Mathématiques · 2ème Année Bac — Sciences Agronomiques

Dérivation et étude des fonctions

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Dérivabilité en $a$ : $f$ est dérivable en $a$ si $\lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} = f'(a) \in \mathbb{R}$ .
Équation de la tangente : $y = f'(a)(x-a) + f(a)$ .
Monotonie : Si $f'(x) > 0$ sur $I$ , alors $f$ est strictement croissante sur $I$ . Si $f'(x) < 0$ , elle est strictement décroissante.
Extremums : Si $f'$ s'annule en $a$ en changeant de signe, alors $f(a)$ est un extremum relatif.
Concavité : Si $f''(x) > 0$ , la courbe est convexe. Si $f''(x) < 0$ , elle est concave.

Méthodes à maîtriser

Étudier la dérivabilité à droite et à gauche pour les points anguleux.
Déterminer les branches infinies : calculer $\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}$ et $\lim_{x \to \infty} (f(x)-ax)$ .
Dresser le tableau de variations complet avec les limites et les signes de $f'$ .

Exemples corrigés

Tangente : Soit $f(x)=x^2$ en $a=1$ . $f'(x)=2x$ , donc $f'(1)=2$ . $y=2(x-1)+1 = 2x-1$ .
Dérivée : Soit $f(x) = \frac{1}{x}$ . $f'(x) = -\frac{1}{x^2}$ .

Erreurs fréquentes

Oublier de préciser l'intervalle de dérivabilité.
Confondre le signe de $f'(x)$ avec le signe de $f(x)$ .
Mal calculer les limites aux bornes du domaine de définition.

L'essentiel du cours

Dérivabilité en $a$ : $f$ est dérivable en $a$ si $\lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} = f'(a) \in \mathbb{R}$.
Équation de la tangente : $y = f'(a)(x-a) + f(a)$.
Monotonie : Si $f'(x) > 0$ sur $I$, alors $f$ est strictement croissante sur $I$. Si $f'(x) < 0$, elle est strictement décroissante.
Extremums : Si $f'$ s'annule en $a$ en changeant de signe, alors $f(a)$ est un extremum relatif.
Concavité : Si $f''(x) > 0$, la courbe est convexe. Si $f''(x) < 0$, elle est concave.

Méthodes à maîtriser

Étudier la dérivabilité à droite et à gauche pour les points anguleux.
Déterminer les branches infinies : calculer $\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}$ et $\lim_{x \to \infty} (f(x)-ax)$.
Dresser le tableau de variations complet avec les limites et les signes de $f'$.

Exemples corrigés

Tangente : Soit $f(x)=x^2$ en $a=1$. $f'(x)=2x$, donc $f'(1)=2$. $y=2(x-1)+1 = 2x-1$.
Dérivée : Soit $f(x) = \frac{1}{x}$. $f'(x) = -\frac{1}{x^2}$.

Erreurs fréquentes

Oublier de préciser l'intervalle de dérivabilité.
Confondre le signe de $f'(x)$ avec le signe de $f(x)$.
Mal calculer les limites aux bornes du domaine de définition.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Dérivation et étude des fonctions

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La dérivée de $f(x) = \sqrt{x}$ est :

❓ Questions fréquentes

Kifach n3ref wach l'founction 3ndha point d'inflexion ?

Calcule la dérivée seconde $f''(x)$ .
Cherche les points où $f''(x) = 0$ .
Vérifie si $f''(x)$ change de signe en traversant ce point. Si oui, c'est un point d'inflexion.

💡 À retenir : Le changement de signe de la dérivée seconde est obligatoire.

Calcule la dérivée seconde $f''(x)$.
Cherche les points où $f''(x) = 0$.
Vérifie si $f''(x)$ change de signe en traversant ce point. Si oui, c'est un point d'inflexion.

💡 À retenir : Le changement de signe de la dérivée seconde est obligatoire.

Est-ce que si f'(a) = 0, alors f(a) est forcément un extremum ?

Non. Par exemple, pour $f(x) = x^3$ , $f'(0) = 0$ , mais $f(0)=0$ n'est ni un maximum ni un minimum car la fonction est strictement croissante.

💡 À retenir : La dérivée doit changer de signe pour avoir un extremum.

Non. Par exemple, pour $f(x) = x^3$, $f'(0) = 0$, mais $f(0)=0$ n'est ni un maximum ni un minimum car la fonction est strictement croissante.

💡 À retenir : La dérivée doit changer de signe pour avoir un extremum.

Chno hiya l'far9 bin l'mouqarab l'oufuqi w l'mouqarab l'3amoudi ?

L'asymptote horizontal : $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = L$ . La droite $y=L$ est horizontale.
L'asymptote vertical : $\lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty$ . La droite $x=a$ est verticale.

💡 À retenir : Horizontal c'est $y=L$ (infini), vertical c'est $x=a$ (point).

L'asymptote horizontal : $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = L$. La droite $y=L$ est horizontale.
L'asymptote vertical : $\lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty$. La droite $x=a$ est verticale.

💡 À retenir : Horizontal c'est $y=L$ (infini), vertical c'est $x=a$ (point).

Kifach n7seb l'equation dyal l'mamas f wahed l'point ?

Utilise la formule : $y = f'(a)(x-a) + f(a)$ .

