Mathématiques · 2ème Année Bac — Sciences Agronomiques

Géométrie dans l'espace

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

1. Coordonnées dans l'espace Soit $A(x_A, y_A, z_A)$ et $B(x_B, y_B, z_B)$ deux points.

Le vecteur $\vec{AB}$ a pour coordonnées : $\vec{AB} \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \\ z_B - z_A \end{pmatrix}$ .
La distance $AB$ est : $AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}$ .

2. Produit scalaire dans l'espace Soient $\vec{u}(x, y, z)$ et $\vec{v}(x', y', z')$ .

$\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy' + zz'$ .
$\vec{u} \perp \vec{v} \iff \vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ .

3. Équation d'un plan Un plan $\mathcal{P}$ ayant pour vecteur normal $\vec{n}(a, b, c)$ a une équation de la forme : $ax + by + cz + d = 0$ où $d$ est un réel que l'on détermine en utilisant un point appartenant au plan.

4. Équation paramétrique d'une droite Une droite $\mathcal{D}$ passant par $A(x_A, y_A, z_A)$ et de vecteur directeur $\vec{u}(a, b, c)$ est définie par : $\begin{cases} x = x_A + at \\ y = y_A + bt \\ z = z_A + ct \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R})$

Méthodes à maîtriser

Montrer que trois points sont alignés : Montrer que les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont colinéaires (leurs coordonnées sont proportionnelles).
Trouver l'équation d'un plan : Trouver un vecteur normal $\vec{n}$ (par exemple via le produit vectoriel ou par hypothèse) et utiliser un point du plan pour trouver $d$ .
Intersection droite/plan : Remplacer $x, y, z$ de l'équation de la droite dans l'équation du plan pour trouver la valeur du paramètre $t$ , puis calculer les coordonnées du point.
Distance d'un point à un plan : Utiliser la formule $d(M, \mathcal{P}) = \frac{|ax_M + by_M + cz_M + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$ .

Exemples corrigés

Exemple 1 : Soit $\vec{u}(2, -1, 3)$ et $\vec{v}(1, 2, 0)$ . Calculer $\vec{u} \cdot \vec{v}$ et conclure sur l'orthogonalité. Corrigé :

$\vec{u} \cdot \vec{v} = (2)(1) + (-1)(2) + (3)(0) = 2 - 2 + 0 = 0$ .
Puisque le produit scalaire est nul, les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux.

Exemple 2 : Trouver l'équation du plan $\mathcal{P}$ passant par $A(1, 0, 2)$ et de vecteur normal $\vec{n}(3, 2, -1)$ . Corrigé :

L'équation est de la forme $3x + 2y - z + d = 0$ .
Comme $A \in \mathcal{P}$ , on remplace : $3(1) + 2(0) - (2) + d = 0 \implies 3 - 2 + d = 0 \implies 1 + d = 0 \implies d = -1$ .
L'équation est : $3x + 2y - z - 1 = 0$ .

Erreurs fréquentes

Confondre vecteur directeur et vecteur normal : Le vecteur directeur définit la direction de la droite, le vecteur normal définit l'orientation du plan.
Erreur de signe dans le produit scalaire : Faire attention aux signes $-$ lors du calcul $xx' + yy' + zz'$ .
Oublier le paramètre $t$ : Dans une équation paramétrique, ne pas écrire $x = x_A + at$ mais juste $x = x_A$ .

L'essentiel du cours

1. Coordonnées dans l'espace Soit $A(x_A, y_A, z_A)$ et $B(x_B, y_B, z_B)$ deux points.

Le vecteur $\vec{AB}$ a pour coordonnées : $\vec{AB} \begin{pmatrix} x_B - x_A \ y_B - y_A \ z_B - z_A \end{pmatrix}$.
La distance $AB$ est : $AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}$.

2. Produit scalaire dans l'espace Soient $\vec{u}(x, y, z)$ et $\vec{v}(x', y', z')$.

$\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy' + zz'$.
$\vec{u} \perp \vec{v} \iff \vec{u} \cdot \vec{v} = 0$.

