Physique · Classes prépa (CPGE) — 2ème année — MP

Ondes électromagnétiques dans le vide

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Dans le vide, les équations de Maxwell imposent que le champ électrique $\vec{E}$ et le champ magnétique $\vec{B}$ vérifient l'équation d'onde : $\Delta \vec{E} - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2} = \vec{0}$ avec $c = \frac{1}{\sqrt{\epsilon_0 \mu_0}} \approx 3,00 \times 10^8 \, \text{m/s}$ . Pour une onde plane progressive harmonique (OPPH) se propageant selon $\vec{u}_z$ : $\vec{E}(z,t) = E_0 \cos(\omega t - kz) \vec{u}_x$ $\vec{B}(z,t) = \frac{E_0}{c} \cos(\omega t - kz) \vec{u}_y$ La structure est telle que $(\vec{E}, \vec{B}, \vec{k})$ forment un trièdre direct.

Méthodes à maîtriser

Passage en notation complexe : Utiliser $\underline{\vec{E}} = \vec{E}_0 e^{j(\omega t - \vec{k} \cdot \vec{r})}$ .
Utilisation des équations de Maxwell : $\vec{k} \wedge \underline{\vec{E}} = \omega \underline{\vec{B}}$ et $\vec{k} \wedge \underline{\vec{B}} = -\frac{\omega}{c^2} \underline{\vec{E}}$ .
Calcul du vecteur de Poynting : $\vec{\Pi} = \frac{1}{\mu_0} (\vec{E} \wedge \vec{B})$ .

Exemples corrigés

Relation de dispersion : Montrer que $\omega = ck$ . En remplaçant $\vec{E}$ dans l'équation d'onde, on obtient $(-k^2) + \frac{\omega^2}{c^2} = 0$ , donc $\omega^2 = c^2 k^2$ .
Intensité moyenne : $\langle \Pi \rangle = \frac{E_0^2}{2 \mu_0 c} \vec{u}_z$ .

Erreurs fréquentes

Oublier que $\vec{B}$ est en Tesla et $\vec{E}$ en V/m (le rapport est $c$ ).
Confondre la direction de propagation $\vec{k}$ avec la polarisation $\vec{E}$ .
Ne pas vérifier le caractère direct du trièdre $(\vec{E}, \vec{B}, \vec{k})$ .

L'essentiel du cours

Dans le vide, les équations de Maxwell imposent que le champ électrique $\vec{E}$ et le champ magnétique $\vec{B}$ vérifient l'équation d'onde : $$\Delta \vec{E} - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2} = \vec{0}$$ avec $c = \frac{1}{\sqrt{\epsilon_0 \mu_0}} \approx 3,00 \times 10^8 , \text{m/s}$. Pour une onde plane progressive harmonique (OPPH) se propageant selon $\vec{u}_z$ : $\vec{E}(z,t) = E_0 \cos(\omega t - kz) \vec{u}_x$ $\vec{B}(z,t) = \frac{E_0}{c} \cos(\omega t - kz) \vec{u}_y$ La structure est telle que $(\vec{E}, \vec{B}, \vec{k})$ forment un trièdre direct.

Méthodes à maîtriser

Passage en notation complexe : Utiliser $\underline{\vec{E}} = \vec{E}_0 e^{j(\omega t - \vec{k} \cdot \vec{r})}$.
Utilisation des équations de Maxwell : $\vec{k} \wedge \underline{\vec{E}} = \omega \underline{\vec{B}}$ et $\vec{k} \wedge \underline{\vec{B}} = -\frac{\omega}{c^2} \underline{\vec{E}}$.
Calcul du vecteur de Poynting : $\vec{\Pi} = \frac{1}{\mu_0} (\vec{E} \wedge \vec{B})$.

Exemples corrigés

Relation de dispersion : Montrer que $\omega = ck$. En remplaçant $\vec{E}$ dans l'équation d'onde, on obtient $(-k^2) + \frac{\omega^2}{c^2} = 0$, donc $\omega^2 = c^2 k^2$.
Intensité moyenne : $\langle \Pi \rangle = \frac{E_0^2}{2 \mu_0 c} \vec{u}_z$.