Calcule $f(a)$ .
Calcule $f'(x)$ puis $f'(a)$ .
Remplace dans la formule et développe.

💡 À retenir : Ne pas oublier les parenthèses lors du développement.

Utilise la formule : $y = f'(a)(x-a) + f(a)$.

Calcule $f(a)$.
Calcule $f'(x)$ puis $f'(a)$.
Remplace dans la formule et développe.

💡 À retenir : Ne pas oublier les parenthèses lors du développement.

Est-ce que la dérivabilité implique la continuité ?

Oui, toute fonction dérivable en un point $a$ est nécessairement continue en ce point. La réciproque est fausse (ex: $f(x)=|x|$ en 0).

💡 À retenir : Dérivabilité $\implies$ Continuité.

Oui, toute fonction dérivable en un point $a$ est nécessairement continue en ce point. La réciproque est fausse (ex: $f(x)=|x|$ en 0).

💡 À retenir : Dérivabilité $\implies$ Continuité.

Comment interpréter lim{x to infty} frac{f(x)}{x} = 0 ?

Cela signifie que la courbe admet une branche parabolique de direction l'axe des abscisses (l'axe $(Ox)$ ).

💡 À retenir : C'est une direction horizontale.

Cela signifie que la courbe admet une branche parabolique de direction l'axe des abscisses (l'axe $(Ox)$).

💡 À retenir : C'est une direction horizontale.

Pourquoi on étudie le signe de f'(x) ?

Pour connaître le sens de variation de la fonction : si $f'(x) > 0$ , la fonction monte, si $f'(x) < 0$ , elle descend.

💡 À retenir : $f'$ est le "moteur" des variations.

Pour connaître le sens de variation de la fonction : si $f'(x) > 0$, la fonction monte, si $f'(x) < 0$, elle descend.

💡 À retenir : $f'$ est le "moteur" des variations.

Comment justifier qu'une fonction est dérivable sur un intervalle ?

Il faut dire qu'elle est une somme, un produit ou un quotient de fonctions usuelles (polynômes, racines, etc.) dérivables sur cet intervalle.

💡 À retenir : Citer les opérations sur les fonctions dérivables.

Est-ce qu'on peut avoir plusieurs asymptotes ?

Oui, une fonction peut avoir une asymptote horizontale en $+\infty$ , une autre en $-\infty$ et plusieurs asymptotes verticales.

💡 À retenir : Chaque limite infinie ou en l'infini peut donner une asymptote.

Oui, une fonction peut avoir une asymptote horizontale en $+\infty$, une autre en $-\infty$ et plusieurs asymptotes verticales.

💡 À retenir : Chaque limite infinie ou en l'infini peut donner une asymptote.

Chno hiya l'moubarhana dyal l'9iyam l'wasitiya (TVI) ?

Si $f$ est continue sur $[a, b]$ et $k$ est compris entre $f(a)$ et $f(b)$ , alors il existe au moins un $c \in [a, b]$ tel que $f(c)=k$ .

💡 À retenir : Elle sert à prouver l'existence de solutions à $f(x)=k$ .

Si $f$ est continue sur $[a, b]$ et $k$ est compris entre $f(a)$ et $f(b)$, alors il existe au moins un $c \in [a, b]$ tel que $f(c)=k$.

💡 À retenir : Elle sert à prouver l'existence de solutions à $f(x)=k$.

Comment savoir si la courbe est au-dessus ou en dessous de la tangente ?

Il faut étudier le signe de la différence $d(x) = f(x) - (f'(a)(x-a) + f(a))$ . Si $d(x) > 0$ , la courbe est au-dessus.

💡 À retenir : La position relative dépend du signe de la différence.

Il faut étudier le signe de la différence $d(x) = f(x) - (f'(a)(x-a) + f(a))$. Si $d(x) > 0$, la courbe est au-dessus.

💡 À retenir : La position relative dépend du signe de la différence.

Est-ce que f''(x) est toujours nécessaire ?

Non, elle est nécessaire uniquement pour étudier la concavité et les points d'inflexion. Pour les variations, $f'(x)$ suffit.

💡 À retenir : $f''$ est optionnelle pour le tableau de variations classique.

Non, elle est nécessaire uniquement pour étudier la concavité et les points d'inflexion. Pour les variations, $f'(x)$ suffit.

💡 À retenir : $f''$ est optionnelle pour le tableau de variations classique.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $f(x) = x^3 - 3x + 2$ .

Calculer $f'(x)$ et dresser le tableau de variations.
Déterminer l'équation de la tangente au point d'abscisse $x=0$ .

Exercice 1

Soit $f(x) = x^3 - 3x + 2$.

Calculer $f'(x)$ et dresser le tableau de variations.
Déterminer l'équation de la tangente au point d'abscisse $x=0$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Étudier les branches infinies de $f(x) = \frac{x^2+1}{x-1}$ .

Exercice 2

Étudier les branches infinies de $f(x) = \frac{x^2+1}{x-1}$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Soit $f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x$ . Montrer que le point $(1, 1)$ est un point d'inflexion.

Exercice 3

Soit $f(x) = x^3 - 3x^2 + 3x$. Montrer que le point $(1, 1)$ est un point d'inflexion.

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