3. Équation d'un plan Un plan $\mathcal{P}$ ayant pour vecteur normal $\vec{n}(a, b, c)$ a une équation de la forme : $$ax + by + cz + d = 0$$ où $d$ est un réel que l'on détermine en utilisant un point appartenant au plan.

4. Équation paramétrique d'une droite Une droite $\mathcal{D}$ passant par $A(x_A, y_A, z_A)$ et de vecteur directeur $\vec{u}(a, b, c)$ est définie par : $$\begin{cases} x = x_A + at \ y = y_A + bt \ z = z_A + ct \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R})$$

Méthodes à maîtriser

Montrer que trois points sont alignés : Montrer que les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont colinéaires (leurs coordonnées sont proportionnelles).
Trouver l'équation d'un plan : Trouver un vecteur normal $\vec{n}$ (par exemple via le produit vectoriel ou par hypothèse) et utiliser un point du plan pour trouver $d$.
Intersection droite/plan : Remplacer $x, y, z$ de l'équation de la droite dans l'équation du plan pour trouver la valeur du paramètre $t$, puis calculer les coordonnées du point.
Distance d'un point à un plan : Utiliser la formule $d(M, \mathcal{P}) = \frac{|ax_M + by_M + cz_M + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Soit $\vec{u}(2, -1, 3)$ et $\vec{v}(1, 2, 0)$. Calculer $\vec{u} \cdot \vec{v}$ et conclure sur l'orthogonalité. Corrigé :

$\vec{u} \cdot \vec{v} = (2)(1) + (-1)(2) + (3)(0) = 2 - 2 + 0 = 0$.
Puisque le produit scalaire est nul, les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux.

Exemple 2 : Trouver l'équation du plan $\mathcal{P}$ passant par $A(1, 0, 2)$ et de vecteur normal $\vec{n}(3, 2, -1)$. Corrigé :

L'équation est de la forme $3x + 2y - z + d = 0$.
Comme $A \in \mathcal{P}$, on remplace : $3(1) + 2(0) - (2) + d = 0 \implies 3 - 2 + d = 0 \implies 1 + d = 0 \implies d = -1$.
L'équation est : $3x + 2y - z - 1 = 0$.

Erreurs fréquentes

Confondre vecteur directeur et vecteur normal : Le vecteur directeur définit la direction de la droite, le vecteur normal définit l'orientation du plan.
Erreur de signe dans le produit scalaire : Faire attention aux signes $-$ lors du calcul $xx' + yy' + zz'$.
Oublier le paramètre $t$ : Dans une équation paramétrique, ne pas écrire $x = x_A + at$ mais juste $x = x_A$.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Géométrie dans l'espace

1/4

Quelle est la norme du vecteur $\vec{u}(3, 4, 0)$ ?

❓ Questions fréquentes

Comment prouver que deux vecteurs sont colinéaires ?

Calcule les coordonnées des deux vecteurs $\vec{u}(x, y, z)$ et $\vec{v}(x', y', z')$ .
Vérifie s'il existe un réel $k$ tel que $\vec{u} = k\vec{v}$ (c'est-à-dire $\frac{x}{x'} = \frac{y}{y'} = \frac{z}{z'} = k$ ).
Si les rapports sont égaux, ils sont colinéaires.

💡 À retenir : La colinéarité signifie qu'ils ont la même direction.

Calcule les coordonnées des deux vecteurs $\vec{u}(x, y, z)$ et $\vec{v}(x', y', z')$.
Vérifie s'il existe un réel $k$ tel que $\vec{u} = k\vec{v}$ (c'est-à-dire $\frac{x}{x'} = \frac{y}{y'} = \frac{z}{z'} = k$).
Si les rapports sont égaux, ils sont colinéaires.

💡 À retenir : La colinéarité signifie qu'ils ont la même direction.

