Physique-Chimie · 2ème Année Bac — Sciences et Technologies Électriques

Les oscillations libres d'un circuit RLC

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Un circuit RLC série est constitué d'un condensateur de capacité $C$ , d'une bobine d'inductance $L$ et de résistance $r$ , et d'un conducteur ohmique de résistance $R$ . La résistance totale est $R_T = R + r$ .

Équation différentielle : D'après la loi d'additivité des tensions ( $u_C + u_L + u_R = 0$ ) : $LC \frac{d^2u_C}{dt^2} + (R+r)C \frac{du_C}{dt} + u_C = 0$
Régimes d'oscillations :
1. Périodique : Si $R_T = 0$ (circuit LC idéal), $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$ .
2. Pseudo-périodique : Si $R_T$ est faible, les oscillations s'amortissent. $T \approx T_0$ .
3. Apériodique : Si $R_T$ est élevée, pas d'oscillations.
Énergie totale : $E_e + E_m = \frac{1}{2}Cu_C^2 + \frac{1}{2}Li^2$ . Elle diminue au cours du temps par effet Joule.

Méthodes à maîtriser

Établir l'équation différentielle en utilisant $i = \frac{dq}{dt} = C\frac{du_C}{dt}$ .
Déterminer graphiquement la pseudo-période $T$ (intervalle entre deux maxima successifs).
Calculer la perte d'énergie entre deux instants $t_1$ et $t_2$ : $\Delta E = E(t_2) - E(t_1)$ .

Exemples corrigés

Calcul de $L$ : Si $T_0 = 10$ ms et $C = 10$ µF, alors $L = \frac{T_0^2}{4\pi^2 C} = \frac{(10^{-2})^2}{4\pi^2 \cdot 10^{-5}} \approx 2,5$ H.
Énergie : À $t=0$ , $u_C = U_{max}$ , $E = \frac{1}{2}CU_{max}^2$ .

Erreurs fréquentes

Oublier la résistance interne $r$ de la bobine dans le calcul de $R_T$ .
Confondre la période propre $T_0$ avec la pseudo-période $T$ (bien que proches).
Utiliser $u_L = L \frac{di}{dt}$ au lieu de $u_L = L \frac{di}{dt} + ri$ pour une bobine réelle.

L'essentiel du cours

Un circuit RLC série est constitué d'un condensateur de capacité $C$, d'une bobine d'inductance $L$ et de résistance $r$, et d'un conducteur ohmique de résistance $R$. La résistance totale est $R_T = R + r$.

Équation différentielle : D'après la loi d'additivité des tensions ($u_C + u_L + u_R = 0$) : $$LC \frac{d^2u_C}{dt^2} + (R+r)C \frac{du_C}{dt} + u_C = 0$$
Régimes d'oscillations :
1. Périodique : Si $R_T = 0$ (circuit LC idéal), $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$.
2. Pseudo-périodique : Si $R_T$ est faible, les oscillations s'amortissent. $T \approx T_0$.
3. Apériodique : Si $R_T$ est élevée, pas d'oscillations.
Énergie totale : $E_e + E_m = \frac{1}{2}Cu_C^2 + \frac{1}{2}Li^2$. Elle diminue au cours du temps par effet Joule.

Méthodes à maîtriser

Établir l'équation différentielle en utilisant $i = \frac{dq}{dt} = C\frac{du_C}{dt}$.
Déterminer graphiquement la pseudo-période $T$ (intervalle entre deux maxima successifs).
Calculer la perte d'énergie entre deux instants $t_1$ et $t_2$ : $\Delta E = E(t_2) - E(t_1)$.

Exemples corrigés

Calcul de $L$ : Si $T_0 = 10$ ms et $C = 10$ µF, alors $L = \frac{T_0^2}{4\pi^2 C} = \frac{(10^{-2})^2}{4\pi^2 \cdot 10^{-5}} \approx 2,5$ H.
Énergie : À $t=0$, $u_C = U_{max}$, $E = \frac{1}{2}CU_{max}^2$.

