Mathématiques · Prépa concours post-bac — ENA Architecture
Géométrie dans l'espace
Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.
📘 Fiche de cours
L'essentiel du cours
Repère $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ : Tout point $M(x, y, z)$ est défini par $\vec{OM} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}$.
Droite $(D)$ : Définie par un point $A(x_0, y_0, z_0)$ et un vecteur directeur $\vec{u}(a, b, c)$. Représentation paramétrique : $x = x_0 + at, y = y_0 + bt, z = z_0 + ct$ ($t \in \mathbb{R}$).
Plan $(P)$ : Défini par un point $A$ et un vecteur normal $\vec{n}(a, b, c)$. Équation cartésienne : $ax + by + cz + d = 0$.
Sphère $(S)$ : De centre $\Omega(a, b, c)$ et rayon $R$. Équation : $(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = R^2$.
Méthodes à maîtriser
Passage paramétrique vers cartésien : Pour une droite, on élimine le paramètre $t$. Pour un plan, on utilise le produit vectoriel de deux vecteurs directeurs pour trouver $\vec{n}$.
Comment déterminer si deux plans sont parallèles ?
Identifie les vecteurs normaux $\vec{n_1}$ et $\vec{n_2}$ à partir des équations cartésiennes.
Vérifie s'ils sont colinéaires : $\vec{n_1} = k \cdot \vec{n_2}$.
S'ils sont colinéaires, les plans sont parallèles. S'ils ne sont pas confondus, ils sont strictement parallèles.
💡 À retenir : Deux plans sont parallèles si leurs vecteurs normaux sont colinéaires.
Kifach n7seb l'intersection dyal une droite et un plan ?
Écris la représentation paramétrique de la droite : $x=..., y=..., z=...$.
Remplace ces expressions dans l'équation du plan $ax+by+cz+d=0$.
Résous l'équation obtenue pour trouver la valeur de $t$.
Remplace $t$ dans la représentation paramétrique pour obtenir les coordonnées du point d'intersection.
💡 À retenir : L'intersection est soit un point, soit la droite est incluse dans le plan, soit ils sont strictement parallèles.
Est-ce qu'une droite peut avoir plusieurs vecteurs directeurs ?
Oui, n'importe quel vecteur colinéaire au vecteur directeur initial est aussi un vecteur directeur. Si $\vec{u}$ est directeur, alors $k\vec{u}$ (avec $k \neq 0$) l'est aussi.
💡 À retenir : Un vecteur directeur n'est pas unique, mais ils sont tous proportionnels.
Chno hiya l'équation dyal une sphère ila 3tani le diamètre ?
Le centre $\Omega$ est le milieu du segment $[AB]$.
Le rayon $R$ est la moitié de la distance $AB$ (ou la distance $\Omega A$).
Utilise la formule $(x-x_\Omega)^2 + (y-y_\Omega)^2 + (z-z_\Omega)^2 = R^2$.
💡 À retenir : Le milieu est la moyenne des coordonnées, le rayon est la distance divisée par 2.
Comment prouver qu'une droite est perpendiculaire à un plan ?
Il faut montrer que le vecteur directeur de la droite $\vec{u}$ est colinéaire au vecteur normal du plan $\vec{n}$.
💡 À retenir : $\vec{u} = k\vec{n}$ signifie que la droite est "droite" par rapport au plan.
Kifach n3ref wach une équation x^2+y^2+z^2+ax+by+cz+d=0 hiya sphère ?
Regroupe les termes en $x$, $y$ et $z$.
Complète les carrés pour obtenir la forme $(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z-z_0)^2 = K$.
Si $K > 0$, c'est une sphère de rayon $\sqrt{K}$. Si $K=0$, c'est un point. Si $K<0$, c'est l'ensemble vide.
💡 À retenir : Il faut toujours vérifier le signe du membre de droite après avoir complété les carrés.
Quelle est la condition pour que trois points A, B et C forment un plan ?
Il faut que les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ ne soient pas colinéaires (c'est-à-dire qu'ils ne soient pas alignés).
💡 À retenir : Trois points non alignés définissent un plan unique.
Est-ce que le produit scalaire est utile dans l'espace ?
Oui, il permet de calculer des angles, de vérifier l'orthogonalité entre vecteurs, et de définir des plans via le vecteur normal.
Repère (O,i,j,k) : Tout point M(x,y,z) est défini par OM=xi+yj+zk.
Droite (D) : Définie par un point A(x0,y0,z0) et un vecteur directeur u(a,b,c). Représentation paramétrique : x=x0+at,y=y0+bt,z=z0+ct (t∈R).
Plan (P) : Défini par un point A et un vecteur normal n(a,b,c). Équation cartésienne : ax+by+cz+d=0.
Sphère (S) : De centre Ω(a,b,c) et rayon R. Équation : (x−a)2+(y−b)2+(z−c)2=R2.