Chno hiya l'équation dyal l'plan ?

L'équation d'un plan (équation cartésienne) hiya l'formule li fiha $x, y, z$ : $ax + by + cz + d = 0$ Fin $a, b, c$ homa les coordonnées dyal l'vecteur normal $\vec{n}(a, b, c)$ .

💡 À retenir : L'équation dyal l'plan dima katbda b $ax + by + cz + d = 0$ .

L'équation d'un plan (équation cartésienne) hiya l'formule li fiha $x, y, z$ : $$ax + by + cz + d = 0$$ Fin $a, b, c$ homa les coordonnées dyal l'vecteur normal $\vec{n}(a, b, c)$.

💡 À retenir : L'équation dyal l'plan dima katbda b $ax + by + cz + d = 0$.

Comment trouver le vecteur normal d'un plan ?

Si on te donne l'équation $ax + by + cz + d = 0$ , le vecteur normal est directement $\vec{n}(a, b, c)$ .
Si on te donne trois points $A, B, C$ du plan, calcule $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ , puis cherche un vecteur $\vec{n}$ tel que $\vec{n} \cdot \vec{AB} = 0$ et $\vec{n} \cdot \vec{AC} = 0$ .

💡 À retenir : Le vecteur normal est perpendiculaire à tous les vecteurs du plan.

Si on te donne l'équation $ax + by + cz + d = 0$, le vecteur normal est directement $\vec{n}(a, b, c)$.
Si on te donne trois points $A, B, C$ du plan, calcule $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$, puis cherche un vecteur $\vec{n}$ tel que $\vec{n} \cdot \vec{AB} = 0$ et $\vec{n} \cdot \vec{AC} = 0$.

💡 À retenir : Le vecteur normal est perpendiculaire à tous les vecteurs du plan.

Kifach n7seb l'distance bin jouj points ?

Bach t7seb l'bo3d (distance) bin $A(x_A, y_A, z_A)$ w $B(x_B, y_B, z_B)$ :

Dir l'far9 bin les coordonnées : $\Delta x = x_B - x_A$ , $\Delta y = y_B - y_A$ , $\Delta z = z_B - z_A$ .
Dir l'jadr dyal l'majmo3 dyal l'morabba3at : $AB = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2 + (\Delta z)^2}$ .

💡 À retenir : L'distance dima katkon ra9m moucharrak (positif).

Bach t7seb l'bo3d (distance) bin $A(x_A, y_A, z_A)$ w $B(x_B, y_B, z_B)$ :

Dir l'far9 bin les coordonnées : $\Delta x = x_B - x_A$, $\Delta y = y_B - y_A$, $\Delta z = z_B - z_A$.
Dir l'jadr dyal l'majmo3 dyal l'morabba3at : $AB = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2 + (\Delta z)^2}$.

💡 À retenir : L'distance dima katkon ra9m moucharrak (positif).

Comment savoir si une droite est perpendiculaire à un plan ?

Trouve le vecteur directeur $\vec{u}$ de la droite.
Trouve le vecteur normal $\vec{n}$ du plan.
Vérifie si $\vec{u}$ et $\vec{n}$ sont colinéaires (si $\vec{u} = k\vec{n}$ ). Si ils sont colinéaires, alors la droite est perpendiculaire au plan.

💡 À retenir : Droite $\perp$ Plan $\iff$ Vecteur directeur $\parallel$ Vecteur normal.

Trouve le vecteur directeur $\vec{u}$ de la droite.
Trouve le vecteur normal $\vec{n}$ du plan.
Vérifie si $\vec{u}$ et $\vec{n}$ sont colinéaires (si $\vec{u} = k\vec{n}$). Si ils sont colinéaires, alors la droite est perpendiculaire au plan.

💡 À retenir : Droite $\perp$ Plan $\iff$ Vecteur directeur $\parallel$ Vecteur normal.

Comment trouver l'intersection entre une droite et un plan ?