Erreurs fréquentes

Oublier la résistance interne $r$ de la bobine dans le calcul de $R_T$.
Confondre la période propre $T_0$ avec la pseudo-période $T$ (bien que proches).
Utiliser $u_L = L \frac{di}{dt}$ au lieu de $u_L = L \frac{di}{dt} + ri$ pour une bobine réelle.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

Tu as appris les sciences en arabe ? Touche un mot pour voir sa traduction et une explication en darija.

La question que tu n'oses pas poser en classe ? Pose-la à UstadZéro jugement, même en darija, même à minuit. Il t'explique pas à pas et corrige ta démarche. Gratuit.Commencer gratuitement

Défi flash : 4 questions

Sans compte

🎯 Les oscillations libres d'un circuit RLC

1/4

Quelle est l'unité de l'inductance $L$ ?

❓ Questions fréquentes

1. Pourquoi les oscillations s'arrêtent-elles à la fin ?

Les oscillations s'arrêtent car le circuit dissipe de l'énergie sous forme de chaleur par effet Joule à cause de la résistance totale $R_T = R + r$ . L'énergie totale du circuit diminue progressivement jusqu'à devenir nulle.

💡 À retenir : La résistance est responsable de l'amortissement des oscillations.

Les oscillations s'arrêtent car le circuit dissipe de l'énergie sous forme de chaleur par effet Joule à cause de la résistance totale $R_T = R + r$. L'énergie totale du circuit diminue progressivement jusqu'à devenir nulle.

💡 À retenir : La résistance est responsable de l'amortissement des oscillations.

2. Chno hiya lfar9 bin régime périodique o pseudo-périodique ?

Le régime périodique n'existe que si la résistance totale est nulle ( $R_T = 0$ ). L'amplitude reste constante.
Le régime pseudo-périodique existe quand $R_T$ est faible mais non nulle. L'amplitude diminue au cours du temps.

💡 À retenir : Sans résistance, les oscillations sont entretenues indéfiniment.

Le régime périodique n'existe que si la résistance totale est nulle ($R_T = 0$). L'amplitude reste constante.
Le régime pseudo-périodique existe quand $R_T$ est faible mais non nulle. L'amplitude diminue au cours du temps.

💡 À retenir : Sans résistance, les oscillations sont entretenues indéfiniment.

3. Est-ce que la période T dépend de l'amplitude initiale ?

Non, dans un circuit RLC, la période (ou pseudo-période) est indépendante de la tension initiale $U_0$ appliquée au condensateur. Elle ne dépend que des paramètres $L$ et $C$ .

💡 À retenir : $T \approx 2\pi\sqrt{LC}$ est une caractéristique propre au circuit.

Non, dans un circuit RLC, la période (ou pseudo-période) est indépendante de la tension initiale $U_0$ appliquée au condensateur. Elle ne dépend que des paramètres $L$ et $C$.

💡 À retenir : $T \approx 2\pi\sqrt{LC}$ est une caractéristique propre au circuit.

4. Kifach n7seb l'énergie li tbadlat (perdue) f'un intervalle de temps ?

Calcule l'énergie totale à l'instant $t_1$ : $E(t_1) = \frac{1}{2}Cu_C(t_1)^2 + \frac{1}{2}Li(t_1)^2$ .
Calcule l'énergie totale à l'instant $t_2$ : $E(t_2) = \frac{1}{2}Cu_C(t_2)^2 + \frac{1}{2}Li(t_2)^2$ .
Fais la différence : $\Delta E = E(t_2) - E(t_1)$ . Le résultat sera négatif.

💡 À retenir : La valeur absolue $|\Delta E|$ représente l'énergie dissipée par effet Joule.

