Mathématiques · 2ème Année Bac — Sciences Agronomiques

Suites numériques

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Une suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est une fonction définie sur $\mathbb{N}$ .
Suite arithmétique : $u_{n+1} = u_n + r$ . Terme général : $u_n = u_0 + nr$ .
Suite géométrique : $u_{n+1} = q \times u_n$ . Terme général : $u_n = u_0 \times q^n$ .
Monotonie : Étudier le signe de $u_{n+1} - u_n$ .
Convergence : Une suite est convergente si $\lim_{n \to +\infty} u_n = L$ (où $L \in \mathbb{R}$ ).

Méthodes à maîtriser

Raisonnement par récurrence : Initialisation, Hérédité, Conclusion.
Étude de la monotonie : Calculer $u_{n+1} - u_n$ .
Calcul de limite : Utiliser les théorèmes de comparaison ou la convergence des suites monotones et bornées.

Exemples corrigés

Récurrence : Pour montrer $u_n > 0$ , on vérifie $u_0 > 0$ , puis on suppose $u_n > 0$ et on montre $u_{n+1} > 0$ .
Limite : Si $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}$ et $u_n$ est croissante majorée par 2, alors $\lim u_n = 2$ .

Erreurs fréquentes

Oublier l'initialisation dans la récurrence.
Confondre $u_n$ et $u_{n+1}$ dans le calcul de la raison.
Affirmer qu'une suite est convergente juste parce qu'elle est majorée (il faut qu'elle soit croissante aussi).

L'essentiel du cours

Une suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est une fonction définie sur $\mathbb{N}$.
Suite arithmétique : $u_{n+1} = u_n + r$. Terme général : $u_n = u_0 + nr$.
Suite géométrique : $u_{n+1} = q \times u_n$. Terme général : $u_n = u_0 \times q^n$.
Monotonie : Étudier le signe de $u_{n+1} - u_n$.
Convergence : Une suite est convergente si $\lim_{n \to +\infty} u_n = L$ (où $L \in \mathbb{R}$).

Méthodes à maîtriser

Raisonnement par récurrence : Initialisation, Hérédité, Conclusion.
Étude de la monotonie : Calculer $u_{n+1} - u_n$.
Calcul de limite : Utiliser les théorèmes de comparaison ou la convergence des suites monotones et bornées.

Exemples corrigés

Récurrence : Pour montrer $u_n > 0$, on vérifie $u_0 > 0$, puis on suppose $u_n > 0$ et on montre $u_{n+1} > 0$.
Limite : Si $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}$ et $u_n$ est croissante majorée par 2, alors $\lim u_n = 2$.

Erreurs fréquentes

Oublier l'initialisation dans la récurrence.
Confondre $u_n$ et $u_{n+1}$ dans le calcul de la raison.
Affirmer qu'une suite est convergente juste parce qu'elle est majorée (il faut qu'elle soit croissante aussi).

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Suites numériques

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Quelle est la raison de la suite $u_n = 5 \times 3^n$ ?

❓ Questions fréquentes

Comment prouver qu'une suite est arithmétique ?

Il faut calculer la différence $u_{n+1} - u_n$ . Si le résultat est une constante $r$ indépendante de $n$ , alors la suite est arithmétique de raison $r$ .

💡 À retenir : $u_{n+1} - u_n = r$ .

Il faut calculer la différence $u_{n+1} - u_n$. Si le résultat est une constante $r$ indépendante de $n$, alors la suite est arithmétique de raison $r$.

💡 À retenir : $u_{n+1} - u_n = r$.

kifach n-biyen b t-tarajo3?

Initialisation : Vérifier que la propriété est vraie pour le premier terme (souvent $n=0$ ou $n=1$ ).
Hérédité : Supposer que la propriété est vraie au rang $n$ , et montrer qu'elle est vraie au rang $n+1$ .
Conclusion : Conclure que la propriété est vraie pour tout $n$ .

💡 À retenir : Ne jamais oublier l'étape de l'initialisation.

Initialisation : Vérifier que la propriété est vraie pour le premier terme (souvent $n=0$ ou $n=1$).
Hérédité : Supposer que la propriété est vraie au rang $n$, et montrer qu'elle est vraie au rang $n+1$.
Conclusion : Conclure que la propriété est vraie pour tout $n$.

💡 À retenir : Ne jamais oublier l'étape de l'initialisation.

Quelle est la différence entre une suite majorée et une suite convergente ?

Une suite majorée signifie que ses termes ne dépassent jamais une certaine valeur (ex: $u_n \leq 5$ ). Une suite convergente signifie que ses termes se rapprochent d'une valeur précise quand $n$ devient très grand. Une suite majorée n'est pas forcément convergente (ex: $u_n = (-1)^n$ ).

💡 À retenir : Toute suite convergente est bornée, mais la réciproque est fausse.

Une suite majorée signifie que ses termes ne dépassent jamais une certaine valeur (ex: $u_n \leq 5$). Une suite convergente signifie que ses termes se rapprochent d'une valeur précise quand $n$ devient très grand. Une suite majorée n'est pas forcément convergente (ex: $u_n = (-1)^n$).

💡 À retenir : Toute suite convergente est bornée, mais la réciproque est fausse.

wach l-limite dyal q^n kat-bdel 3la hssab q?

Oui, absolument :

Si $q > 1$ , $\lim q^n = +\infty$ .
Si $q = 1$ , $\lim q^n = 1$ .
Si $-1 < q < 1$ , $\lim q^n = 0$ .
Si $q \leq -1$ , la limite n'existe pas.

💡 À retenir : La valeur de $q$ détermine tout le comportement.

