Mathématiques · 1ère Année Bac — Sciences Mathématiques

Dérivation

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Nombre dérivé : $f$ est dérivable en $a$ si $\lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} = f'(a) \in \mathbb{R}$ .
Équation de la tangente : $y = f'(a)(x-a) + f(a)$ .
Opérations : $(u+v)' = u'+v'$ , $(uv)' = u'v + uv'$ , $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ .
Composée : $(f \circ g)'(x) = g'(x) \cdot f'(g(x))$ .
Réciproque : Si $f$ est dérivable et strictement monotone, $(f^{-1})'(y) = \frac{1}{f'(f^{-1}(y))}$ .

Méthodes à maîtriser

Étudier la dérivabilité à droite et à gauche pour les points anguleux.
Utiliser la dérivée pour déterminer la monotonie d'une fonction.
Calculer la dérivée d'une fonction composée complexe.

Exemples corrigés

Tangente : $f(x)=x^2$ en $a=1$ . $f'(x)=2x$ , donc $f'(1)=2$ . Équation : $y=2(x-1)+1 \Rightarrow y=2x-1$ .
Composée : $f(x)=\sqrt{x^2+1}$ . Soit $u(x)=x^2+1$ , $f(x)=\sqrt{u(x)}$ . $f'(x) = \frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}} = \frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}} = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$ .

Erreurs fréquentes

Oublier de vérifier la dérivabilité avant de calculer la dérivée.
Confondre $(f \circ g)'$ avec $f' \circ g'$ .
Ne pas préciser le domaine de dérivabilité.

L'essentiel du cours

Nombre dérivé : $f$ est dérivable en $a$ si $\lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} = f'(a) \in \mathbb{R}$.
Équation de la tangente : $y = f'(a)(x-a) + f(a)$.
Opérations : $(u+v)' = u'+v'$, $(uv)' = u'v + uv'$, $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
Composée : $(f \circ g)'(x) = g'(x) \cdot f'(g(x))$.
Réciproque : Si $f$ est dérivable et strictement monotone, $(f^{-1})'(y) = \frac{1}{f'(f^{-1}(y))}$.

Méthodes à maîtriser

Étudier la dérivabilité à droite et à gauche pour les points anguleux.
Utiliser la dérivée pour déterminer la monotonie d'une fonction.
Calculer la dérivée d'une fonction composée complexe.

Exemples corrigés

Tangente : $f(x)=x^2$ en $a=1$. $f'(x)=2x$, donc $f'(1)=2$. Équation : $y=2(x-1)+1 \Rightarrow y=2x-1$.
Composée : $f(x)=\sqrt{x^2+1}$. Soit $u(x)=x^2+1$, $f(x)=\sqrt{u(x)}$. $f'(x) = \frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}} = \frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}} = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$.

Erreurs fréquentes

Oublier de vérifier la dérivabilité avant de calculer la dérivée.
Confondre $(f \circ g)'$ avec $f' \circ g'$.
Ne pas préciser le domaine de dérivabilité.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Dérivation

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Quelle est la dérivée de $f(x) = \sin(2x)$ ?

❓ Questions fréquentes

Kifach n3ref wach l'fonction dérivable f point a ?

Calcule la limite du taux d'accroissement : $\lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ .
Si le résultat est un nombre réel fini, alors $f$ est dérivable en $a$ .
Si le résultat est $\infty$ , $f$ n'est pas dérivable en $a$ .

💡 À retenir : La limite doit être un nombre réel, pas l'infini.

Calcule la limite du taux d'accroissement : $\lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$.
Si le résultat est un nombre réel fini, alors $f$ est dérivable en $a$.
Si le résultat est $\infty$, $f$ n'est pas dérivable en $a$.

💡 À retenir : La limite doit être un nombre réel, pas l'infini.

Chno hiya l'farq bin dérivabilité f point et dérivabilité f intervalle ?

La dérivabilité en un point est locale (au voisinage de $a$ ).
La dérivabilité sur un intervalle signifie que la fonction est dérivable en tout point de cet intervalle.

💡 À retenir : Un point est une condition nécessaire pour l'intervalle.

La dérivabilité en un point est locale (au voisinage de $a$).
La dérivabilité sur un intervalle signifie que la fonction est dérivable en tout point de cet intervalle.

💡 À retenir : Un point est une condition nécessaire pour l'intervalle.

Kifach n7seb l'chtiqaq dyal f(g(x)) ?

Tu dérives la fonction extérieure $f$ en gardant $g(x)$ à l'intérieur.
Tu multiplies par la dérivée de la fonction intérieure $g'(x)$ .
Formule : $(f \circ g)'(x) = g'(x) \times f'(g(x))$ .

💡 À retenir : Ne jamais oublier de multiplier par $g'(x)$ .

