Mathématiques · Prépa concours post-bac — ENA Architecture

Dérivabilité et étude de fonctions

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Définition : $f$ est dérivable en $a$ si $\lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} = f'(a) \in \mathbb{R}$ .
Tangente : L'équation de la tangente au point $a$ est $y = f'(a)(x-a) + f(a)$ .
Opérations : $(u+v)' = u'+v'$ , $(uv)' = u'v+uv'$ , $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v-uv'}{v^2}$ , $(f \circ g)' = g' \cdot (f' \circ g)$ .
Monotonie : Si $f' > 0$ sur $I$ , alors $f$ est strictement croissante sur $I$ .
Concavité : Si $f'' > 0$ , la courbe est convexe (tournée vers le haut).

Méthodes à maîtriser

Étudier la dérivabilité à droite et à gauche pour les points anguleux.
Utiliser le théorème des valeurs intermédiaires (TVI) pour montrer l'existence de solutions.
Déterminer les branches infinies (asymptotes, directions asymptotiques).
Étudier le signe de $f''$ pour localiser les points d'inflexion.

Exemples corrigés

Dérivée : Soit $f(x) = x^2 \sin(x)$ . Alors $f'(x) = 2x \sin(x) + x^2 \cos(x)$ .
Tangente : Pour $f(x) = x^3$ en $a=1$ , $f(1)=1$ et $f'(1)=3$ . Équation : $y = 3(x-1)+1 = 3x-2$ .

Erreurs fréquentes

Oublier de préciser que $f$ est dérivable avant de calculer $f'$ .
Confondre le signe de $f'$ (croissance) et le signe de $f''$ (concavité).
Ne pas vérifier si le dénominateur s'annule lors du calcul de la dérivée d'un quotient.

L'essentiel du cours

Définition : $f$ est dérivable en $a$ si $\lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} = f'(a) \in \mathbb{R}$.
Tangente : L'équation de la tangente au point $a$ est $y = f'(a)(x-a) + f(a)$.
Opérations : $(u+v)' = u'+v'$, $(uv)' = u'v+uv'$, $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v-uv'}{v^2}$, $(f \circ g)' = g' \cdot (f' \circ g)$.
Monotonie : Si $f' > 0$ sur $I$, alors $f$ est strictement croissante sur $I$.
Concavité : Si $f'' > 0$, la courbe est convexe (tournée vers le haut).

Méthodes à maîtriser

Étudier la dérivabilité à droite et à gauche pour les points anguleux.
Utiliser le théorème des valeurs intermédiaires (TVI) pour montrer l'existence de solutions.
Déterminer les branches infinies (asymptotes, directions asymptotiques).
Étudier le signe de $f''$ pour localiser les points d'inflexion.

Exemples corrigés

Dérivée : Soit $f(x) = x^2 \sin(x)$. Alors $f'(x) = 2x \sin(x) + x^2 \cos(x)$.
Tangente : Pour $f(x) = x^3$ en $a=1$, $f(1)=1$ et $f'(1)=3$. Équation : $y = 3(x-1)+1 = 3x-2$.

Erreurs fréquentes

Oublier de préciser que $f$ est dérivable avant de calculer $f'$.
Confondre le signe de $f'$ (croissance) et le signe de $f''$ (concavité).
Ne pas vérifier si le dénominateur s'annule lors du calcul de la dérivée d'un quotient.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Dérivabilité et étude de fonctions

1/4

Soit $f(x) = x^2$ . La valeur de $f'(2)$ est :

Soit $f(x) = x^2$. La valeur de $f'(2)$ est :

❓ Questions fréquentes

Kifach n3ref wach l'fonction 3ndha point d'inflexion ?

Calcule la dérivée seconde $f''(x)$ .
Cherche les points où $f''(x) = 0$ .
Vérifie si $f''(x)$ change de signe en traversant ces points. Si oui, c'est un point d'inflexion.

💡 À retenir : Le changement de signe de $f''$ est obligatoire pour valider le point d'inflexion.

Calcule la dérivée seconde $f''(x)$.
Cherche les points où $f''(x) = 0$.
Vérifie si $f''(x)$ change de signe en traversant ces points. Si oui, c'est un point d'inflexion.

💡 À retenir : Le changement de signe de $f''$ est obligatoire pour valider le point d'inflexion.

Est-ce que si f'(a) = 0, alors f admet un extremum en a ?

Non, pas forcément. Par exemple, pour $f(x) = x^3$ , $f'(0) = 0$ mais $f$ est strictement croissante, donc ce n'est pas un extremum. Il faut que $f'$ change de signe en $a$ .

💡 À retenir : $f'(a)=0$ est une condition nécessaire mais pas suffisante.

Non, pas forcément. Par exemple, pour $f(x) = x^3$, $f'(0) = 0$ mais $f$ est strictement croissante, donc ce n'est pas un extremum. Il faut que $f'$ change de signe en $a$.

💡 À retenir : $f'(a)=0$ est une condition nécessaire mais pas suffisante.

Chno hiya l'farq bin l'dérivabilité f point w l'continuité ?

La dérivabilité implique la continuité : si $f$ est dérivable en $a$ , elle est continue en $a$ .
La réciproque est fausse : $f(x) = |x|$ est continue en 0 mais non dérivable en 0 (point anguleux).

💡 À retenir : Dérivable $\implies$ Continue, mais Continue $\nRightarrow$ Dérivable.

La dérivabilité implique la continuité : si $f$ est dérivable en $a$, elle est continue en $a$.
La réciproque est fausse : $f(x) = |x|$ est continue en 0 mais non dérivable en 0 (point anguleux).

💡 À retenir : Dérivable $\implies$ Continue, mais Continue $\nRightarrow$ Dérivable.

