Mathématiques · 1ère Année Bac — Sciences Mathématiques

Limites d’une fonction

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Définition intuitive : $\lim_{x \to a} f(x) = L$ signifie que $f(x)$ se rapproche de $L$ quand $x$ se rapproche de $a$ .
Opérations : Les règles usuelles sur la somme, le produit et le quotient (attention aux formes indéterminées : $\infty - \infty$ , $0 \times \infty$ , $\frac{0}{0}$ , $\frac{\infty}{\infty}$ ).
Limites des fonctions usuelles : $\lim_{x \to \infty} x^n = \infty$ , $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^n} = 0$ .
Théorèmes de comparaison : Si $g(x) \leq f(x) \leq h(x)$ et $\lim g = \lim h = L$ , alors $\lim f = L$ .
Asymptotes :
- Verticale : $\lim_{x \to a} f(x) = \infty$ .
- Horizontale : $\lim_{x \to \infty} f(x) = L$ .
- Oblique : $\lim_{x \to \infty} (f(x) - (ax+b)) = 0$ .

Méthodes à maîtriser

Factorisation par le terme de plus haut degré pour les polynômes en $\infty$ .
Utilisation de la quantité conjuguée pour lever les indéterminations avec des racines carrées.
Utilisation du taux d'accroissement pour les limites de la forme $\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ .
Encadrement pour les fonctions trigonométriques (sin, cos).

Exemples corrigés

$\lim_{x \to 2} \frac{x^2-4}{x-2} = \lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = \lim_{x \to 2} (x+2) = 4$ .
$\lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x+1} - \sqrt{x}) = \lim_{x \to +\infty} \frac{(\sqrt{x+1}-\sqrt{x})(\sqrt{x+1}+\sqrt{x})}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}} = 0$ .

Erreurs fréquentes

Oublier de préciser la forme indéterminée (F.I).
Confondre la limite en $a$ et la limite en $\infty$ .
Mal manipuler les signes dans la quantité conjuguée.
Croire que $\lim_{x \to 0} \sin(1/x)$ existe (elle n'existe pas).

L'essentiel du cours

Définition intuitive : $\lim_{x \to a} f(x) = L$ signifie que $f(x)$ se rapproche de $L$ quand $x$ se rapproche de $a$.
Opérations : Les règles usuelles sur la somme, le produit et le quotient (attention aux formes indéterminées : $\infty - \infty$, $0 \times \infty$, $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty}{\infty}$).
Limites des fonctions usuelles : $\lim_{x \to \infty} x^n = \infty$, $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^n} = 0$.
Théorèmes de comparaison : Si $g(x) \leq f(x) \leq h(x)$ et $\lim g = \lim h = L$, alors $\lim f = L$.
Asymptotes :
- Verticale : $\lim_{x \to a} f(x) = \infty$.
- Horizontale : $\lim_{x \to \infty} f(x) = L$.
- Oblique : $\lim_{x \to \infty} (f(x) - (ax+b)) = 0$.

Méthodes à maîtriser

Factorisation par le terme de plus haut degré pour les polynômes en $\infty$.
Utilisation de la quantité conjuguée pour lever les indéterminations avec des racines carrées.
Utilisation du taux d'accroissement pour les limites de la forme $\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$.
Encadrement pour les fonctions trigonométriques (sin, cos).

Exemples corrigés

$\lim_{x \to 2} \frac{x^2-4}{x-2} = \lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = \lim_{x \to 2} (x+2) = 4$.
$\lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x+1} - \sqrt{x}) = \lim_{x \to +\infty} \frac{(\sqrt{x+1}-\sqrt{x})(\sqrt{x+1}+\sqrt{x})}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}} = 0$.

Erreurs fréquentes

Oublier de préciser la forme indéterminée (F.I).
Confondre la limite en $a$ et la limite en $\infty$.
Mal manipuler les signes dans la quantité conjuguée.
Croire que $\lim_{x \to 0} \sin(1/x)$ existe (elle n'existe pas).

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Limites d’une fonction

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$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{2x}$ est égale à :

❓ Questions fréquentes

Comment lever une indétermination du type frac{0}{0} ?