Calcule l'énergie totale à l'instant $t_1$ : $E(t_1) = \frac{1}{2}Cu_C(t_1)^2 + \frac{1}{2}Li(t_1)^2$.
Calcule l'énergie totale à l'instant $t_2$ : $E(t_2) = \frac{1}{2}Cu_C(t_2)^2 + \frac{1}{2}Li(t_2)^2$.
Fais la différence : $\Delta E = E(t_2) - E(t_1)$. Le résultat sera négatif.

💡 À retenir : La valeur absolue $|\Delta E|$ représente l'énergie dissipée par effet Joule.

5. Pourquoi on dit "pseudo-période" et pas "période" ?

On utilise le terme "pseudo-période" car, à cause de la résistance, les maxima ne sont pas atteints à intervalles parfaitement réguliers et l'amplitude diminue, contrairement à un mouvement sinusoïdal pur.

💡 À retenir : Le préfixe "pseudo" souligne l'amortissement.

6. Wach uL hiya dima L cdot di/dt ?

Non, c'est seulement si la bobine est idéale ( $r=0$ ). Si la bobine a une résistance interne $r$ , alors $u_L = L \frac{di}{dt} + ri$ . C'est une erreur classique à éviter.

💡 À retenir : Toujours vérifier si la bobine est réelle ou idéale.

Non, c'est seulement si la bobine est idéale ($r=0$). Si la bobine a une résistance interne $r$, alors $u_L = L \frac{di}{dt} + ri$. C'est une erreur classique à éviter.

💡 À retenir : Toujours vérifier si la bobine est réelle ou idéale.

7. Comment calculer la résistance R si on connaît l'amortissement ?

Il faut utiliser l'équation différentielle. Si on a la courbe $u_C(t)$ , on peut mesurer la pente à un instant donné ou utiliser la décroissance de l'amplitude sur plusieurs périodes pour estimer $R_T$ . (à vérifier par le professeur)

💡 À retenir : L'amortissement est directement lié à la valeur de $R_T$ .

Il faut utiliser l'équation différentielle. Si on a la courbe $u_C(t)$, on peut mesurer la pente à un instant donné ou utiliser la décroissance de l'amplitude sur plusieurs périodes pour estimer $R_T$. (à vérifier par le professeur)

💡 À retenir : L'amortissement est directement lié à la valeur de $R_T$.

8. Est-ce que i(t) est en phase avec uC(t) ?

Non, le courant $i(t)$ est en avance de phase de $\pi/2$ par rapport à $u_C(t)$ dans un circuit LC idéal, car $i = C \frac{du_C}{dt}$ .

💡 À retenir : Quand $u_C$ est maximal, $i$ est nul.

Non, le courant $i(t)$ est en avance de phase de $\pi/2$ par rapport à $u_C(t)$ dans un circuit LC idéal, car $i = C \frac{du_C}{dt}$.

💡 À retenir : Quand $u_C$ est maximal, $i$ est nul.

9. Si je change C, est-ce que T change ?

Oui, puisque $T \approx 2\pi\sqrt{LC}$ , si tu augmentes la capacité $C$ , la période $T$ augmente aussi.

💡 À retenir : La période est proportionnelle à la racine carrée de $C$ .

Oui, puisque $T \approx 2\pi\sqrt{LC}$, si tu augmentes la capacité $C$, la période $T$ augmente aussi.

💡 À retenir : La période est proportionnelle à la racine carrée de $C$.

10. C'est quoi le rôle de la bobine dans ce circuit ?

La bobine permet le stockage de l'énergie sous forme magnétique ( $E_m = \frac{1}{2}Li^2$ ) et s'oppose aux variations du courant, ce qui permet l'oscillation avec le condensateur.

💡 À retenir : Sans bobine, il n'y a pas d'oscillations.

La bobine permet le stockage de l'énergie sous forme magnétique ($E_m = \frac{1}{2}Li^2$) et s'oppose aux variations du courant, ce qui permet l'oscillation avec le condensateur.