Oui, absolument :

Si $q > 1$, $\lim q^n = +\infty$.
Si $q = 1$, $\lim q^n = 1$.
Si $-1 < q < 1$, $\lim q^n = 0$.
Si $q \leq -1$, la limite n'existe pas.

💡 À retenir : La valeur de $q$ détermine tout le comportement.

Comment montrer qu'une suite est croissante ?

Tu calcules la différence $u_{n+1} - u_n$ . Si le résultat est positif ou nul pour tout $n$ , alors la suite est croissante.

💡 À retenir : $u_{n+1} - u_n \geq 0 \iff$ croissante.

Tu calcules la différence $u_{n+1} - u_n$. Si le résultat est positif ou nul pour tout $n$, alors la suite est croissante.

💡 À retenir : $u_{n+1} - u_n \geq 0 \iff$ croissante.

kifach n-3ref wach t-taliyya m-haddouda?

Une suite est bornée si elle est à la fois majorée (il existe $M$ tel que $u_n \leq M$ ) et minorée (il existe $m$ tel que $u_n \geq m$ ).

💡 À retenir : $m \leq u_n \leq M$ .

Une suite est bornée si elle est à la fois majorée (il existe $M$ tel que $u_n \leq M$) et minorée (il existe $m$ tel que $u_n \geq m$).

💡 À retenir : $m \leq u_n \leq M$.

Si un est croissante, est-ce qu'elle tend vers +infty ?

Pas forcément. Elle peut être croissante et majorée (comme $u_n = 1 - \frac{1}{n}$ qui tend vers 1). Elle ne tend vers $+\infty$ que si elle n'est pas majorée.

💡 À retenir : Croissante + Majorée = Convergente.

Pas forcément. Elle peut être croissante et majorée (comme $u_n = 1 - \frac{1}{n}$ qui tend vers 1). Elle ne tend vers $+\infty$ que si elle n'est pas majorée.

💡 À retenir : Croissante + Majorée = Convergente.

Est-ce que je peux utiliser la calculatrice pour trouver la limite ?

La calculatrice peut t'aider à vérifier ton résultat en calculant les premiers termes, mais elle ne remplace jamais la démonstration mathématique exigée à l'examen.

💡 À retenir : La rédaction est plus importante que le résultat final.

Comment calculer la somme des termes d'une suite arithmétique ?

La formule est : $S = \text{nombre de termes} \times \frac{\text{premier terme} + \text{dernier terme}}{2}$ .

💡 À retenir : Nombre de termes = (indice final - indice initial) + 1.

La formule est : $S = \text{nombre de termes} \times \frac{\text{premier terme} + \text{dernier terme}}{2}$.

💡 À retenir : Nombre de termes = (indice final - indice initial) + 1.

Est-ce que toute suite géométrique est convergente ?

Non. Elle converge vers 0 si $|q| < 1$ . Elle converge vers $u_0$ si $q=1$ . Sinon, elle diverge.

💡 À retenir : La convergence dépend strictement de la raison $q$ .

Non. Elle converge vers 0 si $|q| < 1$. Elle converge vers $u_0$ si $q=1$. Sinon, elle diverge.

💡 À retenir : La convergence dépend strictement de la raison $q$.

Comment montrer qu'une suite est géométrique ?

Il faut calculer le rapport $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ . Si tu trouves une constante $q$ (non nulle), alors la suite est géométrique.

💡 À retenir : $\frac{u_{n+1}}{u_n} = q$ .

Il faut calculer le rapport $\frac{u_{n+1}}{u_n}$. Si tu trouves une constante $q$ (non nulle), alors la suite est géométrique.

💡 À retenir : $\frac{u_{n+1}}{u_n} = q$.

Est-ce que le raisonnement par récurrence est obligatoire pour les suites définies par u{n+1} = f(un) ?

Oui, c'est l'outil principal pour montrer des propriétés sur les termes de la suite (comme $u_n > 0$ ou $u_n < 2$ ) avant d'étudier la convergence.

💡 À retenir : La récurrence est ton meilleur allié.

Oui, c'est l'outil principal pour montrer des propriétés sur les termes de la suite (comme $u_n > 0$ ou $u_n < 2$) avant d'étudier la convergence.

💡 À retenir : La récurrence est ton meilleur allié.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \frac{1}{2}u_n + 1$ .

Calculer $u_1$ et $u_2$ .
Montrer par récurrence que $u_n < 2$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ .
Étudier la monotonie de $(u_n)$ .

Exercice 1

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \frac{1}{2}u_n + 1$.

Calculer $u_1$ et $u_2$.
Montrer par récurrence que $u_n < 2$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.
Étudier la monotonie de $(u_n)$.

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Exercice 2

Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de premier terme $u_0 = 3$ et de raison $r = 2$ .

Exprimer $u_n$ en fonction de $n$ .
Calculer la somme $S = u_0 + u_1 + \dots + u_{10}$ .

Exercice 2

Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de premier terme $u_0 = 3$ et de raison $r = 2$.

Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
Calculer la somme $S = u_0 + u_1 + \dots + u_{10}$.

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Exercice 3

Soit $(u_n)$ définie par $u_0 = 0$ et $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 6}$ .

Montrer que $0 \leq u_n \leq 3$ .
Montrer que $(u_n)$ est croissante.
En déduire que $(u_n)$ est convergente et calculer sa limite.

Exercice 3

Soit $(u_n)$ définie par $u_0 = 0$ et $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 6}$.

Montrer que $0 \leq u_n \leq 3$.
Montrer que $(u_n)$ est croissante.
En déduire que $(u_n)$ est convergente et calculer sa limite.

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