Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.
📘 Fiche de cours
L'essentiel du cours
Continuité en un point : $f$ est continue en $x_0$ si $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$.
Continuité sur un intervalle : $f$ est continue sur $I$ si elle est continue en tout point de $I$.
Opérations : La somme, le produit et le quotient (si dénominateur $\neq 0$) de fonctions continues sont continus.
TVI : Si $f$ est continue sur $[a, b]$, alors pour tout $y$ entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe au moins un $c \in [a, b]$ tel que $f(c) = y$.
Théorème de la bijection : Si $f$ est continue et strictement monotone sur $I$, alors $f$ réalise une bijection de $I$ vers $f(I)$.
Méthodes à maîtriser
Étudier la continuité en un point : Calculer $\lim_{x \to x_0^+} f(x)$ et $\lim_{x \to x_0^-} f(x)$ et vérifier si elles sont égales à $f(x_0)$.
Démontrer l'existence d'une solution : Utiliser le TVI sur l'équation $f(x) = 0$ en montrant que $f(a) \times f(b) < 0$.
Déterminer l'image d'un intervalle : Si $f$ est continue et strictement croissante sur $[a, b]$, alors $f([a, b]) = [f(a), f(b)]$.
Exemples corrigés
Prolongement : Soit $f(x) = \frac{x^2-1}{x-1}$ pour $x \neq 1$. $\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} (x+1) = 2$. Le prolongement par continuité en 1 est la fonction $\tilde{f}$ définie par $\tilde{f}(1)=2$.
Existence : $f(x) = x^3 + x - 1$ sur $[0, 1]$. $f(0)=-1$ et $f(1)=1$. Comme $f$ est continue et $f(0) \times f(1) < 0$, il existe $\alpha \in ]0, 1[$ tel que $f(\alpha)=0$.
Erreurs fréquentes
Oublier de préciser que la fonction est continue avant d'appliquer le TVI.
Confondre l'image d'un intervalle ouvert et fermé.
Ne pas vérifier la stricte monotonie pour le théorème de la bijection.
🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR
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Est-ce qu'une fonction continue est toujours dérivable ?
Non, pas forcément. La continuité est une condition nécessaire mais pas suffisante pour la dérivabilité. Par exemple, la fonction valeur absolue $f(x) = |x|$ est continue en 0, mais elle n'est pas dérivable en 0 car les limites du taux d'accroissement à gauche et à droite sont différentes (-1 et 1).
💡 À retenir : Toute fonction dérivable est continue, mais la réciproque est fausse.
kifach n3ref wach fonction continue f chi point?
Pour savoir si $f$ est continue en $x_0$, tu dois vérifier trois choses :
Calculer la limite $\lim_{x \to x_0} f(x)$.
Calculer l'image $f(x_0)$.
Vérifier si $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$. Si les deux sont égaux, alors elle est continue.
💡 À retenir : Si la limite n'existe pas ou est différente de $f(x_0)$, la fonction est discontinue.
chno hiya l'image d'un intervalle [a, b] par une fonction continue ?
Si $f$ est continue sur $[a, b]$ :
Si $f$ est strictement croissante, $f([a, b]) = [f(a), f(b)]$.
Si $f$ est strictement décroissante, $f([a, b]) = [f(b), f(a)]$.
💡 À retenir : L'ordre des bornes change si la fonction est décroissante.
Est-ce que le TVI permet de trouver la valeur exacte de la solution ?
Non, le TVI permet seulement de prouver l'existence d'au moins une solution dans l'intervalle donné. Il ne donne pas la valeur exacte, sauf dans des cas très simples. Pour trouver une valeur approchée, on utilise souvent la méthode de dichotomie.
💡 À retenir : Le TVI est un théorème d'existence, pas de calcul.
wach n9der nst3mel TVI ila kant f machi continue ?
Non, la continuité est la condition sine qua non pour appliquer le TVI. Si la fonction présente une discontinuité (un saut), le théorème ne s'applique plus car la fonction peut "sauter" par-dessus la valeur visée.
💡 À retenir : Toujours vérifier la continuité avant d'invoquer le TVI.
kifach n7seb l'image d'un intervalle ouvert ]a, b[ ?