💡 À retenir : Sans bobine, il n'y a pas d'oscillations.

11. Comment savoir si le régime est apériodique ?

Si tu observes la courbe $u_C(t)$ et qu'elle revient à zéro sans jamais dépasser l'axe des abscisses (pas d'oscillation), alors le régime est apériodique. Cela arrive quand $R_T$ est très grande.

💡 À retenir : Régime apériodique = retour à l'équilibre sans oscillation.

12. Est-ce que l'énergie totale est conservée ?

Dans un circuit LC idéal ( $R=0$ ), oui. Dans un circuit RLC réel, non, elle diminue à cause de la dissipation de chaleur dans les résistances.

💡 À retenir : L'énergie totale est conservée uniquement dans un circuit idéal.

Dans un circuit LC idéal ($R=0$), oui. Dans un circuit RLC réel, non, elle diminue à cause de la dissipation de chaleur dans les résistances.

💡 À retenir : L'énergie totale est conservée uniquement dans un circuit idéal.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Un condensateur de capacité $C = 10 \mu F$ est chargé sous une tension $E = 6 V$ . On le branche aux bornes d'une bobine d'inductance $L = 0,1 H$ et de résistance négligeable.

Établir l'équation différentielle vérifiée par $u_C$ .
Calculer la période propre $T_0$ .
Calculer l'énergie totale du circuit.

Exercice 1

Un condensateur de capacité $C = 10 \mu F$ est chargé sous une tension $E = 6 V$. On le branche aux bornes d'une bobine d'inductance $L = 0,1 H$ et de résistance négligeable.

Établir l'équation différentielle vérifiée par $u_C$.
Calculer la période propre $T_0$.
Calculer l'énergie totale du circuit.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Un circuit RLC série a une résistance totale $R_T = 20 \Omega$ , $L = 0,5 H$ et $C = 20 \mu F$ .

Montrer que le régime est pseudo-périodique.
Calculer la pseudo-période $T$ .

Exercice 2

Un circuit RLC série a une résistance totale $R_T = 20 \Omega$, $L = 0,5 H$ et $C = 20 \mu F$.

Montrer que le régime est pseudo-périodique.
Calculer la pseudo-période $T$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Soit un circuit RLC avec $L=0,2 H$ , $C=50 \mu F$ et $R=10 \Omega$ . À $t=0$ , $u_C = 5 V$ et $i=0$ .

Calculer l'énergie totale à $t=0$ .
À un instant $t_1$ , $u_C = 3 V$ . Calculer l'énergie dissipée entre $t=0$ et $t_1$ , sachant que $i(t_1) = 0,1 A$ .

Exercice 3

Soit un circuit RLC avec $L=0,2 H$, $C=50 \mu F$ et $R=10 \Omega$. À $t=0$, $u_C = 5 V$ et $i=0$.

Calculer l'énergie totale à $t=0$.
À un instant $t_1$, $u_C = 3 V$. Calculer l'énergie dissipée entre $t=0$ et $t_1$, sachant que $i(t_1) = 0,1 A$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Un prof de Physique-Chimie pour aller plus loin

Les cours du soir avec des profs vérifiés arrivent : inscris-toi pour être prévenu(e) en premier.

Être prévenu(e) gratuitement

Autres chapitres de Physique-Chimie

Les ondes mécaniques progressives Les ondes mécaniques progressives périodiques La propagation des ondes lumineuses Les transformations nucléaires Le noyau (Masse et énergie)Le dipôle RC Le dipôle RL Les transformations lentes et les transformations rapides Le suivi temporel d'une transformation chimique - La vitesse de réaction Le sens d'évolution spontanée d'un système chimique L'état d'équilibre d'un système chimique Les réactions acide-base L'évolution spontanée d'un système chimique vers l'état d'équilibre Les réactions d'estérification et d'hydrolyse Contrôle de l'évolution des systèmes chimiques