Prends l'équation paramétrique de la droite : $x=x_A+at, y=y_A+bt, z=z_A+ct$ .
Remplace $x, y, z$ dans l'équation du plan $ax+by+cz+d=0$ .
Résous l'équation pour trouver $t$ .
Remplace $t$ dans l'équation de la droite pour obtenir les coordonnées du point d'intersection.

💡 À retenir : L'intersection est un point unique si la droite n'est pas parallèle au plan.

Prends l'équation paramétrique de la droite : $x=x_A+at, y=y_A+bt, z=z_A+ct$.
Remplace $x, y, z$ dans l'équation du plan $ax+by+cz+d=0$.
Résous l'équation pour trouver $t$.
Remplace $t$ dans l'équation de la droite pour obtenir les coordonnées du point d'intersection.

💡 À retenir : L'intersection est un point unique si la droite n'est pas parallèle au plan.

Chno l'far9 bin équation cartésienne w paramétrique ?

L'équation cartésienne ( $ax+by+cz+d=0$ ) kat3ti lina l'plan (surface).
L'équation paramétrique ( $\begin{cases} x = \dots \\ y = \dots \\ z = \dots \end{cases}$ ) kat3ti lina l'droite (ligne).

💡 À retenir : Cartésienne $\to$ Plan | Paramétrique $\to$ Droite.

L'équation cartésienne ($ax+by+cz+d=0$) kat3ti lina l'plan (surface).
L'équation paramétrique ($\begin{cases} x = \dots \ y = \dots \ z = \dots \end{cases}$) kat3ti lina l'droite (ligne).

💡 À retenir : Cartésienne $\to$ Plan | Paramétrique $\to$ Droite.

Comment prouver que 3 points sont alignés ?

Calcule les coordonnées des vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ .
Vérifie si $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont colinéaires (leurs coordonnées sont proportionnelles).
Si oui, les points $A, B, C$ sont alignés.

💡 À retenir : 3 points alignés $\iff$ 2 vecteurs colinéaires.

Calcule les coordonnées des vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$.
Vérifie si $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ sont colinéaires (leurs coordonnées sont proportionnelles).
Si oui, les points $A, B, C$ sont alignés.

💡 À retenir : 3 points alignés $\iff$ 2 vecteurs colinéaires.

Comment trouver le projeté orthogonal d'un point sur un plan ?

Soit $M$ le point et $\mathcal{P}$ le plan. Soit $H$ le projeté orthogonal.
La droite $(MH)$ est perpendiculaire au plan, donc son vecteur directeur est $\vec{n}$ (vecteur normal du plan).
Écris l'équation paramétrique de la droite $(MH)$ .
Trouve l'intersection de cette droite avec le plan $\mathcal{P}$ . Ce point est $H$ .

💡 À retenir : Le projeté est le point du plan le plus proche de $M$ .

Soit $M$ le point et $\mathcal{P}$ le plan. Soit $H$ le projeté orthogonal.
La droite $(MH)$ est perpendiculaire au plan, donc son vecteur directeur est $\vec{n}$ (vecteur normal du plan).
Écris l'équation paramétrique de la droite $(MH)$.
Trouve l'intersection de cette droite avec le plan $\mathcal{P}$. Ce point est $H$.

💡 À retenir : Le projeté est le point du plan le plus proche de $M$.

Comment calculer la norme d'un vecteur ?

Pour un vecteur $\vec{u}(x, y, z)$ , la norme (longueur) est : $\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$

💡 À retenir : La norme est toujours un nombre réel positif.

Pour un vecteur $\vec{u}(x, y, z)$, la norme (longueur) est : $$|\vec{u}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$$

💡 À retenir : La norme est toujours un nombre réel positif.

Comment trouver l'équation d'une droite ?

Il faut un point $A(x_A, y_A, z_A)$ et un vecteur directeur $\vec{u}(a, b, c)$ .
On utilise la forme paramétrique : $\begin{cases} x = x_A + at \\ y = y_A + bt \\ z = z_A + ct \end{cases}$

💡 À retenir : On ne peut pas donner une équation "simple" comme $y=ax+b$ dans l'espace.