Factorise le numérateur et le dénominateur par $(x-a)$ .
Simplifie par $(x-a)$ .
Calcule la limite de l'expression restante.

💡 À retenir : La factorisation par $(x-a)$ est la clé pour éliminer le facteur qui cause le zéro.

Factorise le numérateur et le dénominateur par $(x-a)$.
Simplifie par $(x-a)$.
Calcule la limite de l'expression restante.

💡 À retenir : La factorisation par $(x-a)$ est la clé pour éliminer le facteur qui cause le zéro.

Kifach n3ref wach l-limite 3ndha asymptote oblique ?

Khsek t7seb $\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = a$ (avec $a \neq 0$ ).
Men be3d t7seb $\lim_{x \to \infty} (f(x) - ax) = b$ .
Ila lqiti $a$ et $b$ réels, l-moustaqim $y = ax+b$ howa l-asymptote oblique.

💡 À retenir : Il faut toujours vérifier les deux limites pour confirmer l'asymptote.

Khsek t7seb $\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = a$ (avec $a \neq 0$).
Men be3d t7seb $\lim_{x \to \infty} (f(x) - ax) = b$.
Ila lqiti $a$ et $b$ réels, l-moustaqim $y = ax+b$ howa l-asymptote oblique.

💡 À retenir : Il faut toujours vérifier les deux limites pour confirmer l'asymptote.

Est-ce que la limite d'une fonction en a est toujours égale à f(a) ?

Non, seulement si la fonction est continue en $a$ . Si la fonction n'est pas définie en $a$ ou présente une discontinuité, la limite peut exister sans être égale à $f(a)$ .

💡 À retenir : La limite s'intéresse au comportement "autour" de $a$ , pas à la valeur en $a$ .

Non, seulement si la fonction est continue en $a$. Si la fonction n'est pas définie en $a$ ou présente une discontinuité, la limite peut exister sans être égale à $f(a)$.

💡 À retenir : La limite s'intéresse au comportement "autour" de $a$, pas à la valeur en $a$.

Kifach nkhdem b-l-moubarhanat l-darkiyin (gendarmes) ?

Khsek t-encadrer $f(x)$ bin joj d-dwal $g(x)$ et $h(x)$ .
T-vérifier que $\lim_{x \to a} g(x) = L$ et $\lim_{x \to a} h(x) = L$ .
Stentaj bli $\lim_{x \to a} f(x) = L$ .

💡 À retenir : Utile surtout pour les fonctions bornées comme $\sin(x)$ ou $\cos(x)$ .

Khsek t-encadrer $f(x)$ bin joj d-dwal $g(x)$ et $h(x)$.
T-vérifier que $\lim_{x \to a} g(x) = L$ et $\lim_{x \to a} h(x) = L$.
Stentaj bli $\lim_{x \to a} f(x) = L$.

💡 À retenir : Utile surtout pour les fonctions bornées comme $\sin(x)$ ou $\cos(x)$.

Comment gérer les limites avec des valeurs absolues ?

Étudie le signe de l'expression à l'intérieur de la valeur absolue.
Écris la fonction sans valeur absolue en distinguant les cas (positif ou négatif).
Calcule la limite à droite et à gauche si nécessaire.

💡 À retenir : $|x| = x$ si $x \geq 0$ et $|x| = -x$ si $x < 0$ .

Étudie le signe de l'expression à l'intérieur de la valeur absolue.
Écris la fonction sans valeur absolue en distinguant les cas (positif ou négatif).
Calcule la limite à droite et à gauche si nécessaire.

💡 À retenir : $|x| = x$ si $x \geq 0$ et $|x| = -x$ si $x < 0$.

Wach momkin n-factoriser b-a3la oss f-l-limite f-l-moujawir d-wahed l-3adad ?

Non, la factorisation par le terme de plus haut degré est réservée aux limites en $\pm \infty$ . En un point $a$ , on cherche plutôt à factoriser par $(x-a)$ .

💡 À retenir : Chaque situation a sa méthode de factorisation adaptée.