Méthodes à maîtriser
Passage paramétrique vers cartésien : Pour une droite, on élimine le paramètre t. Pour un plan, on utilise le produit vectoriel de deux vecteurs directeurs pour trouver n.
Position relative : Comparer la distance d(Ω,(P)) au rayon R pour savoir si le plan coupe la sphère.
Exemples corrigés
Vecteur normal : Si (P):2x−y+3z−5=0, alors n(2,−1,3).
Intersection droite-plan : Remplacer x,y,z de la droite dans l'équation du plan et résoudre l'équation en t.
Erreurs fréquentes
Oublier le carré dans l'équation de la sphère.
Confondre vecteur directeur (droite) et vecteur normal (plan).
Oublier la racine carrée au dénominateur dans la formule de la distance.
Le vecteur normal au plan x−2z+5=0 est :
(1,0,−2)
(1,−2,5)
(1,0,2)
(0,1,−2)
Identifie les vecteurs normaux n1 et n2 à partir des équations cartésiennes.
Vérifie s'ils sont colinéaires : n1=k⋅n2.
S'ils sont colinéaires, les plans sont parallèles. S'ils ne sont pas confondus, ils sont strictement parallèles.
💡 À retenir : Deux plans sont parallèles si leurs vecteurs normaux sont colinéaires.
Écris la représentation paramétrique de la droite : x=...,y=...,z=....
Remplace ces expressions dans l'équation du plan ax+by+cz+d=0.
Résous l'équation obtenue pour trouver la valeur de t.
Remplace t dans la représentation paramétrique pour obtenir les coordonnées du point d'intersection.
💡 À retenir : L'intersection est soit un point, soit la droite est incluse dans le plan, soit ils sont strictement parallèles.
Oui, n'importe quel vecteur colinéaire au vecteur directeur initial est aussi un vecteur directeur. Si u est directeur, alors ku (avec k=0) l'est aussi.
💡 À retenir : Un vecteur directeur n'est pas unique, mais ils sont tous proportionnels.
Le centre Ω est le milieu du segment [AB].
Le rayon R est la moitié de la distance AB (ou la distance ΩA).
Utilise la formule (x−xΩ)2+(y−yΩ)2+(z−zΩ)2=R2.
💡 À retenir : Le milieu est la moyenne des coordonnées, le rayon est la distance divisée par 2.
Il faut montrer que le vecteur directeur de la droite u est colinéaire au vecteur normal du plan n.
💡 À retenir : u=kn signifie que la droite est "droite" par rapport au plan.
Regroupe les termes en x, y et z.
Complète les carrés pour obtenir la forme (x−x0)2+(y−y0)2+(z−z0)2=K.
Si K>0, c'est une sphère de rayon K. Si K=0, c'est un point. Si K<0, c'est l'ensemble vide.
💡 À retenir : Il faut toujours vérifier le signe du membre de droite après avoir complété les carrés.
Il faut que les vecteurs AB et AC ne soient pas colinéaires (c'est-à-dire qu'ils ne soient pas alignés).
💡 À retenir : Trois points non alignés définissent un plan unique.
Oui, il permet de calculer des angles, de vérifier l'orthogonalité entre vecteurs, et de définir des plans via le vecteur normal.
💡 À retenir : u⋅v=0⟺u⊥v.
Calcule deux vecteurs directeurs AB et AC.
Trouve un vecteur normal n=AB∧AC.
Utilise l'équation a(x−xA)+b(y−yA)+c(z−zA)=0 avec n(a,b,c).
💡 À retenir : Le produit vectoriel est l'outil clé pour trouver la normale.
Oui, par exemple 2x+3y−5=0. Cela signifie que le vecteur normal est n(2,3,0), donc le plan est parallèle à l'axe (Oz).
💡 À retenir : L'absence d'une variable indique un parallélisme avec l'axe correspondant.
Il n'y a pas de formule directe simple comme pour le plan. Il faut :
Trouver le plan passant par le point et perpendiculaire à la droite.
Trouver l'intersection H de ce plan et de la droite.
Calculer la distance MH.
💡 À retenir : La distance est la longueur du segment perpendiculaire.
Exercice 1
Soient A(1,0,2), B(2,1,0) et C(0,1,1).
Montrer que A,B,C ne sont pas alignés.
Déterminer une équation cartésienne du plan (ABC).
Exercice 2
Soit (S) la sphère d'équation x2+y2+z2−2x+4y−6z+5=0.
Déterminer le centre Ω et le rayon R de (S).
Soit (P) le plan d'équation x+y+z−1=0. Calculer d(Ω,(P)) et en déduire la nature de l'intersection.
Exercice 3
Soit (D) la droite de représentation paramétrique x=1+t,y=2−t,z=3t.
Soit (P) le plan d'équation x+y−z+1=0.
Déterminer les coordonnées du point d'intersection I de (D) et (P).