Il faut un point $A(x_A, y_A, z_A)$ et un vecteur directeur $\vec{u}(a, b, c)$.
On utilise la forme paramétrique : $$\begin{cases} x = x_A + at \ y = y_A + bt \ z = z_A + ct \end{cases}$$

💡 À retenir : On ne peut pas donner une équation "simple" comme $y=ax+b$ dans l'espace.

Comment vérifier si un point appartient à un plan ?

Prends les coordonnées du point $M(x_M, y_M, z_M)$ .
Remplace $x, y, z$ dans l'équation du plan $ax+by+cz+d=0$ .
Si le résultat est égal à $0$ , le point appartient au plan. Sinon, il n'y appartient pas.

💡 À retenir : Vérification par substitution directe.

Prends les coordonnées du point $M(x_M, y_M, z_M)$.
Remplace $x, y, z$ dans l'équation du plan $ax+by+cz+d=0$.
Si le résultat est égal à $0$, le point appartient au plan. Sinon, il n'y appartient pas.

💡 À retenir : Vérification par substitution directe.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Exercice 1 (Niveau Facile) Dans l'espace muni d'un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ , on considère les points $A(1, 2, -1)$ et $B(3, 0, 2)$ .

Calculer les coordonnées du vecteur $\vec{AB}$ .
Calculer la distance $AB$ .
Soit le point $C(0, 1, 1)$ . Montrer que le triangle $ABC$ est rectangle en $C$ .

Exercice 1

Exercice 1 (Niveau Facile) Dans l'espace muni d'un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$, on considère les points $A(1, 2, -1)$ et $B(3, 0, 2)$.

Calculer les coordonnées du vecteur $\vec{AB}$.
Calculer la distance $AB$.
Soit le point $C(0, 1, 1)$. Montrer que le triangle $ABC$ est rectangle en $C$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Exercice 2 (Niveau Moyen) Soit le plan $\mathcal{P}$ d'équation : $2x - y + 3z - 5 = 0$ . Soit la droite $\mathcal{D}$ d'équation paramétrique : $\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2t \\ z = 3 - t \end{cases}, t \in \mathbb{R}$ .

Montrer que la droite $\mathcal{D}$ n'est pas parallèle au plan $\mathcal{P}$ .
Déterminer les coordonnées du point d'intersection $I$ entre la droite $\mathcal{D}$ et le plan $\mathcal{P}$ .

Exercice 2

Exercice 2 (Niveau Moyen) Soit le plan $\mathcal{P}$ d'équation : $2x - y + 3z - 5 = 0$. Soit la droite $\mathcal{D}$ d'équation paramétrique : $\begin{cases} x = 1 + t \ y = 2t \ z = 3 - t \end{cases}, t \in \mathbb{R}$.

Montrer que la droite $\mathcal{D}$ n'est pas parallèle au plan $\mathcal{P}$.
Déterminer les coordonnées du point d'intersection $I$ entre la droite $\mathcal{D}$ et le plan $\mathcal{P}$.

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Exercice 3

Exercice 3 (Niveau Difficile) Soient les points $A(1, 1, 1)$ , $B(2, 3, 0)$ et $C(0, 2, 2)$ .

Montrer que les points $A, B, C$ définissent un plan $\mathcal{P}$ .
Déterminer l'équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$ .
Calculer la distance du point $D(4, 5, 2)$ au plan $\mathcal{P}$ .

Exercice 3

Exercice 3 (Niveau Difficile) Soient les points $A(1, 1, 1)$, $B(2, 3, 0)$ et $C(0, 2, 2)$.

Montrer que les points $A, B, C$ définissent un plan $\mathcal{P}$.
Déterminer l'équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$.
Calculer la distance du point $D(4, 5, 2)$ au plan $\mathcal{P}$.

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