Erreurs fréquentes

Oublier que $\vec{B}$ est en Tesla et $\vec{E}$ en V/m (le rapport est $c$).
Confondre la direction de propagation $\vec{k}$ avec la polarisation $\vec{E}$.
Ne pas vérifier le caractère direct du trièdre $(\vec{E}, \vec{B}, \vec{k})$.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Ondes électromagnétiques dans le vide

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La relation entre la vitesse de phase $v_\phi$ et la vitesse de groupe $v_g$ dans le vide est :

❓ Questions fréquentes

Qu'est-ce qu'une onde plane ?

Une onde est dite plane si ses surfaces d'onde (lieux où la phase est constante) sont des plans.
Dans le vide, cela signifie que les champs $\vec{E}$ et $\vec{B}$ ne dépendent que d'une seule coordonnée spatiale (ex: $z$ ).

💡 À retenir : Les surfaces d'onde sont perpendiculaires à la direction de propagation $\vec{k}$ .

Une onde est dite plane si ses surfaces d'onde (lieux où la phase est constante) sont des plans.
Dans le vide, cela signifie que les champs $\vec{E}$ et $\vec{B}$ ne dépendent que d'une seule coordonnée spatiale (ex: $z$).

💡 À retenir : Les surfaces d'onde sont perpendiculaires à la direction de propagation $\vec{k}$.

kifach n7seb l'intensité dial l'onde ?

Tu calcules d'abord le vecteur de Poynting $\vec{\Pi} = \frac{1}{\mu_0} (\vec{E} \wedge \vec{B})$ .
Tu prends la valeur moyenne temporelle sur une période $T$ : $\langle \Pi \rangle = \frac{1}{T} \int_0^T \Pi dt$ .

💡 À retenir : Pour une OPPH, la moyenne du carré du cosinus est $1/2$ .

Tu calcules d'abord le vecteur de Poynting $\vec{\Pi} = \frac{1}{\mu_0} (\vec{E} \wedge \vec{B})$.
Tu prends la valeur moyenne temporelle sur une période $T$ : $\langle \Pi \rangle = \frac{1}{T} \int_0^T \Pi dt$.

💡 À retenir : Pour une OPPH, la moyenne du carré du cosinus est $1/2$.

Est-ce que vec{E} et vec{B} sont toujours en phase ?

Oui, dans le vide, les champs $\vec{E}$ et $\vec{B}$ sont en phase spatiale et temporelle.

💡 À retenir : $\vec{B}(t) = \frac{1}{c} (\vec{u}_k \wedge \vec{E}(t))$ .

Oui, dans le vide, les champs $\vec{E}$ et $\vec{B}$ sont en phase spatiale et temporelle.

💡 À retenir : $\vec{B}(t) = \frac{1}{c} (\vec{u}_k \wedge \vec{E}(t))$.

chno hiya l'importance dial vecteur de Poynting ?

Il représente la densité surfacique de puissance transportée par l'onde.
Il indique la direction et le sens du flux d'énergie électromagnétique.

💡 À retenir : La direction de $\vec{\Pi}$ est toujours celle de la propagation de l'onde.

Il représente la densité surfacique de puissance transportée par l'onde.
Il indique la direction et le sens du flux d'énergie électromagnétique.

💡 À retenir : La direction de $\vec{\Pi}$ est toujours celle de la propagation de l'onde.

Pourquoi dit-on que l'onde est transversale ?

Les équations de Maxwell dans le vide ( $\text{div} \vec{E} = 0$ ) imposent $\vec{k} \cdot \vec{E} = 0$ .
Cela signifie que le champ électrique est perpendiculaire à la direction de propagation.

💡 À retenir : $\vec{E} \perp \vec{k}$ et $\vec{B} \perp \vec{k}$ .

Les équations de Maxwell dans le vide ($\text{div} \vec{E} = 0$) imposent $\vec{k} \cdot \vec{E} = 0$.
Cela signifie que le champ électrique est perpendiculaire à la direction de propagation.

💡 À retenir : $\vec{E} \perp \vec{k}$ et $\vec{B} \perp \vec{k}$.

kifach n3ref wach l'onde est polarisée rectilignement ?

Regarde la direction du vecteur $\vec{E}$ .
Si la direction de $\vec{E}$ reste fixe au cours du temps en un point donné, alors l'onde est polarisée rectilignement.

💡 À retenir : Si $\vec{E}$ tourne, la polarisation est circulaire ou elliptique.

Regarde la direction du vecteur $\vec{E}$.
Si la direction de $\vec{E}$ reste fixe au cours du temps en un point donné, alors l'onde est polarisée rectilignement.

