Mathématiques · 2ème Année Bac — Sciences Agronomiques

Fonctions primitives

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ . On appelle primitive de $f$ sur $I$ , toute fonction $F$ dérivable sur $I$ telle que : $\forall x \in I, \quad F'(x) = f(x)$

Propriétés importantes :

Si $F$ est une primitive de $f$ , alors toutes les primitives de $f$ sont de la forme $F(x) + C$ , où $C \in \mathbb{R}$ est une constante réelle.
L'existence d'une primitive est toujours garantie sur un intervalle où la fonction est continue.

Tableau des primitives usuelles :

$f(x)$	$F(x)$ (Primitive)	Condition
$a$ (constante)	$ax + C$
$x^n$	$\frac{x^{n+1}}{n+1} + C$	$n \neq -1$
$\frac{1}{x}$	$\ln	x
$\frac{1}{x^2}$	$-\frac{1}{x} + C$	$x \neq 0$
$\frac{1}{\sqrt{x}}$	$2\sqrt{x} + C$	$x > 0$
$e^x$	$e^x + C$
$e^{ax}$	$\frac{1}{a}e^{ax} + C$	$a \neq 0$

Formules de composition (très important pour l'examen) :

$f(x)$	$F(x)$ (Primitive)
$u' \cdot u^n$	$\frac{u^{n+1}}{n+1} + C$ ( $n \neq -1$ )
$\frac{u'}{u}$	$\ln
$\frac{u'}{u^2}$	$-\frac{1}{u} + C$
$u' \cdot e^u$	$e^u + C$
$u' \cdot \sqrt{u}$	$\frac{2}{3}u^{3/2} + C$

Méthodes à maîtriser

Reconnaître une forme composée : Devant une fonction, ne pas chercher directement la primitive de $x^n$ , mais chercher si elle ressemble à $u' \cdot u^n$ ou $\frac{u'}{u}$ .
Utiliser la linéarité : La primitive d'une somme est la somme des primitives. Exemple : Si $f(x) = 3x^2 + 2x$ , alors $F(x) = 3(\frac{x^3}{3}) + 2(\frac{x^2}{2}) = x^3 + x^2 + C$ .
Passer par une transformation : Parfois, il faut transformer l'expression (factoriser, développer) pour faire apparaître une forme connue.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Trouver une primitive de $f(x) = 4x^3 - 5$ . Réponse :

On applique la règle de la puissance pour $x^3$ et la règle de la constante pour $-5$ .
$F(x) = 4 \cdot \frac{x^4}{4} - 5x + C$ .
$F(x) = x^4 - 5x + C$ .

Exemple 2 : Trouver une primitive de $f(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}$ . Réponse :

On reconnaît la forme $\frac{u'}{u}$ avec $u(x) = x^2 + 1$ .
On vérifie la dérivée : $u'(x) = 2x$ . La forme est bien respectée.
La primitive est $F(x) = \ln(x^2 + 1) + C$ (on ne met pas de valeur absolue car $x^2+1 > 0$ ).

Erreurs fréquentes

Oublier la constante $C$ : Dans un exercice de recherche de "toutes les primitives", ne pas mettre $+C$ est une erreur grave.
Confondre $\frac{u'}{u}$ et $\frac{u'}{u^2}$ : $\frac{u'}{u}$ donne $\ln|u|$ , alors que $\frac{u'}{u^2}$ donne $-\frac{1}{u}$ .
Erreur de signe avec les puissances négatives : La primitive de $\frac{1}{x^2}$ est $-\frac{1}{x}$ , pas $\frac{1}{x}$ .
Mauvaise application de la règle $u^n$ : Ne pas vérifier si le numérateur est bien la dérivée $u'$ de la base $u$ .

L'essentiel du cours

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$. On appelle primitive de $f$ sur $I$, toute fonction $F$ dérivable sur $I$ telle que : $$\forall x \in I, \quad F'(x) = f(x)$$

Propriétés importantes :

Si $F$ est une primitive de $f$, alors toutes les primitives de $f$ sont de la forme $F(x) + C$, où $C \in \mathbb{R}$ est une constante réelle.
L'existence d'une primitive est toujours garantie sur un intervalle où la fonction est continue.