Si $f$ est continue et strictement croissante sur $]a, b[$ :
Calcule la limite à droite en $a$ : $L_1 = \lim_{x \to a^+} f(x)$.
Calcule la limite à gauche en $b$ : $L_2 = \lim_{x \to b^-} f(x)$.
L'image est l'intervalle $]L_1, L_2[$.
💡 À retenir : On utilise les limites aux bornes pour les intervalles ouverts.
Qu'est-ce qu'un prolongement par continuité ?
C'est une technique qui consiste à définir une nouvelle fonction $\tilde{f}$ qui est égale à $f$ partout sauf au point $x_0$ où $f$ n'est pas définie, en posant $\tilde{f}(x_0) = \lim_{x \to x_0} f(x)$. Cela permet de "combler le trou" dans la courbe.
💡 À retenir : Le prolongement n'est possible que si la limite en $x_0$ est finie.
Est-ce qu'une fonction bijective est forcément continue ?
Dans le cadre de ton programme, si une fonction est continue et strictement monotone sur un intervalle $I$, alors elle est bijective de $I$ vers $f(I)$. Cependant, une fonction peut être bijective sans être continue (par exemple une fonction définie par morceaux avec des sauts).
💡 À retenir : La continuité + stricte monotonie = bijection.
Pourquoi on étudie la continuité à droite et à gauche ?
On le fait quand la fonction est définie par morceaux (différentes expressions selon les intervalles). Pour qu'elle soit continue au point de jonction, il faut que la limite à gauche, la limite à droite et l'image soient toutes égales.
Non, seulement si la fonction est croissante. Si elle est décroissante, l'image est $[f(b), f(a)]$. Si la fonction n'est pas monotone, il faut chercher les extremums (valeurs minimales et maximales) sur l'intervalle.
💡 À retenir : La monotonie est indispensable pour déterminer l'image.
Est-ce que la somme de deux fonctions discontinues peut être continue ?
Oui, c'est possible. Par exemple, si $f(x) = 1$ pour $x \geq 0$ et $-1$ pour $x < 0$, et $g(x) = -1$ pour $x \geq 0$ et $1$ pour $x < 0$. Les deux sont discontinues en 0, mais leur somme $f+g$ est la fonction nulle, qui est continue.
💡 À retenir : La continuité est une propriété stable par addition, mais la discontinuité ne l'est pas.
Comment prouver qu'une équation f(x) = k admet une solution unique ?
Il faut montrer deux choses :
$f$ est continue sur l'intervalle.
$f$ est strictement monotone sur cet intervalle.
Si ces deux conditions sont remplies, alors $f$ est une bijection, donc chaque valeur $k$ de l'ensemble d'arrivée possède un unique antécédent.
💡 À retenir : Stricte monotonie = unicité de la solution.
✍️ Exercices type examen national
Exercice 1
Soit $f$ la fonction définie par :
$f(x) = \frac{x^2-4}{x-2}$ pour $x \neq 2$
$f(2) = a$
Déterminer la valeur de $a$ pour que $f$ soit continue en 2.
Continuité en un point : f est continue en x0 si limx→x0f(x)=f(x0).
Continuité sur un intervalle : f est continue sur I si elle est continue en tout point de I.
Opérations : La somme, le produit et le quotient (si dénominateur =0) de fonctions continues sont continus.
TVI : Si f est continue sur [a,b], alors pour tout y entre f(a) et f(b), il existe au moins un c∈[a,b] tel que f(c)=y.
Théorème de la bijection : Si f est continue et strictement monotone sur I, alors f réalise une bijection de I vers f(I).
Méthodes à maîtriser
Étudier la continuité en un point : Calculer limx→x0+f(x) et limx→x0−f(x) et vérifier si elles sont égales à f(x0).
Démontrer l'existence d'une solution : Utiliser le TVI sur l'équation f(x)=0 en montrant que f(a)×f(b)<0.
Déterminer l'image d'un intervalle : Si f est continue et strictement croissante sur [a,b], alors f([a,b])=[f(a),f(b)].
Exemples corrigés
Prolongement : Soit f(x)=x−1x2−1 pour x=1. limx→1f(x)=limx→1(x+1)=2. Le prolongement par continuité en 1 est la fonction f~ définie par f~(1)=2.
