Mathématiques · 1ère Année Bac — Sciences Mathématiques

Généralités sur les fonctions

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Ensemble de définition : $D_f = \{x \in \mathbb{R} / f(x) \in \mathbb{R}\}$ .
Parité : $f$ est paire si $\forall x \in D_f, -x \in D_f$ et $f(-x) = f(x)$ . Elle est impaire si $f(-x) = -f(x)$ .
Monotonie : Soit $T = \frac{f(x) - f(y)}{x - y}$ le taux de variation. Si $T > 0$ alors $f$ est croissante. Si $T < 0$ alors $f$ est décroissante.
Majorant/Minorant : $f$ est majorée par $M$ si $\forall x \in D_f, f(x) \leq M$ .
Composée : $(g \circ f)(x) = g(f(x))$ .

Méthodes à maîtriser

Déterminer $D_f$ (attention aux dénominateurs et racines carrées).
Étudier la parité en calculant $f(-x)$ .
Étudier la monotonie via le taux de variation pour des fonctions non usuelles.
Déterminer l'image d'un intervalle par une fonction monotone.

Exemples corrigés

Exemple 1 : $f(x) = \frac{1}{x^2-1}$ . $D_f = \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}$ .
Exemple 2 : $f(x) = x^2$ . $f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)$ , donc $f$ est paire.

Erreurs fréquentes

Oublier de vérifier si $-x \in D_f$ avant de conclure sur la parité.
Confondre "croissante" et "positive".
Ne pas restreindre l'ensemble de définition lors de la composition $g \circ f$ .

L'essentiel du cours

Ensemble de définition : $D_f = {x \in \mathbb{R} / f(x) \in \mathbb{R}}$.
Parité : $f$ est paire si $\forall x \in D_f, -x \in D_f$ et $f(-x) = f(x)$. Elle est impaire si $f(-x) = -f(x)$.
Monotonie : Soit $T = \frac{f(x) - f(y)}{x - y}$ le taux de variation. Si $T > 0$ alors $f$ est croissante. Si $T < 0$ alors $f$ est décroissante.
Majorant/Minorant : $f$ est majorée par $M$ si $\forall x \in D_f, f(x) \leq M$.
Composée : $(g \circ f)(x) = g(f(x))$.

Méthodes à maîtriser

Déterminer $D_f$ (attention aux dénominateurs et racines carrées).
Étudier la parité en calculant $f(-x)$.
Étudier la monotonie via le taux de variation pour des fonctions non usuelles.
Déterminer l'image d'un intervalle par une fonction monotone.

Exemples corrigés

Exemple 1 : $f(x) = \frac{1}{x^2-1}$. $D_f = \mathbb{R} \setminus {-1, 1}$.
Exemple 2 : $f(x) = x^2$. $f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)$, donc $f$ est paire.

Erreurs fréquentes

Oublier de vérifier si $-x \in D_f$ avant de conclure sur la parité.
Confondre "croissante" et "positive".
Ne pas restreindre l'ensemble de définition lors de la composition $g \circ f$.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

Tu as appris les sciences en arabe ? Touche un mot pour voir sa traduction et une explication en darija.

La question que tu n'oses pas poser en classe ? Pose-la à UstadZéro jugement, même en darija, même à minuit. Il t'explique pas à pas et corrige ta démarche. Gratuit.Commencer gratuitement

Défi flash : 4 questions

Sans compte

🎯 Généralités sur les fonctions

1/4

La fonction $f(x) = |x|$ est :

❓ Questions fréquentes

Chno hiya l-qima d-dounya (minimum) ?

C'est la plus petite valeur que peut prendre la fonction sur son ensemble de définition. On dit que $m$ est le minimum si $f(x) \geq m$ pour tout $x$ et il existe $x_0$ tel que $f(x_0)=m$ .

💡 À retenir : Le minimum est une valeur atteinte.

C'est la plus petite valeur que peut prendre la fonction sur son ensemble de définition. On dit que $m$ est le minimum si $f(x) \geq m$ pour tout $x$ et il existe $x_0$ tel que $f(x_0)=m$.

💡 À retenir : Le minimum est une valeur atteinte.

Comment savoir si une fonction est paire ou impaire ?

Vérifie d'abord que ton ensemble de définition $D_f$ est symétrique par rapport à 0 (si $x \in D_f$ , alors $-x \in D_f$ ).
Calcule $f(-x)$ .
Si $f(-x) = f(x)$ , la fonction est paire.
Si $f(-x) = -f(x)$ , la fonction est impaire.
Si aucune de ces deux égalités n'est vraie, la fonction n'est ni paire ni impaire.

💡 À retenir : La parité est une propriété de symétrie du graphe.

Vérifie d'abord que ton ensemble de définition $D_f$ est symétrique par rapport à 0 (si $x \in D_f$, alors $-x \in D_f$).
Calcule $f(-x)$.
Si $f(-x) = f(x)$, la fonction est paire.
Si $f(-x) = -f(x)$, la fonction est impaire.
Si aucune de ces deux égalités n'est vraie, la fonction n'est ni paire ni impaire.

💡 À retenir : La parité est une propriété de symétrie du graphe.

Kifach n7seb l-image dyal wahed l-intervalle [a, b] ?

Khass tkon 3aref l-monotonie dyal lfonction f-had l-intervalle.
Ila kanet $f$ croissante, l-image hiya $[f(a), f(b)]$ .
Ila kanet $f$ décroissante, l-image hiya $[f(b), f(a)]$ .

💡 À retenir : L'ordre change si la fonction est décroissante.

Khass tkon 3aref l-monotonie dyal lfonction f-had l-intervalle.
Ila kanet $f$ croissante, l-image hiya $[f(a), f(b)]$.
Ila kanet $f$ décroissante, l-image hiya $[f(b), f(a)]$.

