📘 Fiche de cours
L'essentiel du cours
Le rayonnement dipolaire électrique est produit par une charge oscillante $q(t) = q_0 \cos(\omega t)$. Le moment dipolaire est $\vec{p}(t) = p_0 \cos(\omega t) \vec{u}z$. En zone lointaine ($r \gg \lambda$ et $r \gg d$), le champ électrique rayonné est : $$\vec{E}(r, \theta, t) = -\frac{\mu_0 p_0 \omega^2}{4\pi} \frac{\sin\theta}{r} \cos(\omega(t - r/c)) \vec{u}\theta$$ La puissance moyenne rayonnée est donnée par la formule de Larmor : $$\langle P \rangle = \frac{\mu_0 p_0^2 \omega^4}{12\pi c}$$
Méthodes à maîtriser
- Passage en notation complexe : Utiliser $\underline{\vec{p}} = p_0 e^{j\omega t} \vec{u}_z$ pour simplifier les dérivées temporelles.
- Calcul du vecteur de Poynting : $\vec{\Pi} = \frac{1}{\mu_0} (\vec{E} \wedge \vec{B})$. En zone lointaine, $\vec{B} = \frac{1}{c} (\vec{u}_r \wedge \vec{E})$.
- Analyse de la directivité : Le rayonnement est nul sur l'axe du dipôle ($\theta = 0$ ou $\pi$) et maximal dans le plan équatorial ($\theta = \pi/2$).
Exemples corrigés
Calcul de la puissance : Pour un dipôle de $p_0 = 10^{-9}$ C.m et $\nu = 100$ MHz, calculer $\langle P \rangle$. $\omega = 2\pi \nu \approx 6,28 \times 10^8$ rad/s. On applique la formule de Larmor avec $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}$ SI.
Erreurs fréquentes
- Oublier le terme $\sin\theta$ dans l'expression du champ.
- Confondre la zone de rayonnement (proche) et la zone lointaine.
- Utiliser la valeur efficace au lieu de l'amplitude dans la formule de puissance.