Tu dérives la fonction extérieure $f$ en gardant $g(x)$ à l'intérieur.
Tu multiplies par la dérivée de la fonction intérieure $g'(x)$.
Formule : $(f \circ g)'(x) = g'(x) \times f'(g(x))$.

💡 À retenir : Ne jamais oublier de multiplier par $g'(x)$.

Est-ce que toute fonction continue est dérivable ?

Non. Par exemple, $f(x) = |x|$ est continue en 0 mais n'est pas dérivable en 0 (point anguleux).

💡 À retenir : Continuité n'implique pas dérivabilité.

Non. Par exemple, $f(x) = |x|$ est continue en 0 mais n'est pas dérivable en 0 (point anguleux).

💡 À retenir : Continuité n'implique pas dérivabilité.

Comment interpréter géométriquement f'(a) = 0 ?

La tangente au point d'abscisse $a$ est horizontale (parallèle à l'axe des abscisses).

💡 À retenir : C'est souvent un extremum local.

La tangente au point d'abscisse $a$ est horizontale (parallèle à l'axe des abscisses).

💡 À retenir : C'est souvent un extremum local.

Que signifie une dérivée à droite différente d'une dérivée à gauche ?

Cela signifie que la courbe présente un "point anguleux" (un coin) en ce point.

💡 À retenir : La fonction n'est pas dérivable en ce point.

Comment dériver une fonction réciproque f^{-1} ?

Il faut que $f$ soit dérivable et $f'(x) \neq 0$ . On utilise $(f^{-1})'(y) = \frac{1}{f'(f^{-1}(y))}$ .

💡 À retenir : La dérivée de la réciproque est l'inverse de la dérivée de la fonction directe.

Il faut que $f$ soit dérivable et $f'(x) \neq 0$. On utilise $(f^{-1})'(y) = \frac{1}{f'(f^{-1}(y))}$.

💡 À retenir : La dérivée de la réciproque est l'inverse de la dérivée de la fonction directe.

Est-ce que la dérivée seconde nous renseigne sur la courbe ?

Oui, elle permet d'étudier la convexité et de trouver les points d'inflexion (là où $f''$ s'annule en changeant de signe).

💡 À retenir : $f'' > 0$ signifie convexe, $f'' < 0$ signifie concave.

Oui, elle permet d'étudier la convexité et de trouver les points d'inflexion (là où $f''$ s'annule en changeant de signe).

💡 À retenir : $f'' > 0$ signifie convexe, $f'' < 0$ signifie concave.

Comment calculer la dérivée de x^n ?

La formule est $(x^n)' = n x^{n-1}$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ .

💡 À retenir : C'est la base de toutes les dérivées de polynômes.

La formule est $(x^n)' = n x^{n-1}$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$.

💡 À retenir : C'est la base de toutes les dérivées de polynômes.

Pourquoi on étudie la dérivée pour le tableau de variation ?

Parce que le signe de $f'(x)$ donne le sens de variation de $f$ : si $f' > 0$ , $f$ est croissante.

💡 À retenir : $f' \geq 0$ sur un intervalle implique $f$ croissante.

Parce que le signe de $f'(x)$ donne le sens de variation de $f$ : si $f' > 0$, $f$ est croissante.

💡 À retenir : $f' \geq 0$ sur un intervalle implique $f$ croissante.

Est-ce que la dérivée d'une somme est la somme des dérivées ?

Oui, $(f+g)' = f' + g'$ . C'est une règle fondamentale.

💡 À retenir : La dérivation est une opération linéaire.

Oui, $(f+g)' = f' + g'$. C'est une règle fondamentale.

💡 À retenir : La dérivation est une opération linéaire.

Comment trouver l'équation de la tangente ?

Il suffit d'utiliser la formule $y = f'(a)(x-a) + f(a)$ avec $a$ l'abscisse du point.

💡 À retenir : Il faut toujours calculer $f'(a)$ et $f(a)$ séparément.

Il suffit d'utiliser la formule $y = f'(a)(x-a) + f(a)$ avec $a$ l'abscisse du point.

💡 À retenir : Il faut toujours calculer $f'(a)$ et $f(a)$ séparément.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $f(x) = x^3 - 3x + 2$ . Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a=1$ .

Exercice 1

Soit $f(x) = x^3 - 3x + 2$. Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a=1$.

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Exercice 2

Étudier la dérivabilité de $f(x) = |x-2|$ en $x_0 = 2$ .

Exercice 2

Étudier la dérivabilité de $f(x) = |x-2|$ en $x_0 = 2$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Soit $f(x) = \sqrt{x^2+3}$ . Calculer $f'(x)$ et montrer que $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ .

Exercice 3

Soit $f(x) = \sqrt{x^2+3}$. Calculer $f'(x)$ et montrer que $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$.

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