$. (Vrai)
- Donc $f$ est bijective.

Erreurs fréquentes

Confondre l'ensemble de départ et d'arrivée.
Oublier de vérifier l'existence de l'antécédent pour la surjectivité.
Penser qu'une fonction est injective juste parce qu'elle est strictement monotone (il faut aussi qu'elle soit continue sur un intervalle).

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🎯 Applications et fonctions

1/4

Soit $f: \{1, 2, 3\} \to \{a, b\}$ . $f$ peut-elle être injective ?

Soit $f: {1, 2, 3} \to {a, b}$. $f$ peut-elle être injective ?

❓ Questions fréquentes

C'est quoi la différence entre une fonction et une application ?

En mathématiques, une application est une fonction dont l'ensemble de définition est égal à l'ensemble de départ. Au lycée, on utilise souvent les deux termes de manière interchangeable, mais techniquement, une application doit associer une image à chaque élément de l'ensemble de départ.

💡 À retenir : Une application est une fonction "totale".

Kifach n3ref wach l'application injective wla la ?

Pour vérifier l'injectivité :

Tu poses $f(x_1) = f(x_2)$ .
Tu simplifies l'équation algébriquement.
Si tu arrives obligatoirement à $x_1 = x_2$ , alors elle est injective.
Si tu trouves une autre possibilité (ex: $x_1^2 = x_2^2$ donne $x_1 = x_2$ ou $x_1 = -x_2$ ), alors elle n'est pas injective.

💡 À retenir : L'injectivité signifie qu'aucun élément de l'arrivée n'est "partagé" par deux éléments du départ.

Pour vérifier l'injectivité :

Tu poses $f(x_1) = f(x_2)$.
Tu simplifies l'équation algébriquement.
Si tu arrives obligatoirement à $x_1 = x_2$, alors elle est injective.
Si tu trouves une autre possibilité (ex: $x_1^2 = x_2^2$ donne $x_1 = x_2$ ou $x_1 = -x_2$), alors elle n'est pas injective.

💡 À retenir : L'injectivité signifie qu'aucun élément de l'arrivée n'est "partagé" par deux éléments du départ.

Chno hiya l'application réciproque f^{-1} ?

C'est l'application qui fait le chemin inverse : si $f$ envoie $x$ vers $y$ , alors $f^{-1}$ envoie $y$ vers $x$ . Elle n'existe que si $f$ est une bijection.

💡 À retenir : $f^{-1}(y) = x \iff f(x) = y$ .

C'est l'application qui fait le chemin inverse : si $f$ envoie $x$ vers $y$, alors $f^{-1}$ envoie $y$ vers $x$. Elle n'existe que si $f$ est une bijection.

💡 À retenir : $f^{-1}(y) = x \iff f(x) = y$.

Est-ce que toute fonction bijective est strictement monotone ?

Sur un intervalle de $\mathbb{R}$ , oui, si elle est continue. Mais dans le cas général des ensembles finis ou non ordonnés, la notion de monotonie n'existe pas.

💡 À retenir : La monotonie est un outil puissant pour les fonctions réelles, mais pas une définition de la bijection.

Sur un intervalle de $\mathbb{R}$, oui, si elle est continue. Mais dans le cas général des ensembles finis ou non ordonnés, la notion de monotonie n'existe pas.

💡 À retenir : La monotonie est un outil puissant pour les fonctions réelles, mais pas une définition de la bijection.

Kifach n7seb l'application composée g circ f ?

Tu remplaces chaque $x$ dans l'expression de $g$ par toute l'expression de $f(x)$ .

Écris $g(f(x))$ .
Remplace $f(x)$ par sa formule.
Simplifie le résultat.

💡 À retenir : L'ordre compte ! $g \circ f$ n'est pas toujours égal à $f \circ g$ .

Tu remplaces chaque $x$ dans l'expression de $g$ par toute l'expression de $f(x)$.

Écris $g(f(x))$.
Remplace $f(x)$ par sa formule.
Simplifie le résultat.

💡 À retenir : L'ordre compte ! $g \circ f$ n'est pas toujours égal à $f \circ g$.

Est-ce qu'une application surjective est forcément injective ?

Non, pas du tout. Une application peut couvrir tout l'ensemble d'arrivée (surjective) tout en envoyant plusieurs éléments du départ vers le même point de l'arrivée. Exemple : $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^+, x \mapsto x^2$ est surjective mais pas injective car $f(1) = f(-1) = 1$ .