Tableau des primitives usuelles :

$f(x)$	$F(x)$ (Primitive)	Condition
$a$ (constante)	$ax + C$
$x^n$	$\frac{x^{n+1}}{n+1} + C$	$n \neq -1$
$\frac{1}{x}$	$\ln	x
$\frac{1}{x^2}$	$-\frac{1}{x} + C$	$x \neq 0$
$\frac{1}{\sqrt{x}}$	$2\sqrt{x} + C$	$x > 0$
$e^x$	$e^x + C$
$e^{ax}$	$\frac{1}{a}e^{ax} + C$	$a \neq 0$

Formules de composition (très important pour l'examen) :

$f(x)$	$F(x)$ (Primitive)
$u' \cdot u^n$	$\frac{u^{n+1}}{n+1} + C$ ($n \neq -1$)
$\frac{u'}{u}$	$\ln
$\frac{u'}{u^2}$	$-\frac{1}{u} + C$
$u' \cdot e^u$	$e^u + C$
$u' \cdot \sqrt{u}$	$\frac{2}{3}u^{3/2} + C$

Méthodes à maîtriser

Reconnaître une forme composée : Devant une fonction, ne pas chercher directement la primitive de $x^n$, mais chercher si elle ressemble à $u' \cdot u^n$ ou $\frac{u'}{u}$.
Utiliser la linéarité : La primitive d'une somme est la somme des primitives. Exemple : Si $f(x) = 3x^2 + 2x$, alors $F(x) = 3(\frac{x^3}{3}) + 2(\frac{x^2}{2}) = x^3 + x^2 + C$.
Passer par une transformation : Parfois, il faut transformer l'expression (factoriser, développer) pour faire apparaître une forme connue.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Trouver une primitive de $f(x) = 4x^3 - 5$. Réponse :

On applique la règle de la puissance pour $x^3$ et la règle de la constante pour $-5$.
$F(x) = 4 \cdot \frac{x^4}{4} - 5x + C$.
$F(x) = x^4 - 5x + C$.

Exemple 2 : Trouver une primitive de $f(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}$. Réponse :

On reconnaît la forme $\frac{u'}{u}$ avec $u(x) = x^2 + 1$.
On vérifie la dérivée : $u'(x) = 2x$. La forme est bien respectée.
La primitive est $F(x) = \ln(x^2 + 1) + C$ (on ne met pas de valeur absolue car $x^2+1 > 0$).

Erreurs fréquentes

Oublier la constante $C$ : Dans un exercice de recherche de "toutes les primitives", ne pas mettre $+C$ est une erreur grave.
Confondre $\frac{u'}{u}$ et $\frac{u'}{u^2}$ : $\frac{u'}{u}$ donne $\ln|u|$, alors que $\frac{u'}{u^2}$ donne $-\frac{1}{u}$.
Erreur de signe avec les puissances négatives : La primitive de $\frac{1}{x^2}$ est $-\frac{1}{x}$, pas $\frac{1}{x}$.
Mauvaise application de la règle $u^n$ : Ne pas vérifier si le numérateur est bien la dérivée $u'$ de la base $u$.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Fonctions primitives

1/4

Quelle est la primitive de $f(x) = \frac{1}{x+5}$ ?

❓ Questions fréquentes

La primitive d'une fonction est-elle unique ?

Non, elle n'est pas unique.
Elle est unique à une constante près.
Si $F(x)$ est une primitive, alors $F(x) + 5$ ou $F(x) - \pi$ sont aussi des primitives.

💡 À retenir : On parle d'une "famille de primitives".

Non, elle n'est pas unique.
Elle est unique à une constante près.
Si $F(x)$ est une primitive, alors $F(x) + 5$ ou $F(x) - \pi$ sont aussi des primitives.

💡 À retenir : On parle d'une "famille de primitives".

Chno l'farq bin dérivée et primitive?

C'est l'opération inverse.

La dérivée transforme une fonction $f$ en sa vitesse de variation $f'$ .
La primitive fait le chemin inverse : elle part de $f'$ pour retrouver $f$ .

💡 À retenir : Si tu dérives la primitive, tu dois retomber sur la fonction de départ.

C'est l'opération inverse.

La dérivée transforme une fonction $f$ en sa vitesse de variation $f'$.
La primitive fait le chemin inverse : elle part de $f'$ pour retrouver $f$.

💡 À retenir : Si tu dérives la primitive, tu dois retomber sur la fonction de départ.

Kifach n3ref wach had l'fonction 3ndha primitive?

Si la fonction est continue sur l'intervalle donné, alors elle possède obligatoirement des primitives sur cet intervalle.
Pour l'examen, la plupart des fonctions que tu étudies (polynômes, $e^x$ , $\ln(x)$ ) sont continues sur leur domaine.

💡 À retenir : Continuité $\implies$ Existence de primitives.

Si la fonction est continue sur l'intervalle donné, alors elle possède obligatoirement des primitives sur cet intervalle.
Pour l'examen, la plupart des fonctions que tu étudies (polynômes, $e^x$, $\ln(x)$) sont continues sur leur domaine.

💡 À retenir : Continuité $\implies$ Existence de primitives.