Existence : f(x)=x3+x−1 sur [0,1]. f(0)=−1 et f(1)=1. Comme f est continue et f(0)×f(1)<0, il existe α∈]0,1[ tel que f(α)=0.
Erreurs fréquentes
Oublier de préciser que la fonction est continue avant d'appliquer le TVI.
Confondre l'image d'un intervalle ouvert et fermé.
Ne pas vérifier la stricte monotonie pour le théorème de la bijection.
La fonction f(x)=tan(x) est continue sur :
]−π/2,π/2[
[0,π]
[−π/2,π/2]
Non, pas forcément. La continuité est une condition nécessaire mais pas suffisante pour la dérivabilité. Par exemple, la fonction valeur absolue f(x)=∣x∣ est continue en 0, mais elle n'est pas dérivable en 0 car les limites du taux d'accroissement à gauche et à droite sont différentes (-1 et 1).
💡 À retenir : Toute fonction dérivable est continue, mais la réciproque est fausse.
Pour savoir si f est continue en x0, tu dois vérifier trois choses :
Calculer la limite limx→x0f(x).
Calculer l'image f(x0).
Vérifier si limx→x0f(x)=f(x0). Si les deux sont égaux, alors elle est continue.
💡 À retenir : Si la limite n'existe pas ou est différente de f(x0), la fonction est discontinue.
Si f est continue sur [a,b] :
Si f est strictement croissante, f([a,b])=[f(a),f(b)].
Si f est strictement décroissante, f([a,b])=[f(b),f(a)].
💡 À retenir : L'ordre des bornes change si la fonction est décroissante.
Si f est continue et strictement croissante sur ]a,b[ :
Calcule la limite à droite en a : L1=limx→a+f(x).
Calcule la limite à gauche en b : L2=limx→b−f(x).
L'image est l'intervalle ]L1,L2[.
💡 À retenir : On utilise les limites aux bornes pour les intervalles ouverts.
C'est une technique qui consiste à définir une nouvelle fonction f~ qui est égale à f partout sauf au point x0 où f n'est pas définie, en posant f~(x0)=limx→x0f(x). Cela permet de "combler le trou" dans la courbe.
💡 À retenir : Le prolongement n'est possible que si la limite en x0 est finie.
Dans le cadre de ton programme, si une fonction est continue et strictement monotone sur un intervalle I, alors elle est bijective de I vers f(I). Cependant, une fonction peut être bijective sans être continue (par exemple une fonction définie par morceaux avec des sauts).
💡 À retenir : La continuité + stricte monotonie = bijection.
On le fait quand la fonction est définie par morceaux (différentes expressions selon les intervalles). Pour qu'elle soit continue au point de jonction, il faut que la limite à gauche, la limite à droite et l'image soient toutes égales.
💡 À retenir : limx→x0+f(x)=limx→x0−f(x)=f(x0).
Non, seulement si la fonction est croissante. Si elle est décroissante, l'image est [f(b),f(a)]. Si la fonction n'est pas monotone, il faut chercher les extremums (valeurs minimales et maximales) sur l'intervalle.
💡 À retenir : La monotonie est indispensable pour déterminer l'image.
Oui, c'est possible. Par exemple, si f(x)=1 pour x≥0 et −1 pour x<0, et g(x)=−1 pour x≥0 et 1 pour x<0. Les deux sont discontinues en 0, mais leur somme f+g est la fonction nulle, qui est continue.
💡 À retenir : La continuité est une propriété stable par addition, mais la discontinuité ne l'est pas.
Il faut montrer deux choses :
f est continue sur l'intervalle.
f est strictement monotone sur cet intervalle.
Si ces deux conditions sont remplies, alors f est une bijection, donc chaque valeur k de l'ensemble d'arrivée possède un unique antécédent.
💡 À retenir : Stricte monotonie = unicité de la solution.
Exercice 1
Soit f la fonction définie par :
f(x)=x−2x2−4 pour x=2f(2)=a
Déterminer la valeur de a pour que f soit continue en 2.
Exercice 2
Montrer que l'équation x3+2x−1=0 admet une unique solution α dans ]0,1[.
Exercice 3
Soit f(x)=x−1. Déterminer l'image de l'intervalle [1,5] par f.