💡 À retenir : Surjective $\neq$ Injective.

Comment montrer qu'une application n'est pas surjective ?

Il suffit de trouver un élément $y$ dans l'ensemble d'arrivée qui n'a aucun antécédent dans l'ensemble de départ.

Pose $f(x) = y$ .
Montre que pour certaines valeurs de $y$ , l'équation n'a aucune solution $x$ .

💡 À retenir : Un contre-exemple suffit pour prouver la non-surjectivité.

Il suffit de trouver un élément $y$ dans l'ensemble d'arrivée qui n'a aucun antécédent dans l'ensemble de départ.

Pose $f(x) = y$.
Montre que pour certaines valeurs de $y$, l'équation n'a aucune solution $x$.

💡 À retenir : Un contre-exemple suffit pour prouver la non-surjectivité.

Est-ce que f^{-1} est toujours une fonction ?

Oui, si $f$ est une bijection. Si $f$ n'est pas bijective, on ne peut pas définir une application réciproque globale.

💡 À retenir : Bijection = Réciproque unique.

Oui, si $f$ est une bijection. Si $f$ n'est pas bijective, on ne peut pas définir une application réciproque globale.

💡 À retenir : Bijection = Réciproque unique.

Comment prouver qu'une application est bijective rapidement ?

La méthode la plus efficace est de montrer qu'elle est à la fois injective et surjective, ou bien de trouver directement son application réciproque.

💡 À retenir : Si tu trouves $f^{-1}$ , alors $f$ est automatiquement bijective.

La méthode la plus efficace est de montrer qu'elle est à la fois injective et surjective, ou bien de trouver directement son application réciproque.

💡 À retenir : Si tu trouves $f^{-1}$, alors $f$ est automatiquement bijective.

Est-ce que l'ensemble d'arrivée change l'injectivité ?

Non, l'injectivité dépend uniquement de l'ensemble de départ et de la règle de calcul. Par contre, l'ensemble d'arrivée change la surjectivité.

💡 À retenir : L'injectivité est une propriété "interne" au départ, la surjectivité dépend du choix de l'arrivée.

Chno hiya l'image directe d'un ensemble ?

C'est l'ensemble de toutes les images des éléments d'une partie $A$ de $E$ . On le note $f(A) = \{f(x) / x \in A\}$ .

💡 À retenir : $f(A)$ est un sous-ensemble de $F$ .

C'est l'ensemble de toutes les images des éléments d'une partie $A$ de $E$. On le note $f(A) = {f(x) / x \in A}$.

💡 À retenir : $f(A)$ est un sous-ensemble de $F$.

Pourquoi on étudie les applications avant les relations ?

Parce qu'une application est un cas particulier de relation (une relation fonctionnelle). Comprendre les applications aide à mieux saisir les relations d'équivalence plus tard.

💡 À retenir : L'application est la brique de base de l'analyse.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $f: \mathbb{R} \setminus \{1\} \to \mathbb{R} \setminus \{2\}$ définie par $f(x) = \frac{2x+3}{x-1}$ .

Montrer que $f$ est injective.
Montrer que $f$ est surjective.
Déterminer $f^{-1}(x)$ .

Exercice 1

Soit $f: \mathbb{R} \setminus {1} \to \mathbb{R} \setminus {2}$ définie par $f(x) = \frac{2x+3}{x-1}$.

Montrer que $f$ est injective.
Montrer que $f$ est surjective.
Déterminer $f^{-1}(x)$.

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Exercice 2

Soit $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, x \mapsto x^2 - 2x$ .

$f$ est-elle injective ? Justifier.
Déterminer l'image de l'intervalle $[0, 2]$ .

Exercice 2

Soit $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, x \mapsto x^2 - 2x$.

$f$ est-elle injective ? Justifier.
Déterminer l'image de l'intervalle $[0, 2]$.

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Exercice 3

Soit $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ telle que $f(x) = x^3 + x$ . Montrer que $f$ est une bijection de $\mathbb{R}$ vers $\mathbb{R}$ .

Exercice 3

Soit $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ telle que $f(x) = x^3 + x$. Montrer que $f$ est une bijection de $\mathbb{R}$ vers $\mathbb{R}$.

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