💡 À retenir : L'ordre change si la fonction est décroissante.

C'est quoi la différence entre "majorée" et "maximum" ?

Une fonction est majorée par $M$ si $f(x) \leq M$ pour tout $x$ . $M$ n'est pas forcément atteint.
Un maximum est une valeur $M$ telle qu'il existe un $x_0$ où $f(x_0) = M$ et $f(x) \leq M$ pour tout $x$ .

💡 À retenir : Le maximum est un majorant qui est atteint par la fonction.

Une fonction est majorée par $M$ si $f(x) \leq M$ pour tout $x$. $M$ n'est pas forcément atteint.
Un maximum est une valeur $M$ telle qu'il existe un $x_0$ où $f(x_0) = M$ et $f(x) \leq M$ pour tout $x$.

💡 À retenir : Le maximum est un majorant qui est atteint par la fonction.

Chno hiya l-fayda dyal l-composition des fonctions ?

La composition permet de construire des fonctions complexes à partir de fonctions simples (ex: $f(x) = \sqrt{x^2+1}$ est la composée de $u(x)=x^2+1$ et $v(x)=\sqrt{x}$ ). C'est essentiel pour étudier les variations de fonctions composées.

💡 À retenir : La composée de deux fonctions croissantes est croissante.

La composition permet de construire des fonctions complexes à partir de fonctions simples (ex: $f(x) = \sqrt{x^2+1}$ est la composée de $u(x)=x^2+1$ et $v(x)=\sqrt{x}$). C'est essentiel pour étudier les variations de fonctions composées.

💡 À retenir : La composée de deux fonctions croissantes est croissante.

Kifach n-étudier la monotonie d'une fonction f(x) = ax^2 + bx + c ?

Hseb le taux de variation $T = \frac{f(x)-f(y)}{x-y}$ .
Simplifie l'expression pour trouver $a(x+y) + b$ .
Étudie le signe de $T$ sur les intervalles $]-\infty, -b/2a]$ et $[-b/2a, +\infty[$ .

💡 À retenir : Le signe du taux dépend de la position de $x$ et $y$ par rapport au sommet.

Hseb le taux de variation $T = \frac{f(x)-f(y)}{x-y}$.
Simplifie l'expression pour trouver $a(x+y) + b$.
Étudie le signe de $T$ sur les intervalles $]-\infty, -b/2a]$ et $[-b/2a, +\infty[$.

💡 À retenir : Le signe du taux dépend de la position de $x$ et $y$ par rapport au sommet.

Est-ce que toute fonction est soit paire, soit impaire ?

Non, la grande majorité des fonctions ne sont ni paires ni impaires (par exemple $f(x) = x^2 + x$ ).

💡 À retenir : La parité est une exception, pas une règle.

Non, la grande majorité des fonctions ne sont ni paires ni impaires (par exemple $f(x) = x^2 + x$).

💡 À retenir : La parité est une exception, pas une règle.

Comment montrer qu'une fonction est bornée ?

Il faut montrer qu'elle est à la fois majorée (il existe $M$ tel que $f(x) \leq M$ ) et minorée (il existe $m$ tel que $f(x) \geq m$ ).

💡 À retenir : $f$ est bornée si $|f(x)| \leq K$ pour un certain $K > 0$ .

Il faut montrer qu'elle est à la fois majorée (il existe $M$ tel que $f(x) \leq M$) et minorée (il existe $m$ tel que $f(x) \geq m$).

💡 À retenir : $f$ est bornée si $|f(x)| \leq K$ pour un certain $K > 0$.

Est-ce que f circ g = g circ f toujours ?

Non, en général la composition n'est pas commutative. Par exemple, si $f(x)=x^2$ et $g(x)=x+1$ , alors $f(g(x)) = (x+1)^2$ et $g(f(x)) = x^2+1$ .

💡 À retenir : L'ordre de composition est crucial.

Non, en général la composition n'est pas commutative. Par exemple, si $f(x)=x^2$ et $g(x)=x+1$, alors $f(g(x)) = (x+1)^2$ et $g(f(x)) = x^2+1$.

💡 À retenir : L'ordre de composition est crucial.

Comment déterminer D{g circ f} ?

Il faut que $x \in D_f$ ET $f(x) \in D_g$ . C'est l'ensemble $\{x \in D_f / f(x) \in D_g\}$ .

💡 À retenir : Toujours vérifier la condition sur $f(x)$ avant de conclure.

Il faut que $x \in D_f$ ET $f(x) \in D_g$. C'est l'ensemble ${x \in D_f / f(x) \in D_g}$.

💡 À retenir : Toujours vérifier la condition sur $f(x)$ avant de conclure.

Est-ce qu'une fonction strictement croissante est forcément bijective ?

Oui, d'un intervalle $I$ vers son image $f(I)$ , une fonction strictement monotone est une bijection.

💡 À retenir : La stricte monotonie garantit l'injectivité.

Oui, d'un intervalle $I$ vers son image $f(I)$, une fonction strictement monotone est une bijection.

💡 À retenir : La stricte monotonie garantit l'injectivité.

Pourquoi on étudie la parité sur un intervalle symétrique ?

Parce que la définition de la parité demande que pour tout $x$ dans le domaine, $-x$ soit aussi dans le domaine. Si le domaine n'est pas symétrique, la symétrie du graphe est impossible.

💡 À retenir : La symétrie du domaine est la condition nécessaire.

Parce que la définition de la parité demande que pour tout $x$ dans le domaine, $-x$ soit aussi dans le domaine. Si le domaine n'est pas symétrique, la symétrie du graphe est impossible.