💡 À retenir : Si $\vec{E}$ tourne, la polarisation est circulaire ou elliptique.

Quelle est la relation entre omega et k ?

C'est la relation de dispersion : $\omega = c \cdot k$ .

💡 À retenir : Dans le vide, le milieu est non dispersif, la vitesse de phase est égale à la vitesse de groupe.

C'est la relation de dispersion : $\omega = c \cdot k$.

💡 À retenir : Dans le vide, le milieu est non dispersif, la vitesse de phase est égale à la vitesse de groupe.

Comment passer de la forme réelle à la forme complexe ?

On écrit $\vec{E}(z,t) = \text{Re}(\underline{\vec{E}})$ .
On remplace $\cos(\omega t - kz)$ par $e^{j(\omega t - kz)}$ .

💡 À retenir : La notation complexe simplifie les dérivées ( $\partial_t \to j\omega$ et $\nabla \to -j\vec{k}$ ).

On écrit $\vec{E}(z,t) = \text{Re}(\underline{\vec{E}})$.
On remplace $\cos(\omega t - kz)$ par $e^{j(\omega t - kz)}$.

💡 À retenir : La notation complexe simplifie les dérivées ( $\partial_t \to j\omega$ et $\nabla \to -j\vec{k}$).

Est-ce que l'onde transporte de la matière ?

Non, une onde électromagnétique est une perturbation du champ électromagnétique qui se propage sans transport de matière.

💡 À retenir : Seule l'énergie et la quantité de mouvement sont transportées.

Quelle est la valeur de epsilon0 ?

$\epsilon_0 \approx 8,85 \times 10^{-12} \, \text{F/m}$ .

💡 À retenir : Elle est liée à $c$ par $c^2 = 1/(\epsilon_0 \mu_0)$ .

$\epsilon_0 \approx 8,85 \times 10^{-12} , \text{F/m}$.

💡 À retenir : Elle est liée à $c$ par $c^2 = 1/(\epsilon_0 \mu_0)$.

Le champ magnétique peut-il être nul ?

Non, si le champ électrique est non nul dans une onde plane, le champ magnétique est nécessairement non nul et lié par $\vec{B} = \frac{1}{c} \vec{u}_k \wedge \vec{E}$ .

💡 À retenir : Les deux champs sont indissociables.

Non, si le champ électrique est non nul dans une onde plane, le champ magnétique est nécessairement non nul et lié par $\vec{B} = \frac{1}{c} \vec{u}_k \wedge \vec{E}$.

💡 À retenir : Les deux champs sont indissociables.

Comment calculer l'énergie volumique ?

$u = \frac{1}{2} \epsilon_0 E^2 + \frac{1}{2 \mu_0} B^2$ .

💡 À retenir : Dans le vide, l'énergie électrique est égale à l'énergie magnétique.

$u = \frac{1}{2} \epsilon_0 E^2 + \frac{1}{2 \mu_0} B^2$.

💡 À retenir : Dans le vide, l'énergie électrique est égale à l'énergie magnétique.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Une OPPH se propage dans le vide selon $\vec{u}_z$ . Le champ électrique est donné par $\vec{E}(z,t) = E_0 \cos(\omega t - kz) \vec{u}_x$ avec $E_0 = 100 \, \text{V/m}$ .

Déterminer l'expression du champ magnétique $\vec{B}(z,t)$ .
Calculer la valeur moyenne du vecteur de Poynting.

Exercice 1

Une OPPH se propage dans le vide selon $\vec{u}_z$. Le champ électrique est donné par $\vec{E}(z,t) = E_0 \cos(\omega t - kz) \vec{u}_x$ avec $E_0 = 100 , \text{V/m}$.

Déterminer l'expression du champ magnétique $\vec{B}(z,t)$.
Calculer la valeur moyenne du vecteur de Poynting.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Démontrer, à partir des équations de Maxwell, que $\vec{E}$ et $\vec{B}$ sont orthogonaux à la direction de propagation $\vec{u}_k$ .

Exercice 2

Démontrer, à partir des équations de Maxwell, que $\vec{E}$ et $\vec{B}$ sont orthogonaux à la direction de propagation $\vec{u}_k$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Calculer la densité d'énergie électromagnétique moyenne $\langle u \rangle$ d'une onde plane.

Exercice 3

Calculer la densité d'énergie électromagnétique moyenne $\langle u \rangle$ d'une onde plane.

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