Kifach n7seb l'équation dyal tangent f point a ?

Utilise la formule : $y = f'(a)(x-a) + f(a)$ .

Calcule $f(a)$ .
Calcule $f'(x)$ puis $f'(a)$ .
Remplace dans la formule.

💡 À retenir : C'est une équation de droite de la forme $y = mx + p$ .

Utilise la formule : $y = f'(a)(x-a) + f(a)$.

Calcule $f(a)$.
Calcule $f'(x)$ puis $f'(a)$.
Remplace dans la formule.

💡 À retenir : C'est une équation de droite de la forme $y = mx + p$.

Pourquoi on étudie le signe de f'(x) ?

Parce que le signe de la dérivée donne le sens de variation de la fonction :

$f'(x) > 0 \implies f$ croissante.
$f'(x) < 0 \implies f$ décroissante.
$f'(x) = 0 \implies$ point critique (potentiel extremum).

💡 À retenir : $f'$ est l'outil principal pour dresser le tableau de variations.

Parce que le signe de la dérivée donne le sens de variation de la fonction :

$f'(x) > 0 \implies f$ croissante.
$f'(x) < 0 \implies f$ décroissante.
$f'(x) = 0 \implies$ point critique (potentiel extremum).

💡 À retenir : $f'$ est l'outil principal pour dresser le tableau de variations.

Comment justifier qu'une fonction est dérivable sur un intervalle ?

Il faut invoquer les opérations sur les fonctions dérivables (somme, produit, quotient, composée). Par exemple : "La fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ car c'est une fonction polynôme".

💡 À retenir : Cite toujours le théorème de composition ou d'opération utilisé.

Il faut invoquer les opérations sur les fonctions dérivables (somme, produit, quotient, composée). Par exemple : "La fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ car c'est une fonction polynôme".

💡 À retenir : Cite toujours le théorème de composition ou d'opération utilisé.

Est-ce que la dérivée d'une fonction paire est impaire ?

Oui, si $f$ est dérivable et paire, alors $f'$ est impaire. Preuve : $f(x) = f(-x) \implies f'(x) = -f'(-x)$ .

💡 À retenir : La parité se conserve par dérivation en changeant de nature.

Oui, si $f$ est dérivable et paire, alors $f'$ est impaire. Preuve : $f(x) = f(-x) \implies f'(x) = -f'(-x)$.

💡 À retenir : La parité se conserve par dérivation en changeant de nature.

C'est quoi une branche parabolique ?

C'est quand $\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty$ et $\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = 0$ (direction axe des abscisses) ou $\infty$ (direction axe des ordonnées).

💡 À retenir : C'est une direction asymptotique sans asymptote oblique.

C'est quand $\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty$ et $\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = 0$ (direction axe des abscisses) ou $\infty$ (direction axe des ordonnées).

💡 À retenir : C'est une direction asymptotique sans asymptote oblique.

Comment montrer qu'une courbe admet une asymptote oblique ?

Il faut montrer que $\lim_{x \to \infty} (f(x) - (ax+b)) = 0$ . La droite $y = ax+b$ est alors l'asymptote.

💡 À retenir : La limite de la différence doit être nulle.

Il faut montrer que $\lim_{x \to \infty} (f(x) - (ax+b)) = 0$. La droite $y = ax+b$ est alors l'asymptote.

💡 À retenir : La limite de la différence doit être nulle.

Pourquoi on calcule la limite en pm infty ?

Pour connaître le comportement de la fonction à l'infini et chercher d'éventuelles asymptotes horizontales ou obliques.

💡 À retenir : C'est indispensable pour tracer la courbe globalement.

Est-ce qu'une fonction peut avoir plusieurs asymptotes ?

Oui, par exemple une fonction peut avoir une asymptote horizontale en $-\infty$ et une autre en $+\infty$ , ou même des asymptotes verticales en des points de discontinuité.

💡 À retenir : Une fonction n'est pas limitée à une seule asymptote.

Oui, par exemple une fonction peut avoir une asymptote horizontale en $-\infty$ et une autre en $+\infty$, ou même des asymptotes verticales en des points de discontinuité.

💡 À retenir : Une fonction n'est pas limitée à une seule asymptote.

Comment trouver le point d'inflexion graphiquement ?

C'est le point où la courbe traverse sa tangente (elle change de courbure).

💡 À retenir : C'est le point de passage de convexe à concave.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^3 - 3x + 2$ .

Calculer $f'(x)$ et dresser le tableau de variations de $f$ .
Déterminer l'équation de la tangente à la courbe $(C_f)$ au point d'abscisse $0$ .

Exercice 1

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^3 - 3x + 2$.

Calculer $f'(x)$ et dresser le tableau de variations de $f$.
Déterminer l'équation de la tangente à la courbe $(C_f)$ au point d'abscisse $0$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Soit $f(x) = \frac{2x-1}{x+1}$ .

Déterminer le domaine de définition $D_f$ .
Montrer que $f'(x) = \frac{3}{(x+1)^2}$ et en déduire le sens de variation.

Exercice 2

Soit $f(x) = \frac{2x-1}{x+1}$.

Déterminer le domaine de définition $D_f$.
Montrer que $f'(x) = \frac{3}{(x+1)^2}$ et en déduire le sens de variation.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Soit $f(x) = x^2 + \frac{1}{x}$ .

Étudier les branches infinies de la courbe au voisinage de $0$ et de $+\infty$ .
Montrer que la courbe admet un point d'inflexion dont on déterminera les coordonnées.

Exercice 3

Soit $f(x) = x^2 + \frac{1}{x}$.

Étudier les branches infinies de la courbe au voisinage de $0$ et de $+\infty$.
Montrer que la courbe admet un point d'inflexion dont on déterminera les coordonnées.

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