Ensembles et applications

Une application est une relation qui associe à chaque élément de l'ensemble de départ $E$ un unique élément de l'ensemble d'arrivée $F$.

1. Chaque élément de $E$ doit avoir une image.
2. Cette image doit être unique.

💡 À retenir : Une relation n'est pas une application si un élément de $E$ a deux images ou aucune image.

Bach t7seb l'image réciproque $f^{-1}(B)$, khassek t9leb 3la ga3 les $x$ dyal $E$ li l'image dyalhom $f(x)$ kayna f $B$.

1. Tkteb $x \in f^{-1}(B) \iff f(x) \in B$.
2. T7el l'équation $f(x) = y$ (où $y \in B$).
3. T7ded les valeurs dyal $x$ li kaynin f $E$.

💡 À retenir : $f^{-1}(B) = {x \in E / f(x) \in B}$.

Dans le programme, on utilise souvent les deux termes. Cependant, une application est définie par son ensemble de départ et son ensemble d'arrivée. Une fonction peut ne pas être définie sur tout l'ensemble de départ (ex: $f(x) = 1/x$ sur $\mathbb{R}$ n'est pas une application de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$).

💡 À retenir : Une application doit être définie pour tout élément de l'ensemble de départ.

Injectivité kat3ni belli ay élément f l'arrivée 3ndo "maximum" wahed l'antécédent. Ya3ni, matl9ach joj éléments mkhltafin f l'départ 3ndhom nefs l'image.

💡 À retenir : $f(x) = f(y) \implies x = y$.

1. Tu prends un élément arbitraire $x$ dans $A$.
2. Tu utilises les propriétés de $A$ pour démontrer que $x$ vérifie aussi les propriétés de $B$.
3. Tu conclus que $x \in B$.

💡 À retenir : Pour montrer $A \subset B$, on montre toujours : $\forall x \in A, x \in B$.

Kassk tbin belli hiya injective (ma kaynch t3awod) w surjective (kolchi f l'arrivée 3ndo l'antécédent).

1. Montrer $f(x)=f(y) \implies x=y$.
2. Montrer $\forall y \in F, \exists x \in E, f(x)=y$.
3. Ila kan l'ensemble de départ = l'ensemble d'arrivée, parfois c'est plus simple de chercher la réciproque.

💡 À retenir : Bijection = Injectivité + Surjectivité.

Oui, par exemple $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^+, x \mapsto x^2$.

1. Elle est surjective car tout $y \geq 0$ a un antécédent ($\sqrt{y}$ ou $-\sqrt{y}$).
2. Elle n'est pas injective car $f(1) = f(-1) = 1$.

💡 À retenir : La surjectivité ne garantit pas l'unicité de l'antécédent.

C'est l'ensemble des couples $(x, y)$ où $x \in E$ et $y \in F$. On le note $E \times F$.

1. $E \times F = {(x, y) / x \in E \text{ et } y \in F}$.
2. L'ordre est important : $(x, y) \neq (y, x)$ en général.

💡 À retenir : $E \times F$ est l'ensemble des coordonnées dans le plan si $E=F=\mathbb{R}$.

Oui, c'est une propriété fondamentale des images directes.

1. L'image de la réunion est la réunion des images.
2. Par contre, pour l'intersection, on a seulement $f(A \cap B) \subset f(A) \cap f(B)$.

💡 À retenir : L'égalité pour l'intersection n'est vraie que si $f$ est injective.

La méthode classique est la double inclusion.

1. Montrer que $A \subset B$ (prendre $x \in A$ et montrer $x \in B$).
2. Montrer que $B \subset A$ (prendre $x \in B$ et montrer $x \in A$).

💡 À retenir : $A = B \iff (A \subset B \text{ et } B \subset A)$.

Oui, par définition. Si $f: E \to F$ est bijective, il existe une unique application $f^{-1}: F \to E$ telle que $f^{-1} \circ f = Id_E$ et $f \circ f^{-1} = Id_F$.

💡 À retenir : La réciproque "annule" l'effet de l'application.

Hiya l'ensemble dyal ga3 les images dyal les éléments li kaynin f dak l'ensemble.

1. $f(A) = {f(x) / x \in A}$.
2. C'est l'ensemble des points atteints par $f$ à partir de $A$.

💡 À retenir : $f(A)$ est un sous-ensemble de l'ensemble d'arrivée.