Chno had l'C li katzad f lekher?

C'est une constante réelle ( $C \in \mathbb{R}$ ).
Quand on dérive une constante (comme 5, -2 ou $\pi$ ), le résultat est 0.
Donc, une infinité de fonctions (ex: $x^2$ , $x^2+1$ , $x^2-10$ ) ont la même dérivée ( $2x$ ). On écrit $+C$ pour désigner toute cette famille.

💡 À retenir : $C$ représente l'ensemble de toutes les primitives possibles.

C'est une constante réelle ($C \in \mathbb{R}$).
Quand on dérive une constante (comme 5, -2 ou $\pi$), le résultat est 0.
Donc, une infinité de fonctions (ex: $x^2$, $x^2+1$, $x^2-10$) ont la même dérivée ($2x$). On écrit $+C$ pour désigner toute cette famille.

💡 À retenir : $C$ représente l'ensemble de toutes les primitives possibles.

Quelle est la primitive de f(x) = frac{1}{x} ?

On utilise la formule de la forme $\frac{u'}{u}$ avec $u(x) = x$ .
La primitive est $F(x) = \ln|x| + C$ .
On utilise la valeur absolue $|x|$ car le logarithme n'est défini que pour des nombres strictement positifs.

💡 À retenir : $\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C$ .

On utilise la formule de la forme $\frac{u'}{u}$ avec $u(x) = x$.
La primitive est $F(x) = \ln|x| + C$.
On utilise la valeur absolue $|x|$ car le logarithme n'est défini que pour des nombres strictement positifs.

💡 À retenir : $\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C$.

Comment trouver la primitive de f(x) = e^{3x+2} ?

On reconnaît la forme $u' e^u$ ou plus simplement $e^{ax+b}$ .
Ici $u(x) = 3x+2$ , donc $u'(x) = 3$ .
Pour avoir $u'$ au numérateur, on multiplie et divise par 3 : $f(x) = \frac{1}{3} (3) e^{3x+2}$ .
La primitive est $F(x) = \frac{1}{3}e^{3x+2} + C$ .

💡 À retenir : La primitive de $e^{ax+b}$ est $\frac{1}{a}e^{ax+b} + C$ .

On reconnaît la forme $u' e^u$ ou plus simplement $e^{ax+b}$.
Ici $u(x) = 3x+2$, donc $u'(x) = 3$.
Pour avoir $u'$ au numérateur, on multiplie et divise par 3 : $f(x) = \frac{1}{3} (3) e^{3x+2}$.
La primitive est $F(x) = \frac{1}{3}e^{3x+2} + C$.

💡 À retenir : La primitive de $e^{ax+b}$ est $\frac{1}{a}e^{ax+b} + C$.

Peut-on trouver une primitive de f(x) = frac{1}{x^2} ?

Oui, car la fonction est continue sur $]-\infty, 0[$ et $]0, +\infty[$ .
On peut écrire $f(x) = x^{-2}$ .
En utilisant la règle $x^n \to \frac{x^{n+1}}{n+1}$ , on a $F(x) = \frac{x^{-2+1}}{-2+1} = \frac{x^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x} + C$ .

💡 À retenir : La primitive de $\frac{1}{x^2}$ est $-\frac{1}{x} + C$ .

Oui, car la fonction est continue sur $]-\infty, 0[$ et $]0, +\infty[$.
On peut écrire $f(x) = x^{-2}$.
En utilisant la règle $x^n \to \frac{x^{n+1}}{n+1}$, on a $F(x) = \frac{x^{-2+1}}{-2+1} = \frac{x^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x} + C$.

💡 À retenir : La primitive de $\frac{1}{x^2}$ est $-\frac{1}{x} + C$.

Quelle est la primitive de f(x) = sqrt{x} ?

On écrit $\sqrt{x} = x^{1/2}$ .
On applique la règle $x^n$ avec $n = 1/2$ .
$F(x) = \frac{x^{1/2 + 1}}{1/2 + 1} = \frac{x^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}x^{3/2} + C$ .
On peut aussi l'écrire $\frac{2}{3}\sqrt{x^3} + C$ .

💡 À retenir : La primitive de $\sqrt{x}$ est $\frac{2}{3}x\sqrt{x} + C$ .

On écrit $\sqrt{x} = x^{1/2}$.
On applique la règle $x^n$ avec $n = 1/2$.
$F(x) = \frac{x^{1/2 + 1}}{1/2 + 1} = \frac{x^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}x^{3/2} + C$.
On peut aussi l'écrire $\frac{2}{3}\sqrt{x^3} + C$.

💡 À retenir : La primitive de $\sqrt{x}$ est $\frac{2}{3}x\sqrt{x} + C$.