Non, la factorisation par le terme de plus haut degré est réservée aux limites en $\pm \infty$. En un point $a$, on cherche plutôt à factoriser par $(x-a)$.

💡 À retenir : Chaque situation a sa méthode de factorisation adaptée.

Qu'est-ce qu'une branche parabolique ?

C'est quand la courbe s'éloigne vers l'infini sans admettre d'asymptote oblique. On étudie $\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}$ . Si elle vaut $\infty$ , la branche est parabolique de direction l'axe des ordonnées.

💡 À retenir : C'est une direction asymptotique, pas une droite.

C'est quand la courbe s'éloigne vers l'infini sans admettre d'asymptote oblique. On étudie $\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}$. Si elle vaut $\infty$, la branche est parabolique de direction l'axe des ordonnées.

💡 À retenir : C'est une direction asymptotique, pas une droite.

Comment calculer lim{x to 0} frac{sin(ax)}{x} ?

C'est une limite fondamentale : $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(ax)}{x} = a$ . Tu peux multiplier et diviser par $a$ pour faire apparaître la forme du cours.

💡 À retenir : $\lim_{u \to 0} \frac{\sin(u)}{u} = 1$ .

C'est une limite fondamentale : $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(ax)}{x} = a$. Tu peux multiplier et diviser par $a$ pour faire apparaître la forme du cours.

💡 À retenir : $\lim_{u \to 0} \frac{\sin(u)}{u} = 1$.

Est-ce que lim{x to infty} f(x) = infty implique une asymptote ?

Non, cela signifie que la courbe monte ou descend indéfiniment. Il n'y a pas d'asymptote horizontale ni oblique. Il peut y avoir une branche parabolique.

💡 À retenir : L'asymptote nécessite une valeur finie (pour $y=L$ ) ou une droite (pour $y=ax+b$ ).

Non, cela signifie que la courbe monte ou descend indéfiniment. Il n'y a pas d'asymptote horizontale ni oblique. Il peut y avoir une branche parabolique.

💡 À retenir : L'asymptote nécessite une valeur finie (pour $y=L$) ou une droite (pour $y=ax+b$).

Kifach n-lever l-forme indéterminée infty - infty ?

Si c'est un polynôme, factorise par le terme de plus haut degré.
Si c'est une racine carrée, multiplie par la quantité conjuguée.
Si c'est une fraction, réduis au même dénominateur.

💡 À retenir : La méthode dépend de la nature de l'expression.

Pourquoi la limite à droite et à gauche sont-elles importantes ?

Elles permettent de savoir si la limite globale existe. Si $\lim_{x \to a^+} f(x) \neq \lim_{x \to a^-} f(x)$ , alors la limite en $a$ n'existe pas.

💡 À retenir : La limite existe si et seulement si les limites à droite et à gauche sont égales.

Elles permettent de savoir si la limite globale existe. Si $\lim_{x \to a^+} f(x) \neq \lim_{x \to a^-} f(x)$, alors la limite en $a$ n'existe pas.

💡 À retenir : La limite existe si et seulement si les limites à droite et à gauche sont égales.

Comment utiliser le taux d'accroissement pour une limite ?

Si tu as une limite de la forme $\lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$ , cela correspond par définition au nombre dérivé $f'(a)$ .

💡 À retenir : C'est une méthode puissante pour éviter des calculs longs.

Si tu as une limite de la forme $\lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$, cela correspond par définition au nombre dérivé $f'(a)$.

💡 À retenir : C'est une méthode puissante pour éviter des calculs longs.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Calculer la limite suivante : $\lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 1}{x^2 - 1}$ .

Exercice 1

Calculer la limite suivante : $\lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 1}{x^2 - 1}$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Calculer $\lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x^2+x} - x)$ .

Exercice 2

Calculer $\lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x^2+x} - x)$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Soit $f(x) = \frac{x \sin(x)}{x^2+1}$ . Déterminer $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ .

Exercice 3

Soit $f(x) = \frac{x \sin(x)}{x^2+1}$. Déterminer $\lim_{x \to +\infty} f(x)$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

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