Comment traiter f(x) = (2x+1)^5 ?

On reconnaît la forme $u^n$ .
Ici $u(x) = 2x+1$ , donc $u'(x) = 2$ .
On doit avoir $u'$ devant. On écrit $f(x) = \frac{1}{2} \cdot 2(2x+1)^5$ .
La primitive est $F(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{(2x+1)^6}{6} + C = \frac{1}{12}(2x+1)^6 + C$ .

💡 À retenir : Toujours vérifier si la dérivée de la base est présente.

On reconnaît la forme $u^n$.
Ici $u(x) = 2x+1$, donc $u'(x) = 2$.
On doit avoir $u'$ devant. On écrit $f(x) = \frac{1}{2} \cdot 2(2x+1)^5$.
La primitive est $F(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{(2x+1)^6}{6} + C = \frac{1}{12}(2x+1)^6 + C$.

💡 À retenir : Toujours vérifier si la dérivée de la base est présente.

Est-ce que F(x) = ln(x) est une primitive de f(x) = frac{1}{x} ?

Vérifions en dérivant $F(x)$ .
La dérivée de $\ln(x)$ est bien $\frac{1}{x}$ .
Donc oui, mais attention : cela n'est vrai que sur l'intervalle $]0, +\infty[$ .

💡 À retenir : La primitive dépend de l'intervalle de définition.

Vérifions en dérivant $F(x)$.
La dérivée de $\ln(x)$ est bien $\frac{1}{x}$.
Donc oui, mais attention : cela n'est vrai que sur l'intervalle $]0, +\infty[$.

💡 À retenir : La primitive dépend de l'intervalle de définition.

Quelle est la primitive de f(x) = cos(x) ?

On cherche $F$ telle que $F'(x) = \cos(x)$ .
On sait que la dérivée de $\sin(x)$ est $\cos(x)$ .
Donc $F(x) = \sin(x) + C$ .

💡 À retenir : Apprendre par cœur le tableau des dérivées de $\sin$ et $\cos$ .

On cherche $F$ telle que $F'(x) = \cos(x)$.
On sait que la dérivée de $\sin(x)$ est $\cos(x)$.
Donc $F(x) = \sin(x) + C$.

💡 À retenir : Apprendre par cœur le tableau des dérivées de $\sin$ et $\cos$.

Comment trouver la primitive de f(x) = frac{1}{2x+3} ?

On reconnaît la forme $\frac{u'}{u}$ ? Non, car la dérivée de $2x+3$ est $2$ , pas $1$ .
On transforme : $f(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2x+3}$ .
Maintenant, on a bien $\frac{1}{2} \cdot \frac{u'}{u}$ avec $u(x) = 2x+3$ .
La primitive est $F(x) = \frac{1}{2}\ln|2x+3| + C$ .

💡 À retenir : Ajuster le coefficient pour faire apparaître $u'$ .

On reconnaît la forme $\frac{u'}{u}$ ? Non, car la dérivée de $2x+3$ est $2$, pas $1$.
On transforme : $f(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2x+3}$.
Maintenant, on a bien $\frac{1}{2} \cdot \frac{u'}{u}$ avec $u(x) = 2x+3$.
La primitive est $F(x) = \frac{1}{2}\ln|2x+3| + C$.

💡 À retenir : Ajuster le coefficient pour faire apparaître $u'$.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Exercice 1 (Niveau Facile) : Déterminer toutes les primitives de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = 3x^2 - 4x + 5$

Exercice 1

Exercice 1 (Niveau Facile) : Déterminer toutes les primitives de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $$f(x) = 3x^2 - 4x + 5$$

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Exercice 2 (Niveau Moyen) : Déterminer une primitive $F$ de la fonction $g$ définie sur $]0, +\infty[$ par : $g(x) = \frac{3}{x} + e^{2x}$

Exercice 2

Exercice 2 (Niveau Moyen) : Déterminer une primitive $F$ de la fonction $g$ définie sur $]0, +\infty[$ par : $$g(x) = \frac{3}{x} + e^{2x}$$

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Exercice 3 (Niveau Examen National) : Soit la fonction $h$ définie sur $I = ]1, +\infty[$ par : $h(x) = \frac{2x-1}{(x^2-x+1)^2}$

Montrer que $h$ admet des primitives sur $I$ .
Déterminer une primitive $H$ de $h$ sur $I$ .

Exercice 3

Exercice 3 (Niveau Examen National) : Soit la fonction $h$ définie sur $I = ]1, +\infty[$ par : $$h(x) = \frac{2x-1}{(x^2-x+1)^2}$$

Montrer que $h$ admet des primitives sur $I$.
Déterminer une primitive $H$ de $h$ sur $I$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

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